Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

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1 Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique
Les outils mathématiques et physiques pour écrire l’équation de Schrödinger Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

2 Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique
Outils mathématiques Equation de Schrödinger (pour l’électron de l’atome d’hydrogène) : Ĥ |ΨN) = EN |ΨN) Les inconnues de l’équation sont EN et ΨN Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

3 Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique
Outils mathématiques Les EN (= E1, E2, ..., EN) sont les énergies (négatives) de liaison de l’électron de l’atome d’hydrogène. Elles représentent le spectre des énergies de l’électron. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

4 Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique
Outils mathématiques ΨN fonction d’onde |ΨN|² = probabilité de mesurer EN Condition de normalisation : Somme des probabilités : (si ΨN est une fonction) (si ΨN est un vecteur) Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

5 Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique
Outils mathématiques Nuage de probabilités Probabilités Position (rayon) 0,53 A N E1 n = 1 0,53 A Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

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Outils mathématiques | ) : Association de Dirac pour un vecteur L’hamiltonien H = fonction, énergie totale d’un système, d’une particule = EC + EP Ĥ est l’opérateur hamiltonien, un opérateur est une matrice carrée. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

7 Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique
Outils mathématiques Ĥ |ΨN) = EN |ΨN) équation matricielle. EN valeurs propres et ΨN vecteurs propres On les trouve en résolvant l’équation de Schrödinger ou par l’expérience. Egalité de 2 matrices uni colonne. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

8 Valeur moyenne des énergies (E1,E2,...,EN):
Outils mathématiques Valeur moyenne des énergies (E1,E2,...,EN): <E> = E1|C1|² + E2|C2|² EN|CN|² Généralisation : avec car probabilité d’obtenir Xi. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

9 Outils mathématiques Equations aux valeurs propres
On s'intéresse au spin de l'atome d'hydrogène (valeur quantifiée). L'équation aux valeurs propres des spins (équation aux spins) est : Ŝ |ΨN) = SN |ΨN). De même, on parle d'équation aux valeurs propres des énergies, des moments cinétiques… Les valeurs propres étant : (X1, X2, …, XN) Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

10 Outils mathématiques Equations aux valeurs propres
1) Pour un spectre discret Condition de normalisation : Valeur moyenne de X : Chaque valeur propre Xi est pondérée par sa probabilité d'être mesurée |Ci|². Ecart quadratique moyen : Différence entre la moyenne au carré et le carré de la moyenne. Incertitude sur la mesure : Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

11 Outils mathématiques Equations aux valeurs propres
2) Pour un spectre continu On mesure une grandeur ayant un spectre continu. Soit Y cette grandeur, Y peut prendre toutes les valeurs de -∞ à +∞. Les valeurs propres sont discontinues, mais très proches => on les approxime par un spectre de valeurs propres continu. Le nombre de Ci est très grand, on le remplace par un passage à sa limite, par une fonction complexe : ψ(Y) de conjugué ψ*(Y). Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

12 Outils mathématiques Equations aux valeurs propres
2) Pour un SPECTRE CONTINU Condition de normalisation : Avec la probabilité de mesurer la grandeur Y entre Y et Y+dY. Valeur moyenne de Y : Ecart quadratique moyen : Incertitude sur la mesure : Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

13 Outils mathématiques Equations aux valeurs propres
L’état d'un système (trouver <X> sans connaître les Xi) Un état du système étudié est représenté par le vecteur La valeur moyenne de X dans cet état est : Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique