Objectif du chapitre 4 Ce chapitre présente une généralisation du critère de BERNOULLI grâce à l’axiomatique de VON NEUMAN et MORGENSTERN.

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1 CHAPITRE 4. Le critère de l’espérance-utilité et l’aversion vis-à-vis du risque

2 Objectif du chapitre 4 Ce chapitre présente une généralisation du critère de BERNOULLI grâce à l’axiomatique de VON NEUMAN et MORGENSTERN

3 Le cadre d’analyse e1 ei en a1 R1,1 R1,i R1,n aj Rj,1 Rj,i Rj,n am
États de la nature e1 ei en a1 R1,1 R1,i R1,n aj Rj,1 Rj,i Rj,n am Rm,1 Rm,i Rm,n Prob{e} Prob{e1} Prob{ei} Prob{en} Actions

4 L’ensemble des résultats constitue un ensemble de cardinal (nombre de résultats distincts) fini.
Cet ensemble C peut être ordonné où

5 Exemple d’application
Actions\états e1 e2 e3 e4 a1 20 25 40 100 a2 5 30 50 125 a3 75 p(ei) p1=0.20 p2=0.25 p3=0.40 p4=0.15

6 La connaissance de l’ensemble C
La connaissance de l’ensemble C* permet de caractériser chaque action aj sous la forme d’une loterie dont les résultats éventuels sont tous des éléments de C* : Probabilité que l’action aj conduise au l ième résultat de C*

7 Une action aj peut être caractérisée de la façon suivante :
Ou encore :

8 Actions\états e1 e2 e3 e4 a1 20 25 40 100 a2 5 30 50 125 a3 75 p(ei) p1=0.20 p2=0.25 p3=0.40 p4=0.15 C*={0, 5, 20, 25, 30, 40, 50, 75, 100, 125} P(a1)={0, 0, 0.2, 0.25, 0, 0.4, 0, 0, , } C*={0, 5, 20, 25, 30, 40, 50, 75, 100, 125} P(a2)={0, 0.2, 0, , 0.25, 0, 0.4, 0, , 0.15}

9 C*={ 0, 5, 20, 25, 30, 40, 50, 75, 100, 125} p(a3)={0.15, 0, 0, , 0, , 0.25, 0.4, , 0} On remarque que les loteries ne diffèrent pas par leurs résultats (les éléments de C) mais diffèrent par les distributions de probabilité p(aj). Nous allons définir une relation de préférence dans l’ensemble P et demander à cette relation de vérifier l’axiomatique de Von Neuman et Morgenstern

10 L’axiomatique de VNM A-1- L’axiome de comparabilité
Cet axiome traduit le fait que deux distributions de probabilités pourront toujours être comparables

11 A-2- L’axiome de transitivité
Cet axiome traduit une rationalité pure qui induit la cohérence entre les classements

12 A-3- L’axiome d’indépendance forte ou de substitution
Cet axiome peut s’interpréter de la façon suivante : L’attitude d’un individu face aux deux loteries ne devra dépendre que de son attitude face à p et q et non pas de la façon d’obtenir p et q.

13 A-4- L’axiome de continuité ou d’Archimède
L’analogie avec le principe d’Archimède est évidente : quelque soit un couple (z , z’) de deux entiers naturels, il existe toujours un entier naturel k tel que : kz > z’

14 Théorème de VNM Sous les axiomes A-1, A-2, A-3, A-4,
il existe une fonction u telle que :

15 La critique de l’axiomatique de VNM
Soient les loteries : A=L(4 000 €, 0 € ; 0.8, 0.2) B=L(3 000 €, 0 € ; 1, 0) Soient les loteries : C=L(4 000 €, 0 € ; 0.2, 0.8) D=L(3 000 €, 0 € ; , 0.75)

16 u(3000 €) > 0.8 u(4000 €) 0.2 u(4000 €) > 0.25 u(3000 €) 0.8 u(4000 €) > u(3000 €)

17 L’aversion vis à vis du risque
L’attitude face au risque : On suppose qu’un individu a une richesse initiale w0 et détient une loterie Sa richesse finale est notée : L’agent a le choix entre garder ou obtenir de façon certaine

18 Si l’agent préfère obtenir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale que la richesse finale, on dit que l’agent est risquophobe. Si l’agent préfère garder sa richesse finale plutôt que d’obtenir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale, on dit que l’agent est risquophile. Si l’agent est indifférent entre avoir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale et aa richesse finale, on dit que l’agent est neutre par rapport au risque.

19 Soit la loterie : La richesse finale est donc : Nous devons comparer : Avec :

20 1er cas : agent risquophobe :

21 2ème cas : agent risquophile :

22 3ème cas : agent neutre vis à vis du risque :

23 EXERCICE : 1- Tracez la fonction d’utilité. Qu’en déduisez vous ? w
u(w) -2000 -1000 1000 2000 3000 4000 5000 10 000 -600 -150 80 150 210 250 280 340 2- Quel montant maximal est-on prêt à investir dans un projet qui rapportera 1000€ ou € avec la même probabilité ? 3- Doit-on investir 2000€ dans un projet où on a 1 chance sur 2 de gagner ou perdre 3000€ ?

24 Solution : La somme maximale est donc telle que :

25 3- Calculons l’espérance de l’utilité de la richesse finale :
Calculons l’utilité de l’espérance de la richesse finale :

26 Le concept d’équivalent certain :
L’équivalent certain est le montant w* sûr et certain qui procure la même utilité que la richesse finale risquée (c-à-d la richesse initiale w0 et la loterie )

27 Réponse : On recherche w* tel que :
Exemple : Quel est l’équivalent certain ? Réponse : On recherche w* tel que :

28 Le concept de prix de vente d’une loterie :
Le prix de vente de la loterie est obtenu par la différence entre l’équivalent certain w* et la richesse initiale w0 . En effet, se débarrasser de la loterie équivaut à se priver de (w* - w0 ).

29 Réponse : On recherche Pv tel que :
Exemple : A quel prix l’agent acceptera-t-il de céder la loterie ? Réponse : On recherche Pv tel que :

30 Le concept de prime de risque :
La prime de risque indique la quantité de risque qu’un individu perçoit dans la loterie . Il s’agit donc de la différence entre l’espérance de la loterie et le prix de vente de la loterie.

31 Exemple : Quelle est la prime de risque de la loterie pour cet agent ? Réponse : Cet agent perçoit un risque de 304,44€, soit une quantité positive de risque. Notre agent est risquophobe.

32 Quelques précisions : La prime de risque est positive pour un individu risquophobe, négative pour un individu risquophile et nulle pour un individu neutre au risque. Si l’agent est risquophobe on sait que : D’où :

33 Si l’agent est risquophile on sait que :
D’où :

34 Si l’agent est neutre vis à vis du risque on sait que :
D’où :

35 Équivalent certain = Richesse moyenne – Prime de risque
Par ailleurs on sait que : D’où : Équivalent certain = Richesse moyenne – Prime de risque

36 L’approximation de Pratt (1964)
A partir de développements limités de Taylor Mac Laurin, Pratt propose une approximation de l’expression de la prime de risque. Cette approximation est : Est une composante subjective propre à l’agent Est une composante objective propre à la loterie

37 Exemple : Calculez la prime de risque par l’approximation de Pratt. Réponse :

38 Quelques précisions : La composante subjective de la prime de risque par l’approximation de Pratt est appelée coefficient d’aversion absolue pour le risque. Propriété #1 : L’individu est risquophobe L’individu est neutre vis à vis du risque L’individu est risquophile

39 Propriété #2 : Plus Ru est élevé en étant positif, plus l’individu est risquophobe. Propriété #3 : Le coefficient Ru est invariant lors de toute transformation affine croissante de la fonction d’utilité. Propriété #4 : Le coefficient Ru mesure en fait la courbure de la fonction d’utilité. Propriété #5 : De façon réciproque, on peut mesurer la tolérance pour le risque, notée T u(w) par :

40 Les fonctions d’utilité usuelles :
Nous allons présenter quelques fonctions d’utilité qui sont couramment utilisées en économie. La fonction d’utilité linéaire : L’aversion vis à vis du risque est nulle donc un agent qui aurait une fonction d’utilité linéaire est agent neutre vis à vis du risque.

41 La fonction d’utilité quadratique :
L’aversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction d’utilité quadratique (avec w < 1/ ) est agent risquophobe. On remarque que l’aversion vis à vis du risque augmente avec la richesse.

42 La fonction d’utilité logarithmique :
L’aversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction d’utilité logarithmique est agent risquophobe. On remarque que l’aversion vis à vis du risque décroît avec la richesse.

43 La fonction d’utilité exponentielle négative :
L’aversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction d’utilité exponentielle négative est agent risquophobe. On peut remarquer que l’aversion vis à vis du risque est constante quelque soit la richesse.

44 La fonction puissance :
L’aversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction d’utilité de ce type est agent risquophobe. On peut remarquer que l’aversion vis à vis du risque est décroissante par rapport à la richesse.

45 Exercice : La classe des fonction d’utilité hyperboliques est définie par : 1- Sous quelles conditions l’aversion pour le risque est-elle positive ? 2- Sous quelles conditions cette même aversion est elle décroissante ? 3- Déterminez la tolérance vis à vis du risque des éléments de cette classe. Qu’en pensez vous ?

46 Exercice 2 : Soit un agent dont la psychologie est donnée par :
Sa richesse initiale est : w0= € Il peut acheter un billet de type loto qui lui permet de gagner 3 millions d'€ avec une chance sur 13 millions. Quel est le prix maximum est-il prêt à payer pour acheter un tel billet ?

47 Solution : L'agent achètera le billet si et seulement si l'équivalent certain est supérieur ou égal à sa richesse initiale.

48 Exercice 3 : Vous organisez un jeu devant un feu rouge en pariant sur le premier chiffre de la plaque d'immatriculation de la première voiture qui s'arrêtera au feu rouge. Vous êtes curieusement risquophile ! Vous proposez à un agent risquophile de lui donner 4 fois sa mise s'il trouve le bon chiffre ! Il désire miser 50€ Question : Êtes vous d'accord ?

49 Solution :