Patricia Renault UPMC 2004/2005

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1 Patricia Renault UPMC 2004/2005
UE MAREP Cours 2 : Entiers naturels, entiers relatifs et opérateurs arithmétiques Patricia Renault UPMC 2004/2005

2 Plan Addition et soustraction de deux entiers naturels
Représentation des entiers relatifs en complément à 2 Addition et soustraction de deux nombres entiers relatifs Addition et soustraction en MIPS Diglog

3 Plan Addition et soustraction de deux entiers naturels
Rappels Addition et soustraction sur nombres décimaux Représentation des entiers naturels Addition en base 2 et 16 Soustraction en base 2 et 16 Représentation des entiers relatifs en complément à 2 Addition et soustraction de deux nombres entiers relatifs Addition et soustraction en MIPS Diglog

4 Rappels Addition et soustraction sur entiers naturels décimaux
Remarque : La soustraction n’est pas définie si le nombre à soustraire est plus grand que le nombre dont on le soustrait Représentation des entiers naturels En binaire, un nombre N s’écrit où ai vaut 0 ou 1 L’intervalle de représentation des nombres sur n bits est [0,2n[ 17 5 + 1 7 9 2 715 - 11 7 5 8

5 Addition en base 2 Règles :
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = = 10 => je pose 0 et je retiens = 11 => je pose 1 et je retiens 1 Lorsque la somme de 2 entiers naturels codés sur n bits n’est pas représentable sur n bits, on dit qu’il y dépassement de capacité sur entiers naturels

6 Addition en base 2 - Exemples
En binaire sur 4 bits dépassement de capacité sur entiers naturels

7 Addition en base 16 - Exemple
En hexadécimal sur 16 bits 0 D 2 4 5 F B 6 11 F A 8 9 2 E A + C 2 E 5 dépassement de capacité sur entiers naturels

8 Addition Table de vérité et schéma de l’additionneur 1 bit + ai bi
couti cini si

9 Addition Additionneur 4 bits a0 b0 cin0 s0 + cout a3 b3 a2 b2 a1 b1 s3

10 Soustraction en base 2 Règles :
0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = => je prête une deuzaine à 0 qui devient 10, sans oublier de retrancher la deuzaine au nombre de gauche, puis je pose 1 Lorsque le nombre à soustraire est plus grand que le nombre dont on le soustrait, on obtient un dépassement de capacité sur entiers naturels

11 Soustraction en base 2 - Exemple
En binaire sur 4 bits dépassement de capacité sur entiers naturels

12 Soustraction en base 16 - Exemples
En hexadécimal sur 16 bits C B E 11 F A 8 1 A D 6 6 5 C E 7 2 B A 5 dépassement de capacité sur entiers naturels

13 Plan Addition et soustraction de deux entiers naturels
Représentation des entiers relatifs Entiers relatifs Complément à 2 Exemples Addition et soustraction de deux nombres entiers relatifs

14 Entiers relatifs Un entier relatif est un entier qui peut être soit positif soit négatif. Représentation quotidienne : - 3 Inadaptée car 2 zéros !! + 0 et -0 signe valeur absolue

15 Complément à 2 En complément à 2, un entier N s’écrit où an-1 représente le signe si an-1 = 0 alors N est positif ou nul si an-1 = 1 alors N est négatif et  ai . 2i représente le module de N Exemples sur 3 bits 000b = 0d 010b = 2d 100b = -22 = -4d 101b = = -3d

16 Complément à 2 Opposé d’un entier relatif
L’opposé de X noté op_X est tel que X+op_X =0 Soit X sur n bit, on a donc

17 Complément à 2 - Exemples
En binaire sur 3 bits : X = 000b, ~X=111 b , op_X = 000b X = 001b, ~X=110b , op_X = 111b X = 010b, ~X= , op_X = X = 011b, ~X= , op_X = X = 101b, ~X= , op_X = X = 111b, ~X= , op_X = En hexadécimal sur 8 bits : X = 3Bh, ~X=C4h , op_X = C5h X = 8Fh, ~X= , op_X = X = 66h, ~X= , op_X =

18 Complément à 2 Technique utilisée pour calculer l’opposé d’un entier relatif : Recopie de tous les bits de droite vers la gauche jusqu’au premier 1 inclus Opposé de tous les autres bits Exemples en binaire sur 3 bits : X = 000b, op_X = 000b X = 001b, op_X = 111b X = 010b, op_X = X = 011b, op_X = X = 101b, op_X = X = 111b, op_X =

19 Complément à 2 Extension : Exemples : Nombres représentés sur 4 bits
Un nombre représenté sur p bits peut être étendu en un nombre sur n>p bits en introduisant la valeur du bit de rang p-1 sur les bits de rang p à n-1 Exemples : Nombres représentés sur 4 bits N1 = 0110b. Son extension sur 8 bits donne N1 = b N2 = 0001b. Son extension sur 8 bits donne N2 = b N3 = 1001b. Son extension sur 8 bits donne N3 = b N4 = 1101b. Son extension sur 8 bits donne N4 = b N5 = 7h. Son extension sur 8 bits donne N5 = 07h N6 = Ah. Son extension sur 8 bits donne N6 = FAh

20 Complément à 2 Taille bornée des nombres stockés : Exemples :
La représentation en complément à 2 sur n positions permet de représenter les nombres sur l’intervalle : [-2n-1,2n-1-1]. Exemples : Sur 3 bits, on peut représenter les nombres compris entre -4 et 3. Sur 4 bits, on peut représenter les nombres compris entre -8 et 7 [ ] -2n-1 2n-1-1 Son opposé est non représentable sur n bits

21 Plan Addition et soustraction de deux entiers naturels
Représentation des entiers relatifs en complément à 2 Addition et soustraction de deux nombres entiers relatifs Addition Soustraction Exemples

22 Addition Méthode identique à celle utilisée pour les entiers naturels
Exemples en binaire sur 4 bits : 4d+3d = 7h+2h= -2d+-5d = 8h+Ah =

23 Soustraction Pour calculer la soustraction entre deux entiers relatifs, on calcul l’opposé du nombre à soustraire puis on effectue l’addition avec l’opposé. Exemples en binaire sur 4 bits : 7d-3d= 6h-4h=

24 Dépassement de capacité
Il y a dépassement de capacité sur entiers relatifs lorsque la somme de deux entiers de même signe donne un entier de signe différent. Exemples en binaire sur 4 bits : 7d+2d= -5d+-4d=

25 Dépassement de capacité
Exemples : Cas positif Cas négatif Détection du dépassement de capacité sur entiers relatifs : coutn-1 XOR coutn-2 10 an-2 an-1 … a0 0 bn-2 bn b0 1 sn-2 sn s0 1 an-2 an-1 … a0 1 bn-2 bn b0 1 0 sn-2 sn s0 coutn-2 coutn-1

26 Exemples - Entiers naturels
En binaire sur 4 bits : = = = = En hexadécimal sur 16 bits : AB = = 7F = 2531+E4CD=

27 Exemples - Entiers relatifs
En binaire sur 4 bits : = = = = En hexadécimal sur 16 bits : AB = = 7F = 2531+E4CD=

28 Addition et soustraction en MIPS
Instructions add : addition sur entiers relatifs addu : addition sur entiers non signés (ie. naturels) sub : soustraction sur entiers relatifs subu : soustraction sur entiers non signés (ie. naturels)

29 DIGLOG Qu’est-ce ? But : Simulateur de porte logiques
Additionneur/soustracteur 4 bits