1. Les matériaux Les matériaux seront considérés comme homogènes et isotropes, homogène : on dit quun matériaux est homogène, sil possède les mêmes caractéristiques.

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1 1. Les matériaux Les matériaux seront considérés comme homogènes et isotropes, homogène : on dit quun matériaux est homogène, sil possède les mêmes caractéristiques en tous ses points. (Caractéristiques mécaniques) isotrope : on dit quun matériaux est isotrope, lorsquil possède les mêmes caractéristiques dans toutes les directions. Les hypothèses détudes de la RDM

2 On appelle poutre un corps solide dont la représentation géométrique est un volume engendré par la surface lorsque son barycentre G se déplace sur la courbe C. la forme de la surface peut évoluer le long de la courbe, cette variation doit être faible et progressive 2. Définition dune poutre: la courbe est une ligne droite ou une courbe à grand rayon de courbure R > 5. D max

3 Les hypothèses détudes de la RDM 3. Les actions mécaniques extérieures: La poutre étant définie par sa ligne caractéristique, toute action mécanique extérieure sera représenté par un torseur exprimé en un point de cette ligne Ces actions mécaniques extérieures peuvent être concentrées ou réparties Profilé rectangulaire 100*100

4 Les hypothèses détudes de la RDM Ordre de grandeur: les déformations ( déplacements des points de la ligne caractéristique) sont petites par rapport aux dimensions de la poutre Hypothèse de Navier-Bernouilli: Toute section droite avant déformation, reste, après déformation, une section droite 4. Hypothèses sur les déformations

5 Les hypothèses détudes de la RDM 5. Torseur des actions mécaniques de cohésion: Le torseur des actions mécaniques de cohésion au niveau de la surface représente les actions mécaniques exercées par S+ sur S-. N : effort Normal Mt : moment de torsion Ty : Effort tranchant suivant y Mfy : moment fléchissant suivant y Tz : effort tranchant suivant z Mfz : moment fléchissant suivant z Si on étudie léquilibre de S- on obtient: Si on étudie léquilibre de S+ on obtient: On a donc deux possibilités pour déterminer le torseur des actions mécaniques de cohésion. {T AM1 } + {T AM2 } + {T S+ / S- } ={0} {T AM3 } + {T AM4 } + {T S- / S+ } ={0} On lexprime impérativement au point G, barycentre de, et on le projette sur la base locale (x,y,z) Ses composantes se notent conventionnellement

6 Exercice Torseur de cohésion Une poutre 1 est en liaison pivot daxe (A,z) et en contact ponctuel de normale (D,y) avec un solide 0 Des actions mécaniques extérieures exercées sur 1 sont représentées par deux torseurs en B et C: on donne: A(0,0,0)B(1,0,0)C(2,0,0)D(3,0,0) longueur en m 0 A D C B 1 A.Déterminer les inconnues des torseurs des liaisons en A et D B.Écrire le torseur de cohésion le long de la poutre {T S+/S- } C.Tracer les diagrammes N(x),T(x) et Mfz(x)

7 Exercice Torseur de cohésion A. Déterminer les inconnues des torseurs des liaisons en A et D Si on isole la poutre 1 : elle est soumise à 4 actions mécaniques extérieures Si on applique le P.F.S en A on obtient: On obtient les équations suivantes: 500+X A 0/1 =0 -2000+Y A 0/1 +Y D 0/1 =0 -(1000 1)-(1000 2) +(Y D 0/1 3)=0 X A 0/1 = -500N Y D 0/1 = 1000N Y A 0/1 = 1000N 0 A D C B 1

8 x 0 A D C B 1 G x 0 A D C B 1 G Exercice Torseur de cohésion B. Écrire le torseur de cohésion le long de la poutre {T S+/S- } Si on effectue une coupure entre[AB] : avec G(x,0,0) et x [0,1] Si on étudie léquilibre de S- on obtient: N = +500 N Ty = -1000 N Tz = 0 N Mt = 0 N.m Mfy = 0 N.m Mfz = 1000.x (N.m) Si on effectue une coupure entre[AC] : avec G(x,0,0) et x [1,2] Si on étudie léquilibre de S- on obtient: N = 0 N Ty = 0 N Tz = 0 N Mt = 0 N.m Mfy = 0 N.m Mfz = 1000 (N.m)

9 A 0 D C B 1 G x Exercice Torseur de cohésion Si on effectue une coupure entre[AD] : avec G(x,0,0) et x [2,3] N = 0 N Ty = 1000 N Tz = 0 N Mt = 0 N.m Mfy = 0 N.m Mfz = 1000.(3-x) (N.m) C.Tracer les diagrammes N(x),T(x) et Mfz(x) Ty en Newton x en m 1 23 -1000 1000 Mfz en N.m x en m 123 1000 N en Newton x en m 123 500

10 Les hypothèses détudes de la RDM 6. Notion de contrainte Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface soit M un point de cette surface soit un élément de surface d autour de M, leffort élémentaire transmissible par entre S + et S - on appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur : Unités : - en N - en m2 - - en Pa ou Mpa Contrainte normale et contrainte tangentielle : Si on fait une projection vectorielle du vecteur, on obtient : Où σ est le vecteur contrainte normale et τ est le vecteur contrainte tangentielle.

11 Les hypothèses détudes de la RDM 6. Notion de contrainte Si on projette ce vecteur dans la base on obtient est la composante normale est la composante tangentielle suivant Relation entre contrainte et torseur de cohésion en G. Si on généralise ce torseur pour tous les points de la surface, on montre que avec N = Mt : Ty =Mfy : Tz =Mfz :

12 1. Sollicitation: La Traction Zone détude (Kt=1) Zones qui nécessitent des ajustements (Kt>1) Biellette soumise à de la traction Traction (N>0) ou Compression (N<0) Torseur de cohésion: {T S+/S- }= Relation contrainte - déformation : Loi de Hooke : Condition de résistance : avec : Kt coefficient de concentration due à une forme particulière de la pièce. s : coefficient de sécurité

13 2. Sollicitation: La Flexion Torseur de Cohésion {T S+/S- }= (flexion pure) Contrainte normale maxi: Condition de résistance: Kt coefficient de concentration due à une forme particulière de la pièce. s : coefficient de sécurité Igz est le moment quadratique de la section droite de la poutre avec : Torseur de Cohésion {T S+/S- }= (flexion simple) h b y z G y z G R (flexion simple)

14 Exercice sur la Flexion I Présentation: La potence ci-dessous permet de soulever des charges de 500Kg maximum quand le palan 4 se trouve à lextrémité de la flèche 1. Cette flèche ainsi que léquerre 3 forment un ensemble articulé avec le fût 2. Le fût est fixé au sol. Létude porte sur la flèche 1 considérée encastrée avec léquerre 3. III – TRAVAIL DEMANDÉ : 1. Connaissant le torseur de cohésion le long de la poutre, en déduire les types de sollicitation supportées par cette poutre. 2. Déterminer la contrainte maxi, en déduire le coefficient de sécurité adopté pour cette construction, conclusion? II - DONNÉES : Profilé constituant la flèche 1 : IPE 200 en acier S355 ; Re = 355 Mpa Hypothèses :Le poids propre de la poutre est négligé. 5000 N Modélisation: B A 2.2 m

15 Exercice sur la Flexion 1.On donne le torseur de cohésion le long de la poutre: 5000 N Modélisation: B A G x Ty en Newton x en m 2.2 -5000 Mfz en N.m x en m 2.2 -11000 La poutre est soumise à de la flexion simple: - du cisaillement Ty= -5000N - de la flexion: Mfz= -5000(2.2-x) 2. Calcul de la contrainte maxi: