DIAGRAMMES ESPACE-TEMPS EN RELATIVITE

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1 DIAGRAMMES ESPACE-TEMPS EN RELATIVITE

2 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE GALILEENNE
La transformation de Galilée A : observateur fixe dans (R) Si on considère V en valeur algébrique on a une seule loi : X’A = XA – V.t t’ = t

3 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE GALILEENNE

4 LA REPRESENTION 4-VECTORIELLE
Le nouveau cadre mathématique Le 21/09/1908 Minkowski présente son « Postulat du monde » : L’invariance des lois de la nature, que nous nommons aujourd’hui invariance de Lorentz, prend sa véritable signification dans un continuum à quatre dimensions, l’espace temps. H. Minkowski 1864 / 1909

5 LA REPRESENTION 4-VECTORIELLE
H. Minkowski appelle univers le continuum E-T à 4 dimensions. Tout événement est représenté par son point d’univers. La suite des événements concernant un objet évoluant dans l’univers forme une ligne d’univers.

6 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Transformation de Lorentz > 0 pour V > 0 < 0 pour V < 0 avec

7 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Minkowski Proposé par H. Minkowski en 1908, c’est une représentation dans laquelle le référentiel (R) est considéré au repos et (R') en MRU avec une vitesse V par rapport à (R) portée par l’axe Ox. Le diagramme est construit en donnant à (R) des axes Ox et Oct orthogonaux. La première bissectrice représente la ligne d’univers d’un rayon lumineux. Les deux équations de la TL entraînent que les points tels que ct’ = 0 sont donnés, dans (R), par la droite d’équation c.t = b.x et les points tels que x’ = 0 sont sur la droite d’équation c.t = x/b.

8 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Minkowski Les deux droites obtenues correspondent aux axes Oct’ et Ox’ de (R’) et sont symétriques par rapport à la première bissectrice correspondant à x=ct donc à b = 1. Remarquons que cette représentation est asymétrique car elle privilégie le repère (R), considéré au repos par rapport à (R’), ce qui n’est pas conforme à l’esprit de la RR.

9 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
L’angle a que font entre eux les axes (Oct, Oct’) et (Ox, Ox’) est tel que :

10 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Minkowski Soit un événement (E) avec ses coordonnées construites en menant des parallèles aux axes dans les deux repères (x,ct) et (x’,ct’). Défauts : asymétrie de traitement entre (R) et (R’) les unités sur les axes ct’ et x’ sont plus grandes que celle sur les axes ct et x.

11 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Minkowski : facteur d’échelle entre les axes. Soit la ligne (Lt) d’équation : Elle passe par le point (ct,x) = (0,1) dans (R) Dans (R’) cette ligne a pour équation Elle passe par le point (ct’,x’) = (0,1) dans (R’)

12 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Minkowski : facteur d’échelle entre les axes. Dans (R) (Lt) coupe l’axe Oct’ en (bg,g). Ce sont les coordonnées du point unité de l’axe Oct’ de (R’) dans (R). Dans (R) (Lx) coupe l’axe Ox’ en (g,bg). Ce sont les coordonnées du point unité de l’axe Ox’ de (R’) dans (R).

13 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Minkowski : facteur d’échelle entre les axes. La longueur d de chacun de ces points unité de (R’) est donc par rapport à la longueur prise comme unité de (R) : On a ici le facteur d’échelle d entre les mesures faites sur les axes du repère (R) et celles du repère (R’). Si OA est le segment unité sur ct et OA’ sur ct’ le rapport OA’/OA vaut d.

14 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Relativité de la simultanéité Les événement A et B sont simultanés dans (R’) à l’instant t’=0 alors qu’ils ne le sont pas dans (R), A se produisant en tA et B en tB avec tB > tA.

15 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Relativité de la distance La longueur d’une règle est relative au référentiel dans lequel on la mesure. Dans (R) la distance entre les extrémités (instant t1) est AB alors que dans (R’) elle est A’B’ (instant t’1).

16 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Brehme / Lorentz Ces relations correspondent à une rotation d’angle a entre les systèmes d’axes (x’,ct) et (x,ct’). Ici a est différent, pour une même vitesse V, de celui du diagramme de Minkowski car b = sin(a) dans le premier cas alors que dans le second b = tan(a).

17 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Brehme / Lorentz En prenant le système (x’,ct) avec ses deux axes perpendiculaires, il en sera de même du système (x,ct’). Les unités de (R) et de (R’) sont les mêmes pour les quatre axes.

18 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Brehme / Lorentz Pour avoir les coordonnées d’un événement on peut projeter son point représentatif de 2 façons par rapport aux axes : perpendiculairement parallèlement Pour ce diagramme de Lorentz la projection se fait perpendiculairement.

19 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Diagramme de Loedel Ce dernier ressemble au précédent et est construit de la même façon mais la projection sur les axes est parallèle à ces derniers et non pas perpendiculaire. V > 0 De ce fait il est nécessaire d’intervertir, par rapport au diagramme de Lorentz, la position des systèmes d’axes des deux référentiels en mouvement relatif.

20 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Position des axes selon le signe de VR’/R Minkowski

21 DIAGRAMMES ET EN RELATIVITE RESTREINTE
Position des axes selon le signe de VR’/R Lorentz Loedel

22 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Question de cinématique Les coordonnées x d’espace et t de temps de deux événements E1 et E2, mesurées dans un référentiel (R) sont : x1 = x0 , t1 = x0/c (événement 1) x2 = 2x0, t2 = x0/2c (événement 2)   a) Il existe un référentiel (R’) où les deux événements sont simultanés. Quelle est la vitesse de ce référentiel par rapport à (R) ? b) Quelle est la valeur du temps t’ pour laquelle les deux événements ont lieu dans le nouveau référentiel (R’) ?

23 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET

24 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Le paradoxe du véhicule et du hangar L10~> L20 Le véhicule tient dans le hangar dans (R). Le véhicule ne tient pas dans le hangar dans (R’).

25 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Le paradoxe du véhicule et du hangar Diagramme de Loedel E1 : Av coïncide avec E E2 : Av coïncide avec S E3 : Ar coïncide avec E E4 : Ar coïncide avec S

26 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Le paradoxe du véhicule et du hangar Efi : Fermeture de chaque porte [simultanées dans (R)] E5 : Ar coïncide dans (R) avec la fermeture des 2 portes E6 : Ar coïncide dans (R’) avec la fermeture de la porte S

27 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Le voyageur de Langevin Pour décrire cette expérience de pensée nous devons utiliser deux diagrammes de Minkowski correspondant à la mise en évidence des relations entre E (Explorateur) et S (Sédentaire) dans les deux phases du voyage. Ces diagrammes ont un repère commun, celui attaché au référentiel (R) de S. L’autre repère de chaque diagramme est, pour l’un, (R’) lié à l’aller, et pour l’autre, (R”) lié au retour. L’existence du repère commun (Oct, Ox) permet de regrouper dans un unique schéma les deux diagrammes. Nous considérerons que E se rend à proximité d’une étoile située à 7 A.L. de la Terre et que le module de sa vitesse est v = 0,7c.

28 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Voyageur de Langevin avec Minkowski

29 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Voyageur de Langevin avec Lorentz

30 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Voyageur de Langevin avec Loedel

31 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Champ magnétique et RR

32 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Champ magnétique et RR Dans (R) la densité linéique des ions est égale à celle des électrons. Dans (R’) la densité linéique des ions est supérieure à celle des électrons.

33 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Champ magnétique et RR Le fil de cuivre étant électriquement neutre, le nombre de ligne d’univers des ions est égal à celui des lignes d’univers des électrons. Dans (R) on a de = di et le = li Dans le référentiel (R’) la position des ions positifs et des électrons négatifs à l’instant t’=0 est donnée par l’intersection de leurs lignes d’univers avec l’axe Ox’. On voit alors que, dans (R’), la distance l’e entre les électrons est plus grande que l’i, distance entre les ions. Il y a donc un excès de charges positives et la charge q extérieure au fil et au repos dans (R’) subit donc une force électrique qui, dans (R), est perçue comme un champ magnétique.

34 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Durée de vie des muons Considérons un muon au repos dans le repère (R) et le repère (R’) attaché au sol. Dans (R’) le point de l’atmosphère où est créé le muon ainsi que le point au sol où il se désintègre sont au repos. E1 représente l’événement associé à la création de cette particule et E2 celui attaché à sa désintégration au niveau du sol.

35 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Durée de vie des muons Les deux événements E1 et E2 sont séparés par un intervalle d’espace-temps dont les composantes, respectivement dans les repères (R) et (R’) sont (cDt,Dx) et (cDt’,Dx’). La valeur de Dt représente la durée de vie propre du muon dans (R) puisqu’il se désintègre en arrivant au sol. Dans le référentiel terrestre (R’) la quantité Dx’ représente la distance parcourue par le muon et Dx est l’épaisseur de l’atmosphère, mesurée dans (R) par un voyageur accompagnant le muon. Dx est donc, dans le repère du muon, la distance, mesurée au même instant, entre le point de sa création et celui de sa désintégration.

36 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Durée de vie des muons Lorentz avec

37 UTILISATION DES DIAGRAMMES D’ET
Dans le repère terrestre la durée de vie d’un muon est donc augmentée et, dans le repère du muon, l’épaisseur de l’atmosphère traversée est diminuée.

38 BIBLIOGRAPHIE SUR LES DIAGRAMMES D’ET
Théorie de la relativité restreinte - V Ougarov - Editions MIR Relativité restreinte - C. Semay / B. Silvestre-Brac - Editions Dunod Une relativité bien particulière ... - Sander Bais - original aux Editions DésIris –réédition en poche aux Editions Folio / collection Folio essais

39 LES DIAGRAMMES ESPACE - TEMPS