Leçon Nombres entiers et rationnels

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1 Leçon Nombres entiers et rationnels
Division euclidienne PGCD de deux entiers naturels Fractions irréductibles Le point sur les nombres 3-1-maths

2 I) Division euclidienne
Multiples et diviseurs a est un entier naturel et b un entier naturel non nul. Définitions : - Dire que b est un diviseur de a signifie que a/b est un nombre entier - « b est un diviseur de a » peut se dire « b divise a ». «  a est un multiple de b » peut se dire « a est divisible par b » 3-1-maths

3 I) Division euclidienne
Critères de divisibilité : - par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0;2;4;6;8. - par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. - par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0;5. - par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 3-1-maths

4 I) Division euclidienne
a est un entier naturel et b un entier naturel non nul. Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver deux entiers naturels q et r tels que a = b ×q + r avec r < b où q est le quotient (entier et r le reste de la division euclidienne. a b r q 3-1-maths

5 II) PGCD de deux entiers naturels
Définition : Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Commun Diviseur. Remarques : * a et b étant des entiers naturels, PGCD (a;b) = PGCD (b;a). * a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD (a;b) = b. 3-1-maths

6 II) PGCD de deux entiers naturels
Théorème : Si a ≤ b alors PGCD (a;b) = PGCD (b;a – b) Si a ≤ b alors PGCD (a;b) = PGCD (b;r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Remarque : Dans cet algorithme, appelé aussi « algorithme d’Euclide », le PGCD est le dernier reste non nul. 3-1-maths

7 III) Fractions irréductibles
Nombres premiers entre eux Définitions : Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels. Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 3-1-maths

8 IV) Le point sur les nombres
Définitions : Nombres décimaux : Ces nombres ont une écriture décimale qui a un nombre fini de chiffre après la virgule. Nombre rationnels : Ces nombres peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient d’entiers. Nombre irrationnels : Ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels. 3-1-maths

9 IV) Le point sur les nombres
Voici une présentation de différents types de nombres avec quelques exemples. -4 13 1 3 19 7 -9 11 RATIONNELS π √2 √5 IRRATIONNELS 47 100 3,14 3 5 DECIMAUX ,08 √4 -18 2000 ENTIERS 3-1-maths

10 Exercice Nombres entiers et rationnels
D’après Sesamath 3° 3-1-maths

11 QUESTION 1 4 est un diviseur de 28. VRAI FAUX 3-1-maths

12 BONNE REPONSE 4 est un diviseur de 28 car 28/4 = 7
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13 MAUVAISE REPONSE 4 est un diviseur de 28 car 28/4 = 7
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14 QUESTION 2 32 est un multiple de 6. VRAI FAUX 3-1-maths

15 BONNE REPONSE 32 n’est pas un multiple de 6 car on obtient pas un nombre entier. Cliquez ici pour passer à la question suivante 3-1-maths

16 MAUVAISE REPONSE 32 n’est pas un multiple de 6 car on obtient pas un nombre entier. Cliquez ici pour corriger votre erreur 3-1-maths

17 QUESTION 3 4 divise 18. VRAI FAUX 3-1-maths

18 BONNE REPONSE 4 ne divise pas 18 car on n’obtient pas un nombre entier. Cliquez ici pour passer à la question suivante 3-1-maths

19 MAUVAISE REPONSE 4 ne divise pas 18 car on n’obtient pas un nombre entier. Cliquez ici pour corriger votre erreur 3-1-maths

20 QUESTION 4 35 est divisible par 5. VRAI FAUX 3-1-maths

21 BONNE REPONSE 35 est un divisible par 5 car 35/5 = 7
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22 MAUVAISE REPONSE 35 est divisible par 5 car 35/5 = 7
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23 QUESTION 5 Parmi ces nombres, choisis-en un qui est divisible par 2 :
12 30 27 325 4 238 246 6 139 3-1-maths

24 BONNE REPONSE 2 divise : 12-30-246-4 238.
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25 MAUVAISE REPONSE 2 divise : 12-30-246-4 238.
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26 QUESTION 6 Parmi ces nombres, choisis-en un qui est divisible par 3 :
12 30 27 246 325 4 238 6 139 3-1-maths

27 BONNE REPONSE 3 divise : 12-30-27-246.
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28 MAUVAISE REPONSE 3 divise : 12-30-27-246.
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29 QUESTION 7 Parmi ces nombres, choisis-en un qui est divisible par 5 :
12 30 27 246 325 4 238 6 139 3-1-maths

30 BONNE REPONSE 5 divise : 30-325
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31 MAUVAISE REPONSE 5 divise : 30-325
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32 QUESTION 8 Parmi ces nombres, lequel est divisible par 9 ? 12 30 27
246 4 238 325 6 139 3-1-maths

33 BONNE REPONSE 9 divise Cliquez ici pour passer à la question suivante 3-1-maths

34 MAUVAISE REPONSE 9 divise 6 139.
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35 QUESTION 9 On donne la consigne suivante à 3 élèves : Effectue la division euclidienne de 183 par 15. Qui de Marie, Elodie ou Amélie à raison Marie 3 12 Elodie 3 Amélie 3 3-1-maths

36 BONNE REPONSE C’est Amélie qui a la bonne réponse.
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37 MAUVAISE REPONSE C’est Amélie qui a la bonne réponse.
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38 QUESTION 10 Lors de la question précédente, Amélie a eu juste. Les deux autres élèves ont corrigés et maintenant la question qui leur est posée est d’écrire l’égalité correspondante à la division précédente qui était : 15 33 12 3 Qui de Marie, Elodie ou Amélie a raison ? Marie : 183 = 15 × avec 3 < 15 Elodie : 183 = 15 × avec 3 > 15 Amélie : 183 = avec 3 < 15 3-1-maths

39 BONNE REPONSE C’est Marie qui a raison car a = b × q + r avec r < b. Cliquez ici pour passer à la question suivante 3-1-maths

40 MAUVAISE REPONSE C’est Marie qui a raison car a = b × q + r avec r < b. Cliquez ici pour corriger votre erreur 3-1-maths

41 QUESTION 11 On donne 325 = 78 × Quelle(s) division(s) euclidienne(s) cette égalité représente-elle ? Qui de Thibault, Gaëtan ou Florian a raison ? Thibault dit : 13 > 78 donc l’égalité représente la division euclidienne de 325 par 4 Gaëtan dit : 13 < 78 donc l’égalité représente la division euclidienne de 325 par 78 Florian dit : 13 < 4 donc l’égalité représente la division euclidienne de 13 par 4 3-1-maths

42 BONNE REPONSE C’est Gaëtan qui a raison.
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43 MAUVAISE REPONSE C’est Gaëtan qui a raison.
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44 QUESTION 12 Eléa, Zoé et Léonie doivent trouver les diviseurs de 24. Qui de elles trois a raison ? Eléa : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. Zoé : 1 ; 12 ; 24. Léonie : 1 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24. 3-1-maths

45 BONNE REPONSE C’est Eléa qui a raison.
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46 MAUVAISE REPONSE C’est Eléa qui a raison.
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47 QUESTION 13 Tao, Paul et Maxence doivent trouver les diviseurs de 36. Qui de eux trois a raison ? Tao : 1 ; 36 ; 13. Paul : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36. Maxence : 1 ; 2 ; 3 ;4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 36. 3-1-maths

48 BONNE REPONSE C’est Paul qui a raison.
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49 MAUVAISE REPONSE C’est Paul qui a raison.
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50 QUESTION 14 Dans les deux question précédentes, vous avez trouver les diviseurs de 24 et 36. Les diviseurs de 24 étaient : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. Les diviseurs de 36 étaient : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 26. Parmi ces diviseurs lequel est le Plus Grand Commun Diviseur à 24 et 36 ? 24 1 2 12 9 6 26 4 8 3 18 3-1-maths

51 BONNE REPONSE PGCD (24;36) = 12
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52 MAUVAISE REPONSE PGCD (24;36) = 12
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53 QUESTION 15 Est-ce que cette soustraction successive est juste ?
693 > 154 et 693 – 154 = 539 donc PGCD (693;154) = PGCD (154;539) 539 > 154 et 539 – 154 = 385 donc PGCD (154;539) = PGCD (154;385) 385 > 154 et 389 – 154 = 231 donc PGCD (154;385) = PGCD (154;231) 231 > 154 et 321 – 154 = 77 donc PGCD (154;231) = PGCD (154;77) 154 > 77 et 154 – 77 = 77 donc PGCD (154;77) = PGCD (77;77) ainsi PGCD (693;154) = 77. OUI NON 3-1-maths

54 BONNE REPONSE PGCD (693;154) = 77.
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55 MAUVAISE REPONSE PGCD (693;154) = 77.
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56 QUESTION 16 Détermine le PGCD de 360 et 352. On utilise l’algorithme d’Euclide, est-ce que les calculs sont justes ? On effectue la division euclidienne de 360 par 252 : 252 1 PGCD (360;252) = PGCD (252;108). On effectue la division euclidienne de 252 par108 : 108 36 2 PGCD (252;108) = PGCD (108;36). On effectue la division euclidienne de 252 par 108 : 36 0 3 PGCD (360;252) = 36 qui est le dernier reste non nul. OUI NON 3-1-maths

57 BONNE REPONSE PGCD(360;252) = 36
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58 MAUVAISE REPONSE PGCD(360;252) = 36
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59 QUESTION 17 Fabien, Pascal et François doivent faire la liste de tous les diviseurs de 15. Qui des trois à la liste complète et juste ? Fabien dit : 1;3;5;15 Pascal dit : 1;5;15 François dit : 1;2;5;15 3-1-maths

60 BONNE REPONSE C’est Fabien qui a raison.
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61 MAUVAISE REPONSE C’est Fabien qui a raison.
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62 QUESTION 18 Marie, Mélanie et Mélissa doivent faire la liste de tous les diviseurs de 22. Qui d’elles trois à la liste complète et juste ? Marie 1;2;22;44 Mélanie 1;11;22;33;44;55 Mélissa 1;2;11;22 3-1-maths

63 BONNE REPONSE C’est Mélissa qui a raison.
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64 MAUVAISE REPONSE C’est Mélissa qui a raison.
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65 QUESTION 19 Dans les deux questions précédentes, les listes des diviseurs de 15 et 22 ont été établies. Ces deux nombres sont-ils premiers entre eux ? 15 : 1;3;5;15 22 : 1;2;11;22 OUI NON 3-1-maths

66 BONNE REPONSE 15 et 22 sont premiers entre eux car ils on pour seul diviseur commun 1. Cliquez ici pour passer à la question suivante 3-1-maths

67 MAUVAISE REPONSE 15 et 22 sont premiers entre eux car ils on pour seul diviseur commun 1. Cliquez ici pour corriger votre erreur 3-1-maths

68 QUESTION 20 Est-ce que la fraction suivante est devenue Irréductible ? (diviser par 5) OUI NON 3-1-maths

69 BONNE REPONSE Non, il manque une étape : 15/21 peut encore se diviser par 3 ce qui donne la fraction irréductible de 5/7. Cliquez ici pour passer à la fin du questionnaire 3-1-maths

70 MAUVAISE REPONSE Non, il manque une étape : 15/21 peut encore se diviser par 3 ce qui donne la fraction irréductible de 5/7. Cliquez ici pour corriger votre erreur 3-1-maths

71 FELICITATIONS !!!! Tu as terminé ce questionnaire.
FIN DU QUESTIONNAIRE FELICITATIONS !!!! Tu as terminé ce questionnaire. 3-1-maths