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1 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 1 Devoir 3 (aa) on vous demande de déterminer si le de deux variétés de maïs, l’une génétiquement modifiée (OGM), l’autre régulière (R) répondent de la même manière aux méthodes de culture dites plus douces qui utilisent du lisier de porc comme engrais azoté et qui réduisent les quantités d’herbicides utilisées.

2 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 2 Devoir 3 (a) que la variété OGM présente un rendement avantageux par rapport à la variété régulière si on privilégie l’emploi minimal d’herbicides et le remplacement des engrais chimiques soit par du lisier de porc ou par la supression pure et simple de la fertilisation et (b) qu’il est justifié de privilégier la variété OGM, l’emploi d’herbicide dès le printemps et l’emploi d’engrais chimiques pour maximiser le rendement?

3 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 3 Régression linéaire simple Ce que ça fait et comment Modèle d’une régression linéaire simple Tests d’hypothèses Analyse des résidus Prédiction inverse, régression avec réplication et régression pondérée Problèmes potentiels Puissance de la régression linéaire simple

4 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 4 Ce qu’elle fait Ajuste une ligne droite à travers un nuage de points Teste et quantifie l’effet d’une variable indépendante X sur la variable dépendante Y l’intensité de l’effet est donnée par la pente (b) de la régression l’importance de l’effet est donné par le coefficient de détermination (r 2 ) X Y XX YY b =  Y  X

5 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 5 Coefficients de corrélation et de régression La pente est obtenue par:Le coefficient de corrélation r: Alors b = r si X et Y ont la même variance… si b = 0, r = 0 et vice versa

6 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 6 Comment Par la méthode des moindres carrés qui consiste à minimiser la somme des écarts au carré entre les observations et la droite de régression, c’est-à- dire, minimiser les résidus L’écart au carré d’une observation est donnée par: X Y ii Résidu:

7 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 7 Régression ou corrélation? Corrélation: degré d’association entre deux variables X et Y, pas de relation causale impliquée. Régression: permet de prédire la valeur de la variable dépendante pour une valeur donnée de la variable indépendante. Implique une relation causale.

8 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 8 Quand utiliser la régression? Ne pas l’utiliser pour déterminer le degré d’association entre deux variables L’utiliser si on veut faire des prédictions X1X1 X2X2 Corrélation X Y Régression

9 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 9 Modèle d’une régression linéaire simple Le modèle de la régression: alors, toutes les régressions linéaires simples sont décrites par deux paramètres, l’ordonnée à l’origine (  ) et la pente (b) X XX YY b =  Y  X (pente)  (intercept) ii XiXi YiYi Observées Attendues

10 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 10 Hypothèses implicites Les résidus sont indépendants et normalement distribués La variance des résidus est égale pour tous les X (homoscédasticité) La relation entre Y et X est linéaire Il n’y a pas d’erreur de mesure sur X (régression de type I)

11 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 11 Erreur de mesure Cette condition peut être vérifiée avant l’analyse on s’en préoccupe si l’erreur est grande par rapport à X ( > 10%) si cette condition n’est pas respectée, utiliser la régression de type II

12 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 12 Analyse des résidus I: indépendance Regarder s’il y a des tendances sur le graphique des résidus par rapport aux valeurs prédites Valeurs prédites Résidus

13 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 13 Analyse des résidus II: Normalité Regarder s’il y a des tendances sur le graphique des résidus par rapport aux valeurs prédites Faire un graphique des probabilités normales Vérifier avec le test de Kolmogorov-Smirnov Résidus Normal Pas normal Résidus Valeurs prédites

14 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 14 Analyse des résidus III: Homoscédasticité Regarder s’il y a des tendances sur le graphique des résidus par rapport aux valeurs prédites Vérifier avec le test de Levene en groupant les valeurs de Y par classe Valeurs prédites Résidus Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Résidus Valeurs prédites

15 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 15 Analyse des résidus IV: Linéarité Regarder s’il y a des tendances sur le graphique des résidus par rapport aux valeurs prédites Résidus Valeurs prédites X Y

16 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 16 Robustesse de la régression aux violations des conditions d’application

17 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 17 Que faire si les conditions d’applications ne sont pas respectées Essayer de transformer les données en se rappelant que 1) quoiqu’on fasse, certaines données ne peuvent être analysées par régression 2) que la bonne transformation est parfois difficile à trouver. Utiliser une régression non-linéaire.

18 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 18 0 200 400 600 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 7.2 Longueur (mm) Poids (kg) Les transformations en régression 10 100 1000 0.001 0.01 0.1 1.0 8.0 Longueur (mm; log) Poids (kg; log)

19 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 19 oCoC 10 20 50 100 150 Cris/min Les transformations en régression oCoC 10 20 40 80 120 160 Cris/min (log) La fréquence des cris en fonction de la température chez le criquet mâle Oecanthus fultoni.

20 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 20 Les transformations en régression 010203040506070 Luminosité relative 0 1 2 3 4 5 6 7 Millivolts 70125102050 Luminosité relative 0 1 2 3 4 5 6 7 Millivolts Résistance électrique en fonction de la luminosité dans l’oeil d’un céphalopode

21 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 21 Test d’hypothèse I: répartition de la somme des carrés SC TotaleSC Type I (Expliquée)SC inexpliquée (erreur) Y = +

22 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 22 Test d’hypothèse I: répartition de la somme des carrés SC régression = s 2 Y et SC erreur = 0 si observées = prédites. Calculer F = SC R /SC e et comparer avec la distribution de F avec 1 et N - 2 dl. H 0 : F = 0.

23 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 23 Erreur-type de la pente L’erreur-type de la pente s b et l’IC de la pente 100(1-  ): Alors pour un N fixe, on peut diminuer s b en augmentant l’étendue des valeurs de X échantillonées Y X Y s b plus grand s b plus petit

24 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 24 L’erreur-type de l’ordonnée à l’origine L’erreur-type s  de l’ordonnée à l’origine  : Alors pour un N fixe, on peut diminuer s  en augmentant l’étendue des valeurs de X échantillonnées. Y X s  plus grand s  plus petit  Y 

25 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 25 Test d’hypothèses II: test des paramètres du modèle Tester chaque hypothèse par un test de t À noter: C’est un test bilatéral! Y X  Y  H 02 : b = 0 Y X H 01 :  = 0 Y  Y = 0 Observées Attendues

26 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 26 Test d’hypothèses III: Hypothèse unilatérale Une théorie biologique prédit que Y devrait augmenter quand X augmente Alors,H 0 : b   0 (unilatéral) Calculater Rejeter si t b > 0 et p (unilatéral) <  YY H 0 rejetée Y X Y H 0 acceptée

27 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 27 Intervalles de confiance d’une régression L’IC 100 (1-  ) pour les valeurs prédites L’IC 100 (1-  ) pour les observations

28 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 28 Intervalles de confiance d’une régression L’IC pour les observations est plus grand que l’IC des valeurs prédites Les IC pour les observations et les valeurs prédites augmentent quand la distance entre les valeurs de X et la moyenne de l’échantillon augmente. Y X Y Valeurs prédites Observations

29 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 29 Valeurs extrêmes points qui semblent très éloignés de la droite de régression Question 1: est-ce que ces valeurs extrêmes sont de “vraies” valeurs extrêmes? Question 2: est-ce que ces valeurs extrêmes influencent significativement les conclusions statistiques? X Y Extrême?

30 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 30 Analyse des valeurs extrêmes I: Résidus normalisés Faire un graphique des résidus normalisés en fonction des valeurs prédites Attention aux résidus normalisés > 3.0 Ces résidus contribuent fortement au carré moyen des résidus de la régression. 0.51.01.52.0 LAGE -4 -3 -2 0 1 2 3 4 STUDENT

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32 Call: lm(formula = LFKL ~ LAGE, data = Reg1dat, na.action = na.exclude) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.0843 -0.01578 0.0006693 0.02111 0.07008 Coefficients: Value Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 1.1989 0.0256 46.8720 0.0000 LAGE 0.3343 0.0204 16.4128 0.0000 Residual standard error: 0.02832 on 73 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.7868 F-statistic: 269.4 on 1 and 73 degrees of freedom, the p-value is 0 5 observations deleted due to missing values Analysis of Variance Table Response: LFKL Terms added sequentially (first to last) Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F) LAGE 1 0.2160373 0.2160373 269.3811 0 Residuals 73 0.0585443 0.0008020

33 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 33 Analyse des résidus II: Leverage Le leverage mesure l’influence potentielle d’un point sur la droite. Déterminé par les valeurs de X seulement, les points très éloignés de la moyenne ont un plus grand leverage. Attention au valeurs de leverage plus grande que 4/N. 0.51.01.52.0 LAGE 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 LEVERAGE X Y Petit leverage Grand leverage

34 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 34 Analyse des résidus III: distance de Cook La distance de Cook mesure le leverage et la contribution au carré moyen des résidus, c’est-à-dire l’influence réelle d’un point Attention aux valeurs de Cook plus grandes que 1 Petites distances de Cook Grandes distances de Cook 1.41.51.61.71.8 ESTIMATE 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 COOK X Y

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36 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 36 Solutions aux valeurs extrêmes Ont-elles un effet significatif sur les résultats de la régression? Afin de le savoir, les enlever et recalculer la régression. Comparer les résultats. Y-a-t-il des différences significatives entre les pentes, et les ordonnées à l’origine. C’est-à-dire, la nouvelle droite reste-t-elle dans l’IC à 95%? Y X Pas d’effet significatif Y Effet significatif Avec extrêmes Sans extrêmes

37 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 37 Les effets de l’élimination des valeurs extrêmes Diminue l’effectif de l’échantillon (N), et donc la puissance Diminue la SC e, alors s b diminue et la puissance augmente Si N est petit et qu’on élimine les valeurs extrêmes, on donne trop de poids aux autres… à moins que ces valeurs extrêmes soient vraiment aberrantes. Puissance (1 -  )  N plus petit N plus grand s b plus grand s b plus petit s b fixe N fixe 0 0 1

38 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 38 Prédiction inversée On veut prédire X pour un Y donné. La régression de X en fonction de Y est impossible à cause de l’erreur sur Y ex: courbes de calibration. On veut prédire la concentration à partir de lectures. On se base sur la régression des lectures observées pour des solutions dont on connaissait la concentration. Lectures Concentration Lectures Concentration Erreur sur “X”

39 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 39 Prédiction inversée Donne la régression de Y sur X. Génère une valeur prédite de X pour un Y donné. Calculer l’IC à 95% pour la valeur prédite de “X” en se basant sur l’IC à 95% sur le “Y” de la régression standard Y “X” prédit Limite inférieure 95% Limite supérieure 95%

40 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 40 Régression avec réplication Quand on mesure plusieurs Y pour chaque X. Dans ce cas, on peut tester directement en calculant le rapport entre CM causé par les déviations à la linéarité et CM intra-groupe. SC régression SC intra-groupe SC non-linéarité SC groupe SC erreur

41 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 41 Régression pondérée Utilisée quand la précision sur la mesure de X varie pour un désign avec réplication, la variance de Y pour un X donné peut varier parmi les X comme la taille de l’échantillon (N) Alors, on doit pondérer par N ou l’inverse de la variance de l’échantillon. X Y

42 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 42 Problèmes potentiels: causalité Une régression statistiquement significative de Y sur X n’implique pas de relation causale entre les deux variables Une régression non significative ne veut pas dire qu’il n’existe pas de relation causale entre les deux, celle-ci peut être non-linéaire Z X Y X Y X Y Accepter H 0 linéaire

43 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 43 Problèmes potentiels II: petits échantillons Une régression significative peut être obtenue par chance, c’est-à-dire, même si aucune relation causale (linéaire) n’existe. Alors, il faut contrôler  e quand on fait plusieurs régression simples. X Y Vraie régression (H 0 acceptée) Régression de l’échantillon (H 0 rejetée)

44 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 44 Problèmes potentiels III: grands échantillons Si N est grand, de petits coefficients de régression suffisent à rejeter H 0 (la puissance est grande). Alors quand R 2 est petit, éviter de “surinterpréter” la relation observée. X Y Vraie régression (H 0 rejetée mais petit R 2 )

45 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 45 Porblèmes potentiels IV: extrapolation et interpolation Soyez vigilants quand 1) les prédictions se retrouvent à l’extérieur de l’étendue de l'échantillon; (2) quand les prédictions sont pour des données très éparpillées. X Y X Y Valeur prédite Vraie valeur Observations Relation estimée Vraie relation

46 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 46 The final word on extrapolation In the space of one hundred and seventy-six years the Lower Mississippi has shortened itself two hundred and forty-six miles. That is an average of a trifle over one mile and a third per year. Therefore, any calm person, who is not blind or idiotic, can see that in the Old Oölitic Silurian period, just a million years ago next November, the Lower Mississippi River was upwards of one million three hundred thousand miles long, and stuck over the Gulf of Mexico like a fishing rod. And by the same token, any person can see that seven hundred and forty-two years from now, the lower Mississippi will be only a mile and three-quarters long, and Cairo and New Orleans will have joined their streets together, and be plodding comfortably along under a single mayor and a mutual board of aldermen. Mark Twain, Life on the Mississippi

47 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 47 La puissance et la taille de l’échantillon pour la régression linéaire simple. Comme le coefficient de corrélation r et le coefficient de régression b sont très reliés, c’est-à-dire: …on peut transformer b en r et évaluer la puissance en utilisant r. X Y

48 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 48 La puissance et la taille de l’échantillon pour la régression Si on teste H 0 : b = 0 pour un échantillon de taille n, on peut déterminer 1 -  en calculant les valeurs z-transformées pour la valeur critique de r correspondante (au niveau  désiré) (z  ) et le coefficient de régression de l’échantillon b (z r ), et la probabilité unilatérale normale: X Y

49 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 49 La puissance et la taille de l’échantillon pour la régression Une fois que Z  (1) est déterminé, on peut calculer la probabilité d’obtenir une valeur de Z plus grande ou égale, c’est-à-dire . La puissance est égale à 1- . Z  (1) p  X Y

50 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 50 La puissance et la taille de l’échantillon pour la régression: un exemple Effet de l’âge sur la longueur des ailes de 13 oiseaux: Alors, 1 -  = 1.00

51 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 51 Taille de l’échantillon minimum Pour une puissance donnée 1 - , quelle est la taille de l’échantillon requis afin de rejeter H 0 : b  = 0 si elle est fausse et que le coefficient de la vraie régression est au moins b   Dabord, on doit calculer le coefficient de régression  0 qui correspond à b . X1X1 Y Rejeter H 0 ? Y Observée Attendue si H 0 : b = 0 Vraie régression (b 0 )

52 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 52 Effectif minimum …ensuite, calculer: X1X1 Observée Attendue si H 0 : b = 0 Vraie régression (b 0 ) X1X1 Y Rejeter H 0 ? Y

53 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 53 Effectif minimum: un exemple On veut rejeter H 0 : b  = 0 99% des fois quand b 0  > 0.2 et   (2)  =.05  Alors  (1) =.01 et pour b =.20, on a...

54 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-21 09:46 54 Effectif minimum Alors… …et Alors on doit utiliser un échantillon de taille égale à au moins 8