La Méthodologie de Box-Jenkins

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1 La Méthodologie de Box-Jenkins
Michel Tenenhaus

2 1. Les données Une série chronologique assez longue (n  50).
Exemple : Ventes d’anti-inflammatoires en France de janvier 1978 à juillet 1982. Objectif : Prévoir les ventes d’août à décembre 1982.

3 Marché total des anti- inflammatoires

4 Marché total des anti-inflammatoires

5 2. Stabiliser la série Il faut TRANSFORMER la série observée de manière à - enlever la tendance, - enlever la saisonnalité, - stabiliser la variance.

6 Pour enlever la tendance
Faire des différences régulières d’ordre d : d = 1 d = 2 Différence régulière d’ordre d : Dans la pratique d = 0,1, rarement 2

7 Marché total des anti-inflammatoires :
Différence régulière d’ordre d = 1

8 Pour enlever la saisonnalité
Ordre de la saisonnalité : s = 12 (mois) ou 4 (trimestre) Faire des différences saisonnières d’ordre D : D = 1 D = 2 Différence saisonnière d’ordre D : Dans la pratique D = 0,1, très très rarement 2

9 Marché total des anti-inflammatoires :
Différence saisonnière (s = 12) d’ordre D = 1

10 Pour enlever tendance et saisonnalité
Formule générale : On peut choisir d et D minimisant l’écart-type de wt. Application Marché total : s = 12, d = 1, D = 1

11 Marché total des anti-inflammatoires :
Différence régulière/saisonnière (s = 12, d = 1, D = 1)

12 Calcul des séries différenciées

13 Calcul des écarts-types
s = 12, d = 1, D = 1

14 Développement de zt De On déduit
valeur 1 an avant évaluation de la tendance terme aléatoire On va modéliser la série « stationnaire » wt.

15 Pour stabiliser la variance
On utilise souvent les transformations

16 3. Le modèle statistique On suppose que la série stabilisée (w1,…,wN)
provient d’un processus stationnaire (wt) : Indépendant de la période t Dans des conditions assez générales tout processus stationnaire peut être approché par des modèles AR(p), MA(q) ou ARMA(p,q).

17 AR(p) : Auto-régressif d’ordre p
où at est un bruit blanc : Remarque :

18 MA(q) : Moyenne Mobile d’ordre q
Remarque :

19 ARMA(p,q) Remarque :

20 Question Réponse Comment choisir le modèle
correspondant le mieux aux données étudiées ? Réponse On utilise les autocorrélations k et les autocorrélations partielles kk.

21 4. Autocorrélation

22 Exemple : Marché Total Différence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1
Autocorrélations calculées

23 Exemple : Marché Total Différence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1
Corrélogramme observé Formule de Bartlett

24 Variance des autocorrélations rk
Formule de Bartlett (Hypothèse : h = 0 pour h  k) Formule de Box-Jenkins pour un bruit blanc (Hypothèse : h = 0 pour h  1)

25 Test : H0 : k = 0 On rejette H0 : k = 0 au risque  = 0.05 si
Application Marché total : Corrélogramme théorique k 1  k 1 = 0, k = 0 pour k > 1

26 5. Autocorrélation partielle
Régression de wt sur wt-1,…,wt-k : Autocorrélation partielle d’ordre k : C’est une corrélation partielle :

27 Calcul pratique de estimation de kk
Soit : Etc… On obtient les estimations des kk en remplaçant les k par rk.

28 Exemple : Marché Total Différence régulière/saisonnière : d = 1, D = 1
Autocorrélations partielles calculées Rejet de H0 : kk = 0 si:

29 Corrélogramme partiel observé
partiel théorique kk 1 2 14     k

30 6. Autocorrélations et autocorrélations partielles des modèles AR(p) et MA(q)
(b) : AR(1)

31 AR(2) Le dernier pic significatif du corrélogramme partiel donne
(b) : Le dernier pic significatif du corrélogramme partiel donne l’ordre p du modèle AR(p).

32 MA(1) (a) : (b) :

33 MA(q) (a) : q = 2 (b) : q = 5 (c) : q = 6 Le dernier pic significatif du corrélogramme donne l’ordre q du modèle MA(q).

34 7. Étude de la série Marché Total
Les autocorrélations suggèrent un modèle MA(1). Les autocorrélations partielles suggèrent un modèle AR(14).

35 7.1 Étude de la voie moyenne mobile
On suppose que wt suit un modèle MA(1) : et on a  = E(wt) = . On choisit les paramètres ,  et 2 à l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance.

36 Maximum de vraisemblance
On suppose que le vecteur aléatoire w = (w1,…,wN) suit une loi multinormale. Densité de probabilité de w : On recherche maximisant la vraisemblance

37 Qualité de l’ajustement dans ARIMA
où r est le nombre de paramètres (hors 2). On recherche le modèle minimisant SBC.

38 Modèle MA(1) avec constante

39 Modèle MA(1) sans constante

40 Modélisation de zt De On déduit marché 1 an avant évaluation
de la tendance choc aléatoire en t en t-1

41 Calcul des prévisions et des erreurs
Modèle : Prévision de zt réalisée en t-1 : Erreur de prévision à l’horizon 1 : Calcul pratique des prévisions et des erreurs sur l’historique:

42 Résultats

43 Résultats (suite)

44 Résultats (fin) Vérifier les calculs pour

45 Graphique des ventes observées et prédites

46 Graphique des résidus

47 Qualité de l’ajustement dans Time Series Modeler

48 Validation du modèle Étude des

49 Validation du modèle Corrélogramme des     Formule de Box-Jenkins
théorique des erreurs bt k(bt) 12     k

50 Validation du modèle : Utilisation de
la statistique de Ljung-Box La statistique de Ljung-Box suit une loi du khi-deux à m-r ddl lorsque les résidus forment un bruit blanc. On accepte le modèle étudié si les niveaux de signification sont > .05 pour différentes valeurs de m.

51 Utilisation du modèle estimé en prévision
Prévision de z55+h réalisée en t = 55 : h = 1 h = 2 Et ainsi de suite…

52 Application

53 Intervalle de prévision à 95% de z55+h
Chaque modèle a sa propre formule de construction de l’intervalle de prévision. Modèle MA(1) :

54

55 Amélioration du modèle MA(1)
est significatif. On suppose maintenant le modèle De on déduit :

56 Demande SPSS

57 Résultats

58 7.2 Étude de la voie autorégressive
On suppose que wt suit un modèle AR(14) :  est appelé Constant dans SPSS et on a  = (1 - 1 -…- 14). On choisit les paramètres , 1,…,14 et 2 à l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance.

59 Résultats

60 Modèle AR : p = (1,2,12,13,14) avec cste
Demande SPSS

61 Résultats

62 Modèle AR : p = (1,2,12,13,14) sans cste
Demande SPSS

63 Résultats

64 Modèle AR : p = 2, P = 1 avec cste
Demande SPSS

65 Résultats

66 Modèle AR : p = 2, P = 1 sans cste
Demande SPSS

67 Résultats

68 Résultats

69 Résultats avec Time Series Modeler

70 Résultats avec Time Series Modeler

71 7.3 Étude de la voie AR/MA Modèle avec constante

72 Résultats

73 7.3 Étude de la voie AR/MA Modèle sans constante

74 Résultats

75 Résultats

76 Résultats (avec Time Series Modeler)

77 Résultats (avec Time Series Modeler)

78 8. Le modèle multiplicatif usuel ARIMA(p,d,q)*(P,D,Q)s
bruit blanc wt où : Tous ces polynômes doivent être inversibles.

79 9. Prévision Le modèle général peut s’écrire :

80 Prévision à l’horizon h
Modèle Prévision avec :

81 10. Calcul de l’intervalle de prévision
on déduit (formellement) :

82 Prévision de zt+h à l’instant t
On a Futur Passé D’où la prévision de zt+h à l’instant t

83 Erreur de prévision à l’horizon h
D’où :

84 Intervalle de prévision à 95% de zt+h réalisé à l’instant t

85 Exemple « Marché Total »
Modèle : On déduit : Remarque :

86 Marché Total : Intervalle de prévision à l’horizon h  12

87 11. Le modèle général de TS Modeler Le modèle à fonction de transfert
Nt = « Noise »

88 Application à la série IPI
Indice de la Production Industrielle de la France ( )

89 Visualisation de la série IPI
Cette série présente une tendance et une saisonnalité

90 Visualisation de la saisonnalité

91 Visualisation de la tendance
Tendance Zt Moyenne mobile centrée d’ordre 4 :

92

93 Modèle avec intervention
Effet mai 68 Nt = « Noise » = Série corrigée stationnarisée Étapes Construction de la série « Noise » Modélisation de la série « Noise » Estimation du modèle complet

94 Etape 1 : Construction de la série « Noise »

95 Étape 2 : Modélisation de la série « Noise »
Noise suit un AR(8)

96 Modélisation de la série « Noise »
Noise ~ ARIMA(8,1,0)*(0,1,0)4

97 Modélisation de la série « Noise »
Noise ~ ARIMA(0,1,0)*(2,1,0)4 sans constante

98 Étape 3 : estimation du modèle complet

99 Étape 3 : estimation du modèle complet sans constante

100 Utilisation de Time Series Modeler
Fenêtre 1

101 Utilisation de Time Series Modeler
Fenêtre 2

102 Utilisation de Time Series Modeler
Fenêtre 3

103 Utilisation de Time Series Modeler pour la prévision

104 Utilisation de Time Series Modeler pour la prévision La syntaxe SPSS
PREDICT THRU END. * Time Series Modeler. TSMODEL /MODELSUMMARY PRINT=[ MODELFIT] /MODELSTATISTICS DISPLAY=YES MODELFIT=[ SRSQUARE] /MODELDETAILS PRINT=[ PARAMETERS FORECASTS] /SERIESPLOT OBSERVED FORECAST FIT FORECASTCI /OUTPUTFILTER DISPLAY=ALLMODELS /SAVE NRESIDUAL(NResidual) /AUXILIARY CILEVEL=95 MAXACFLAGS=24 /MISSING USERMISSING=EXCLUDE /MODEL DEPENDENT=ipi INDEPENDENT=i22 PREFIX='Model' /ARIMA AR=[0] DIFF=1 MA=[0] ARSEASONAL=[1,2] DIFFSEASONAL=1 MASEASONAL=[0] TRANSFORM=NONE CONSTANT=NO /TRANSFERFUNCTION VARIABLES=i22 DIFF=1 /AUTOOUTLIER DETECT=OFF.

105 Utilisation de Expert Modeler

106 Utilisation de Expert Modeler
Réponse :

107 Utilisation de Expert Modeler

108 Utilisation de Expert Modeler

109 Utilisation de Expert Modeler pour « All models »
Réponse :