Primitives - Intégration

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1 Primitives - Intégration

2 La notion de Primitive f (x) f ’ (x) Intégrer Dériver Définition :
F(x) est une primitive de f (x) si F ’(x) = f (x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive. Notation : L’ensemble des primitives de f est noté

3 La notion de Primitive f (x) f ’ (x) x2 ln (x) exp (x) 2x 1 / x
Dériver Intégrer f (x) f ’ (x) x2 ln (x) exp (x) 2x 1 / x exp (x) Formulaire dans MathSV et dans le fascicule Jaune

4 Un premier exemple En médecine
Quantité de médicament dans le sang au temps t, après une injection par voie intraveineuse

5 Un modèle exponentiel tmax = 0

6 Questions : QMS = Quantité de médicament dans le sang (h.mg/l)
Q1 : QMS dans les 10 heures qui suivent l’injection ? Q2 : QMS moyenne par heure pendant les 10 heures qui suivent l’injection ?

7 Q1 : QMS sur les 10 premières heures

8 Q2 : QMS moyenne par heure

9 La notion d’intégrale « La somme de a à b de est égale à la différence entre la primitive de f au point b et la primitive de f au point a »

10 Interprétation géométrique
b A f est définie sur [a ; b] f admet une primitive

11 Interprétation géométrique
n petits intervalles Dx = xi – xi+1 Dx = (b – a) / n f (xi) Dx f (xi+1) Dx

12 Interprétation géométrique
C’est une notation

13 Propriétés ATTENTION au signe Relation de CHASLES :

14 Exemple 1 2 tmax = 0

15 Valeur moyenne

16 Autres propriétés

17 Aire d’un domaine

18 Méthodes de calcul Décomposition en somme Changement de variables
Décomposition en éléments simples Intégration par partie

19 Décomposition en somme
Changement de variables

20 Intégration par partie

21 La population du Botswana
Un autre exemple La population du Botswana

22 Un exemple en Démographie

23 La probabilité de rencontre entre deux individus d’une même espèce
Un dernier exemple La probabilité de rencontre entre deux individus d’une même espèce

24 Probabilité de se rencontrer au temps t

25 Probabilité de se rencontrer entre t1 et t2

26

27

28 Les équations différentielles
Prochain RDV Lundi 27/09 à 16h Les équations différentielles TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-5, B-3 TD du vendredi : Série 2 + EVAL