Travail d'une Force W Travail d'une Force

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1 Travail d'une Force W Travail d'une Force
T Énergie de mouvement Énergie cinétique : Ec V Énergie potentielle (qui peut créer le mouvement) : Ep E Énergie mécanique totale d'un système : E = T + V = Ec +Ep Travail élémentaire d'une force lors d'un déplacement (élémentaire) Le travail W est égal à la circulation de la Force le long du parcours M1M2

2 Travail en coordonnées cartésiennes:
Le travail est une grandeur scalaire, sa valeur peut être considérée comme la somme des travaux effectués lors d'un déplacement quelconque décomposé en des trajets parrallèles aux axes x, y, z respectivement. Travail en coordonnées cylindriques:

3 PUISSANCE INSTANTANEE
C'est le travail fourni par unité de temps: Or : d'où Dans un référentiel d’inertie, on considère un point matériel de masse m animé d’une vitesse v. Son énergie cinétique est et sa dérivée par rapport au temps est : Si la puissance est positive, la force est motrice, si la puissance est négative, la force est résistante. Si plusieurs forces sont appliquées à m, on a :

4 Exemple : Amortissement visqueux : Soit : De l’équation différentielle
on obtient la solution : où À cause de la force de frottement visqueux, l’énergie cinétique décroît avec le temps.

5 TRAVAIL ELEMENTAIRE D'UN COUPLE (de Forces)
d'où : c'est un produit mixte du type : Soit : d'où : Le travail d'un couple de forces est égal au produit de l'intensité C du couple par la variation de l'angle dq au cours de la rotation autour de O.

6 Théorème de l’énergie cinétique :
La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B s’écrit : La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B est égale à la somme des travaux des forces appliquées effectués lors de ce déplacement.

7 Forces conservatives Une force est dite conservative si pour tous les points A et B le travail pour aller de A en B ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et ne dépend que de ces points. Si la force est conservative on peut définir une fonction de l’espace V(x,y,z) qui ne dépend que du point (x,y,z) de l’espace considéré telle que : La fonction V(r) = V(x,y,z) est l’énergie potentielle au point M(x,y,z) La relation suivante n’est vraie que si la force F(r) est conservative

8 ENERGIE POTENTIELLE L'énergie potentielle est une fonction scalaire V(OM) ou Ep(OM) qui ne dépend que de la position OM du point M telle que où A est le point de départ et B le point d'arrivée. La variation d'énergie potentielle DV sera la différence entre l'énergie potentielle à l'arrivée moins celle du départ : Si nous voulons définir l'énergie potentielle du point d'arrivée : Si le point de départ ou référence est toujours le même (surface de la Terre par exemple en mécanique, ou l'infini pour les forces électrostatiques) alors :VA = Cste = Vo soit : L'énergie potentielle du point B est égale à une constante moins le travail pour aller du point de référence au point B.   On dit que l'énergie potentielle n'est définie qu'à une constante additive près.

9 Nous ne sommes intéressés que par les variations ou les différences d'énergie potentielle.
Remarque : si VA > VB alors VB - VA < O = - > O Travail moteur, le système fourni du travail  si VA < VB alors VB - VA > O < O Travail résistant le système doit recevoir du travail pour aller de A à B.  Donc on peut donner ou prélever de l'énergie potentielle à un système. V est l'énergie en réserve que le système peut donner.

10 Relation entre énergie potentielle V et Force
Cette relation n'est vrai que si la force est conservative On peut écrire : d'où Si V = V(xyz), alors : = dérivée partielle par rapport à x de V(xyz), y et z considérés constants. On écrit encore : (gradient de V, variation en fonction de la position) Le théorème de l'énergie cinétique T, permet d'écrire: Si les Forces sont conservatives, il existe une fonction énergie potentielle V telle que : L'énergie mécanique se conserve (est constante) si les forces sont conservatives.

11 Remarque : Ceci est une conséquence de Multiplions scalairement par le vecteur vitesse

12 Exemples de forces conservatives :
Ressort : Soit : Si nous appelons (x-xo) = X = élongation du ressort, alors : Force de gravitation : ici la référence Vo = 0 est prise en A, soit rA = RT Si la référence est prise à l’infini, Vo=0 pour rA=

13 Force électrostatique :
S’il n’y a pas de charge électrique à l’infini, on peut prendre r =  comme point de référence. Alors :

14 Exemple d’application de la conservation de l’énergie :
Vitesse de libération d’un satellite : L’énergie potentielle gravitationnelle d’un satellite de masse m est : Son énergie mécanique est alors : Pour que, lancé à partir de la surface de la Terre (r = RT), il arrive à l’infini avec une vitesse v nulle, sa vitesse de lancement vo doit satisfaire la relation : La vitesse de libération ne dépend pas de la masse de l’objet à libérer, elle est inversement proportionnelle à la distance du point de lancement au centre de la Terre.