Mécanique des fluides 1ère partie Olivier LOUISNARD Centre Poudres et Procédés Bureau 1C6 – tel 30 62

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1 Mécanique des fluides 1ère partie Olivier LOUISNARD Centre Poudres et Procédés Bureau 1C6 – tel 30 62 Email : louisnar@enstimac.fr

2 Plan du cours C1Généralités. Définitions. Forces sur un fluide1 - 4 C2Hydrostatique4 C3Equations de conservation2 et 3 C4Mouvement dun fluide5 Cas du fluide parfait incompressible 6 C5Forces exercées par un fluide sur une structure3 et 5 C6Pertes et gains de charge. Pompes et turbines6 Séance de cours Chapitre poly

3 Cours connexes Prérequis Analyse vectorielle Mécanique Thermodynamique En parallèle Phénomènes de transferts Thermodynamique et procédés Mécanique des milieux continus Suite Mécanique des fluides 2ème partie Transferts convectifs (Option énergétique)

4 Prérequis Mécanique Thermodynamique Mathématiques Loi de la dynamique Premier principe (= conservation de lénergie)

5 Quest-ce quun fluide ? pas de forme propre sécoule si on lui applique une force prend la forme du récipient Limite solide / fluide parfois floue : dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes) états semi-ordonnés (ou « indécis ») (liquides vitreux, cristaux liquides, colloides) dépend de léchelle de temps considérée (glacier) Les molécules interagissent (peu pour les gaz) Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres. Pas dordre comme dans un solide (ou peu)

6 Quelques fluides Monophasiques eau, air, huile, métaux fondus Multiphasiques aérosols (brouillard) émulsions (lait, vinaigrette, anisette...) suspensions (pâtes, boues) liquides à bulles (surface de locéan, fluides de refroidissement) « Complexes » magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques) polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...) milieux granulaires (sable, poudres)

7 Ferrofluides Lait Liquide à bulles Cristaux liquides

8 Description dun fluide Macroscopique : celle qui nous intéresse à notre échelle milieu continu (?) Microscopique atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres Liquide = fort encombrement / interactions forte Gaz = faible encombrement / interaction faible On cherche à représenter ce que lon voit : description macroscopique

9 Analogie Echelle macro (la notre) Méso Echelle micro

10 Echelle mésoscopique (x,y,z) Hypothèse de milieu continu Echelle macroscopique Echelle microscopique Masse volumique (kg/m 3 ) Champ de vitesses et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, z Pas toujours vrai.... (ondes de chocs, vides poussés) (x,y,z) Masse volumique x,y,z kg/m 3 ) mimi Vitesse v x,y,z Comment définir une densité et une vitesse v variant continument / x,y,z ?

11 Grandeurs volumiques Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous) grandeurs globales grandeurs locales G(t) grandeur extensive contenue dans V On définit : soit g grandeur volumique (G/m 3 ) Masse de fluide dans V Quantité de mouvement de V Energie cinétique de V Energie interne de V

12 Masse volumique x,y,z en kg/m 3 En général différente dun point à un autre Varie avec la température (même pour un liquide) Varie avec la pression (peu pour un liquide) Eau 1000 kg/m 3 Mercure 13000 kg/m 3 Air 1.3 kg /m 3 Une approximation bien utile : le fluide incompressible = constant par rapport à t et x,y,z Conditions de validité : plus tard Masse de fluide dans V

13 Forces exercées sur un fluide Forces volumiques exercées sur chaque élément de volume dV (poids, forces dinertie, magnétiques,...) Forces surfaciques ou « de contact » exercées sur chaque élément de surface dS (pression, frottement visqueux)

14 Forces de pression: approche intuitive S F p1 F p2 F p = F p1 + F p2 F p1 et F p2 orthogonales à S 1, S 2 F p1 et F p2 vers lintérieur de V S2S2 S1S1 h Liquide en équilibre mécanique P=mg Equilibre: F p + mg = 0 F p vers le haut FpFp donc F p proportionnelle à S n1n1 n2n2 on écrit F p1 = -p 1 n 1 S 1 F p2 = -p 2 n 2 S 2

15 Origine microscopique Gaz Liquide Forces de répulsion de Van der Waals Système subissant la pression Echange de quantité de mouvement avec les molécules FpFp n dS n F p = - p n dS

16 V S Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S Force de pression dF p = -p n dS S fermée n dS = 0, Remarque importante : en vertu du théorème de la normale on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p : S F p = -(p-p 0 ).n dS S dF p Fp =Fp = n dS n découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n Fp =Fp = S -p.n dS A retenir

17 Forces volumiques Poids : V P = g dV V V Fie+Fic = - (a e +a c ) dV Forces électromagnétiques : (pour info : plasmas, magma, ferrofluides) Obtenues de la même façon. Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique) somme des poids élémentaires dm.g = dV g de toutes les particules fluides dV dV gdV Forces dinertie : (en référentiel non galiléen) somme des forces dinertie élémentaires -dm.(a e +a c ) = - dV.(a e +a c ) de toutes les particules fluides dV - dV.(a e +a c ) Attention ! a priori x,y,z)

18 Hydrostatique : équation globale Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non) Equilibre entre : V S dS n Forces volumiques V P = g dV P Forces de pression Fp =Fp = S -p.n dS FpFp S -p.n dS + V g dV = 0 A retenir F p + P = 0

19 Hydrostatique : équation globale La résultante des forces de pression est toujours dirigée vers le haut cest la poussée dArchimède ! Equation peu pratique pour calculer le champ de pression Il faut la réécrire sous forme « locale » = exprimée en tout point grâce à des opérateurs danalyse vectorielle.

20 Hydrostatique : équation locale S -p.n dS + V g dV = 0 g dV = 0, vrai quel que soit V -grad p dV + V Donc : V grad p = g A retenirLintégrande doit être nul, soit S -p.n dS =-grad p dV V Or (formule de Green):

21 Hydrostatique : équation locale grad p = g Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos Condition aux limites : p = p atm sur la surface de contact avec lair Les surfaces isobares p(x,y,z) = C te sont perpendiculaires à g La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g (cest le problème du plongeur) La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g (mal de laltitude, pressurisation des cabines davion)

22 Hydrostatique en référentiel non galiléen Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R qui accélère / R une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (a e horizontal) miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (a e radial) expériences en gravité 0 (a e = g) F p + P + F ie = 0 Il faut ajouter la force dinertie dentraînement La force de Coriolis est nulle car le fluide est immobile S -p.n dS + g - a e )dV = 0 V Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g a e V F i e a e dV F ic

23 Hydrostatique en référentiel non galiléen Sous forme locale : grad p = g a e ) Les surfaces isobares p(x,y,z) = C te sont maintenant perpendiculaires à g a e S -p.n dS + g a e ) dV = 0 V Sous forme globale :

24 Fluide immobile V S Corps étranger Force dArchimède Ce nest rien dautre que la résultante des forces de pression. On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide Solide ou bulle dans liquide, ballon dhélium dans lair... F p = ? Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi. Léquilibre dans le deuxième cas montre que F p = fluide Vg Fluide immobile V S Fluide en équilibre On remplace par du fluide FpFp fluide Vg

25 V S Corps étranger Force dArchimède F p = fluide Vg P corps = corps Vg P corps + F p = ( corps fluide )Vg Le corps nest pas en équilibre : corps fluide : il descend corps fluide : il monte

26 V Le corps est pourtant plus dense corps > fluide Bateau en alu V Le corps est moins dense fluide > corps Iceberg Force dArchimède On peut généraliser le raisonnement au cas où un objet partiellement immergé. On retiendra : F p = fluide V immergé g Dans ce cas léquilibre est possible : V immergé V immergé < V corps V immergé mais V corps < V immergé P corps + F p = ( corps V corps fluide V immergé ) g = 0

27 On définit la densité dun corps d = corps / eau si solide ou liquide d = corps / air(20°C,1 atm) si gaz Densité

28 Moment des forces de pression V S A dS n M n M Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation. dF p = pn dS S M A (F p ) = AM dF p AMAM Moment total en A de F p = somme des moments élémentaires en A des dF p S M A (F p ) = AM pn dS soit En particulier, on peut définir le centre de poussée C sur le volume V Cest le point C tel que M C (F p ) = 0 Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p : S M A (F p ) = AM (p-p 0 ) n dS

29 Rappel sur les unités Masse volumique, unité SI : kg / m 3 Pression p : unité SI : N / m 2 = kg m -1 s -2 = Pa (Pascal) 1 bar = 100 kPa 1 torr = 1 mm Hg.1 psi = 1 pound / square inch Pression atmosphérique : 1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi

30 Exercices dapplication de lhydrostatique Intégration de léquation de lhydrostatique - dans un liquide incompressible - dans latmosphère - dans en liquide en référentiel non galiléen Mesure de la densité avec un tube en U Force de pression et moment sur une paroi de bassin

31 Principes de conservation La nature conserve plusieurs grandeurs : la masse la quantité de mouvement lénergie « Rien ne se perd, rien ne se crée »

32 Bilan dune grandeur G dans un volume V V Principe de conservation G = Habitants dun pays De largent Masse Quantité de mouvement Energie Charge électrique Flux entrant de G e (t) Production de G + R + (t) Flux sortant de G - s (t) Destruction de G - R - (t)

33 Bilans pour un fluide Système = Volume de fluide V FIXE On veut calculer V S SeSe SsSs = S e + S s quantité de G qui entre dans V par sa frontière S e = FLUX quantité de G qui sort de V par sa frontière S s Comment G(t) varie ? limité par S contenant une certaine quantité G traversé par du fluide transportant G Rappel :

34 Deux sortes de flux Flux = mouvement dune grandeur à travers une surface convectif = transporté par le fluide (à cause de v) diffusif = causé par un gradient Diffusif (du chaud vers le froid) Convectif (forcé par le mouvement du fluide) Exemple pour un flux dénergie :

35 vdt Pendant dt, le fluide balaye un petit volume d 2 V d2Vd2V Flux convectif V S dS n SeSe SsSs = S e + S s v dS n d 2 V = dS vdt cos = v.n dS dt v Quantité d 2 G passant par dS pendant dt ? d 2 G = quantité de G dans ce volume = gd 2 V = g v.n dS dt Par S s tout entier il sort donc pendant dt SsSs g v.n dSdG s = dt Par S e tout entier il rentre donc pendant dt SeSe g v.n dS dG e = - dt v n

36 Flux convectif (suite) Pendant dt, la variation de G dans V est donc : dG = dGe - dGs - - V S dS n SeSe SsSs = S e + S s v v n S g v.n dS = - dt La contribution du mouvement du fluide à la variation de G est donc : S g v.n dS = - SeSe g v.n dS = - dt Ce qui rentre v.n < 0 v.n > 0 Ce qui sort SsSs g v.n dSdt

37 Bilan pour un fluide Le bilan de G dans un volume V est donc: V S dS n v v n G g dV V S g v.n dS = - e (t)- s (t) + flux diffusifs + création - disparition + R + (t)- R - (t)

38 V Tube de courant : Bilans sur un tube de courant Objectif : avoir des équations plus simples sans ni S V Le prix à payer : faire des hypothèses simplificatrices S= S e + S s + S lat SsSs n v.n > 0 v SeSe n v.n < 0 v v v v v v S g v.n dS = SeSe g v.n dS + SsSs S lat g v.n dS S lat v.n = 0 n Hypothèses supplémentaires ?

39 Bilan sur un tube de courant Hypothèse : g uniforme sur S e et S s (justifié pour des écoulements en conduite) = g e SeSe g v.n dS SeSe v.n dS = - g e v e S e = g s SsSs g v.n dS SsSs v.n dS = + g s v s S s V S lat Le bilan sur la grandeur g devient : G = geveSe - gsvsSs +geveSe - gsvsSs + SsSs v s S s = SsSs v.n dS n v.n > 0 v v v SeSe v e S e = - SeSe v.n dS n v.n < 0 v v v On définit les vitesses moyennes > 0 v e et v s en entrée et en sortie :

40 Approximation écoulement piston Justification tube de courant Ecoulement laminaireEcoulement turbulent vS = S v.n dS On définit une vitesse moyenne v sur la section, par :

41 Récapitulatif : bilan de G Dans un volume V : V S dS n v v n Sur un tube de courant : G = geveSe - gsvsSs +geveSe - gsvsSs + G g dV V S g v.n dS + = - V n v v n v SsSs SeSe v v v

42 Bilan de matière G = M masse g = masse volumique R + - R - = 0ni production, ni destruction, ni flux diffusifs (pour un fluide homogène) M S v.n dS = - dV V Général : M e v e S e - s v s S s MeMe MsMs Tube de courant : M = vS débit massique (noté aussi q)

43 Conservation de la quantité de mouvement Choc P 1 =m 1 v 1 P 2 =m 2 v 2 P 1 =m 1 v 1 P 2 =m 2 v 2 P 1 + P 2 = P 1 + P 2 P 2 P 2 = P 1 P 1 = F 1/2 t Variation de QDM de 2 : Echange de QDM force : P 2 = F 1/2 t Une force « produit » de la quantité de mouvement.

44 Bilan de quantité de mouvement G = Pquantité de mouvement g = vdensité de quantité de mouvement R + - R - = F ext loi de la dynamique S v (v.n) dS = - P v dV V Tube de courant : e v e (v e S e ) - s v s (v s S s ) MeveMeve MsvsMsvs P Equations vectorielles

45 Conservation de l énergie Pour un système fermé (qui néchange pas de matière) : U 1, K 1 U 2, K 2 Q W (U+K) = (U 2 +K 2 ) (U 1 +K 1 ) = W + Q Joule Pendant un temps dt : puissances (en Watt)

46 Bilan dénergie G = U+Kénergie interne + cinétique g = u + v 2 /2)densité dénergie interne + cinétique S u + v 2 /2) (v.n) dS = - (U+K) u + v 2 /2) dV V Le calcul de relève du cours de transfert thermique Tube de courant : e (u e + v e 2 /2) (v e S e ) - e (u s + v s 2 /2) (v s S s ) M e (u e + v e 2 /2)M s (u s + v s 2 /2) (U+K) R + - R - =premier principe de la thermo

47 Poids : V g dV S -pn dSPression : Frottement visqueux : frottement fluide / fluide adhérence fluide aux solides dissipation dénergie Forces extérieures

48 h y x Viscosité : expérience de Couette U0U0 v t 1 0 v t 2 > t 1 v t Constatations expérimentales : v x = U 0 sur la plaque supérieure v x = 0sur la plaque inférieure Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide = viscosité dynamique F fluide / plaque F fluide / plaque avec S surface mouillée profil linéaire de v x au bout dun temps assez grand

49 Frottement visqueux v v v h V0V0 t 1 0 t 2 > t 1 t v y F fluide / plaque Conclusions : le fluide adhère aux parois les couches de fortes vitesse entraînent celles de faible vitesse ==> frottement entre les couches fluides la force / u. de surface est proportionnelle au gradient de vitesse elle sexerce tangentiellement à la surface transfert de quantité de mouvement des fortes v vers les faibles v v varie comme h 2 / transfert diffusif (idem chaleur) = / viscosité cinématique en m 2 /s. F

50 Viscosité homogène à kg.m -1.s -1 = Pa.s = Pl (Poiseuille) on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo) Eau :10 -3 Pa.s = 1 cPo Air :1.85 10 -5 Pa.s augmente avec T pour un gaz indépendant de p pour un gaz diminue avec T pour un liquide (cf. huile dans poële) augmente avec p pour un liquide

51 Contrainte visqueuse Contrainte = force / u. de surface V S dS n n Question : peut-on exprimer v en fonction de n ? On a donc p = -pn Exprimé facilement en fonction de n x y z exex v dF v = v dS v = force visqueuse / u. de surface dF p = -pn dS p = force de pression / u. de surface v = =. n Oui sous forme tensorielle xx yx zx On montrera (MDF II): Pour les fluides dits « newtonien »

52 S v (v.n) dS + = - QDM transportée par le fluide rentrant - sortant v dV V Variation de QDM du fluide dans le volume V V g dV Poids S -pn dS + Pression S n dS Frottement visqueux Bilan de quantité de mouvement

53 Equations locales Objectif : remplacer le bilan sur un volume V par des relations différentielles valables en chaque point du fluide Moyens : théorèmes passage à la limite V 0 S V Intérêt : calcul analytique ou numérique de solutions découlement

54 Energie Les équations locales Système complet ?1 équation vectorielle 2 équations scalaires 1 inconnue vectorielle 3 inconnues scalaires masse volumique Il manque une équation détat : Masse pression énergie interne vitesse QDM + 2 équations scalaires+ 1 inconnue scalaire

55 Quelques équations détat Gaz parfait :(compresseurs, turbines à gaz) GP isotherme :(rare)GP isentropique : (acoustique, ondes de chocs, écoulements gazeux en général) Liquide compressible : (explosions sous-marines, écoulements liquides supersoniques, rare) Fluide incompressible : (hydraulique, presque tous les écoulements liquide + écoulements gaz faible Mach) BAROTROPES Equation de lénergie découplée de M et QDM

56 = a accélération du fluide Autres écritures sécrit aussi ou encore

57 Bilan matière pour un fluide incompressible ( x, y, z, t) = Général S v.n dS = 0 Tube de courant veSe = vsSsveSe = vsSs VeVe VsVs Equation locale V = vS débit volumique (noté aussi Q) V S dS n SeSe SsSs = S e + S s v v n Ce qui rentre = Ce qui sort Accumulation de masse impossible

58 Validité fluide incompressible Correct si : c vitesse du son dans le fluide déduite de léquation détat Exemple pour un gaz parfait: = 340 m/S à 298 K Validité indépendante du caractère gazeux ou liquide Inutilisable si Ma > 0,3 Inutilisable pour rendre compte de certains phénomènes (acoustique, chocs) En pratique presque toujours valable dans les liquides Ma = nombre de Mach

59 Modèle de fluide parfait mouvement non dissipatif conservation de lénergie mécanique pas dadhérence aux parois solides pas de création de « rotationnel » ouvre de nombreuses simplifications mathématiques Permet de négliger les frottements visqueux du freinage visqueux dun corps ou dun fluide (voiture économique !) de lamortissement des ondes (vagues, acoustiques,...) Limitations évidentes. Ne rend pas compte : Validité ?

60 = Forces dinertie du fluide Forces visqueuses Temps de transport de QDM par diffusion Temps de transport de QDM par convection == Energie cinétique du fluide Energie dissipée par frottement Nombre de Reynolds A retenir ! S v (v.n) dS S n dS = Conservation QDM

61 Classification des écoulements Permet de classer les régimes découlement Ecoulement rampant ou « de Stokes » Effets visqueux sensibles dans tout lécoulement fluide parfait ! Ecoulement turbulent Mouvement désordonné 1100 - 1000 Re Ecoulement laminaire Filets fluides parallèles

62 Ecoulement rampant (ou de Stokes) Re << 1 (inertie négligeable devant frottements visqueux) Effets visqueux sensibles dans tout lécoulement Equations linéaires => plusieurs solutions analytiques pratiques (suspensions, milieux poreux) Réversible

63 Ecoulement rampant Re = 1,5

64 Ecoulement laminaire Re = 26

65 Ecoulement laminaire

66 Transition laminaire-turbulent Expérience de Reynolds Cest Reynolds

67 Transition laminaire-turbulent Re = 200

68 Ecoulement turbulent Re = 8000

69 Turbulence Déstabilisation de lécoulement Ecoulement moyen + fluctuations de vitesse Fluctuations isotropes au coeur de lécoulement Tourbillons déchelles variées Transfert dénergie des grandes échelles vers les petites La plus petite échelle (dite de « Kolmogorov ») dissipe lénergie Presque tous les écoulements industriels Les transferts massiques / thermiques sont plus efficaces Il existe des modèles numériques (k- utiles pour lingénieur MAIS reste encore un problème physique ouvert... ALORS QUE échelle de lhomme équations de la mécanique classique !

70 Turbulence « Je suis maintenant un vieil homme. Quand je mourrai, et irai au paradis, jespère quon pourra méclairer sur 2 disciplines : lélectrodynamique quantique, et la turbulence des fluides. Pour la première, je suis plutôt optimiste... » Horace LAMB, physicien, 1932

71 Ecoulement externe : couche limite Dissipation visqueuse :seulement dans la couche limite Vitesse fluide parfait :seulement dans la couche limite Fluide parfait utilisable si on « néglige » la couche limite si on ne sintéresse pas à la force de frottement U0U0 Plaque solide Couche limite Ecoulement fluide parfait x U0U0 Même conclusion si couche limite turbulente

72 Couches limites et sillages

73 Ecoulements interne Approximation écoulement piston Ecoulement laminaireEcoulement turbulent Fluide parfait utilisable si on moyenne le profil de vitesse si on ne sintéresse pas aux pertes de charges

74 Validité fluide parfait Ecoulements externes : Si Re >> 1, valable à lextérieur de la couche limite (qui est petite) Mais ne rend pas compte de certains phénomènes (trainée) Si Re << 1, à traiter par théorie écoulements rampants Ecoulements en conduite : Fluide parfait applicable (Bernoulli) pour tout Re Avec correction pour pertes de charges

75 Conservation QDM en fluide parfait S v (v.n) dS + = - QDM transportée par le fluide rentrant - sortant v dV V Variation de QDM du fluide dans le volume V V g dV Poids S -pn dS Pression Sous forme locale : Sous forme globale :

76 Masse Fluide parfait incompressible ( x, y, z, t) = v = Equations locales : QDM Une grande simplification est possible : Loi de Bernoulli

77 Conditions aux limites Quelles relations doit-on écrire aux frontières du domaines : parois solides interface avec autre fluide entrée dun écoulement (typiquement dun tuyau) sortie dun écoulement (idem) infiniment loin en amont dun obstacle

78 Conditions aux limites Paroi solide : normalement v = 0normalement ATTENTION : en fluide parfait, glissement autorisé on impose seulement : v.n = 0 v n Sortie écoulement : p imposé (souvent = p atm ) et v // n Infini amont : écoulement parallèle v = V 0écoulement parallèle V0V0

79 Loi de Bernoulli v On suppose régime permanent => On projette la conservation QDM sur la ligne de courant ( grad v 2 /2 + rot v v). dM = ( g grad p). dM De plus, on peut écrire g = grad ( gz) grad ( v 2 /2 + p + gz). dM = 0 1 2 v 1 2 /2 + p 1 + gz 1 = v 2 2 /2 + p 2 + gz 2 Ligne de courant : v // dM v v v M dM => (rot v v). dM = (v dM). rot v = 0

80 Loi de Bernoulli Sous les hypothèses : Fluide parfait Fluide incompressible Régime permanent La quantité p + v 2 /2 + gz est constante le long dune ligne de courant Energie potentielle de pression Energie cinétique Energie potentielle de pesanteur Conservation de lénergie mécanique Il existe une version en compressible Peut être généralisé en instationnaire dans quelques cas rares (cf. TD)

81 Deuxième loi de Bernoulli ( + grad v 2 /2 + rot v v) = ( g grad p) De plus, on peut écrire g = grad ( gz) Applicable aux écoulements irrotationnels rot v = 0 => v = grad On suppose régime permanent => grad ( + v 2 /2 + p + gz) = 0 dans tout lécoulement !

82 v v v M dM

83

84 Masse « Par unité de temps, il sort autant de matière quil en rentre »