Analyse Factorielle des Correspondances

Présentation au sujet: "Analyse Factorielle des Correspondances"— Transcription de la présentation:

1 Analyse Factorielle des Correspondances
Michel Tenenhaus

2 Exemple : Les signes de ponctuation chez Zola

3 Analyse Factorielle des Correspondances

4 1. Les données Tableau de contingence
= Croisement de deux variables qualitatives X et Y Tableau des effectifs kij

5 Exemple Élection 81

6 2. Le test du khi-deux d’indépendance
H0 : Les variables X et Y sont indépendantes H1 : Les variables X et Y sont liées entre elles Statistique utilisée :

7 Le test du khi-deux d’indépendance
Décision : On rejette H0 au risque  de se tromper si 2  1-2[(n-1)(p-1)] Résultats : Conclusion : La répartition des votes entre les 10 candidats varie d’un département à l’autre.

8

9 Les résidus standardisés

10 3. Les profils lignes Profil-ligne du département i : fJi = {kij/ki.}
Profil-ligne global : fJ = {f.j = k.j/k}

11 4. Les profils colonnes Profil-colonne du candidat j : fIj = {kij/k.j}
Profil-colonne global : fI = {fi. = ki./k}

12 5. Analyse en Composantes Principales du tableau des profils-lignes
fJi fJ Les composantes principales fJ est le centre de gravité du nuage de points pondérés {fJi, fi.}.

13 Analyse en Composantes Principales du tableau des profils-lignes
- Chaque ligne i a un poids fi. - Distance du 2 entre les lignes i : - Inertie totale : mesure la dispersion des profils-lignes par rapport au centre de gravité

14 Le nuage de points associés aux profils-lignes
Bouchardeau . 1 *Lozère *fJ 1 *Vendée Giscard d’Estaing *Landes 1 Mitterrand

15 Résultats de l’ACP des profils lignes
ANALYSE DES CORRESPONDANCES BINAIRES VALEURS PROPRES h | NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT.| | | PROPRE | | CUMULE | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

16 Les 5 premières composantes principales pour les profils lignes
Carré de la

17 Premier plan principal des profils lignes

18 6. Analyse en Composantes Principales du tableau des profils-colonnes
fIj fI Y 1 j p 1 : : X i k /k k /k ij .j i. n G 1 (j) : : Les composantes principales G G (j) 2 2 : fI est le centre de gravité du nuage de points pondérés {fIj, f.j}.

19 Analyse en Composantes Principales du tableau des profils-colonnes
- Chaque colonnes j a un poids f.j - Distance du 2 entre les colonnes j et j ’ : - Inertie totale :

20 Le nuage de points associés aux profils-colonnes
Yonne . 1 *Garaud *fI 1 *Laguiller Hautes-Alpes *Bouchardeau 1 Ain

21 Résultats de l’ACP des profils colonnes
ANALYSE DES CORRESPONDANCES BINAIRES VALEURS PROPRES | NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT.| | | PROPRE | | CUMULE | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

22 Les 5 premières composantes principales pour les profils colonnes

23 Premier plan principal des profils colonnes

24 7. Lien entre les deux analyses : les relations de transitions
Les départements sont au barycentre des candidats à près, où h = Var(Fh) = Var(Gh). Les candidats sont au barycentre des départements à près.

25 Première équation de transition
Un département est proche de son candidat favori et loin de son candidat rejeté.

26 Deuxième équation de transition
Un candidat est proche du département qui le soutient et loin du département qui le repousse.

27 Représentation pseudo-barycentrique

28 Contribution des modalités i à la construction de F1
on déduit : CTR1(i) fort <==> - Point fortement explicatif de F1 - Point contribuant fortement à la construction de l’axe

29 Contribution des modalités i à la construction de F1

30 Contribution des modalités j à la construction de G1

31 Qualité de représentation du point i sur le premier axe principal : Cosinus carré
fJi p  1  F1(i)    fJ    2 1 Cos12 (i) fort <==> - Point fortement expliqué par l’axe 1 - Point bien représenté sur l’axe 1

32 ACP des profils-lignes : Cosinus carrés

33 ACP des profils-colonnes : Cosinus carrés

34 Visualisation des contributions

35 Visualisation des cosinus carrés

36 Nouvelle analyse Il faut reprendre l’analyse en mettant les
candidats Crépeau, ou bien Marchais et Crépeau en points supplémentaires. On peut aussi essayer d ’enlever seulement la Charente-Maritime.