Surfaces de Bézier.

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1 Surfaces de Bézier

2 Surfaces de Bézier C'est une surface de la forme
S(u, v) = i=0, 1, ..., m j=0, 1, ..., n Pij fi,m(u) fj,n(v) u, v  [0,1] où {Pij} est une grille rect. de (m + 1) x (n + 1) points de contrôle représentant les sommets d’un polyèdre de contrôle, fi,m(u) est une distribution binomiale de paramètres u et m et fj,n(v) est une distribution binomiale de paramètres v et n.

3 Surface de Bézier avec 4 x 4 points de contrôle
S(0, v) P30 S(u, 0) S(1, v)

4 Quelques propriétés des surfaces de Bézier
Les sommets frontières sont : S(0, 0) = P0,0 , S(0, 1) = P0,n , S(1, 0) = Pm,0 et S(1,1) = Pm,n. Les courbes frontières sont : les courbes de Bézier de degré m : S(u, 0) et S(u, 1) et les courbes de Bézier de degré n : S(0, v) et S(1, v). S(u, v)  conv(Pi,j | i = 0, 1, …, m; j = 0, 1, …, n)  u, v  [0,1] la surface au complet se retrouve dans l’enveloppe convexe de la grille de points de contrôle. En appliquant une transformation affine T aux points de contrôle définissant une surface de Bézier, cela revient à appliquer la même transformation T à l’ensemble des points de la surface. i=0,1,2, ..., m j=0,1,2, ..., n fi,m(u) fj,n(v) (T Pi,j) = T i=0,1,2, ..., m j=0,1,2, ..., n fi,m(u) fj,n(v) Pi,j

5 d S(u, v)  = m (P1,0- P0,0) du u=0, v=0 d S(u, v)  = m (Pm,0- Pm-1,0) du u=1, v=0 d S(u, v)  = m (P1,n- P0,n) du u=0, v=1 d S(u, v)  = m (Pm,n- Pm-1,n) du u=1, v=1 d S(u, v)  = n (P0,1- P0,0) dv u=0, v=0 d S(u, v)  = n (Pm,1- Pm,0) dv u=1, v=0 d S(u, v)  = n (P0,n- P0,n-1) dv u=0, v=1 d S(u, v)  = n (Pm,n- Pm,n-1) dv u=1, v=1

6 Ne permet pas d’apporter des modifications locales à la surface car le poids associé
à chaque point de contrôle est non nul peu importe le point considéré sur la surface à l’exception des quatre extrémités. En augmentant la multiplicité de points de contrôle, cela permet de « rapprocher » la surface de Bézier à ces points. Par ex., on peut dupliquer une ligne ou une colonne de la matrice des points de contrôle. Nous pouvons augmenter la dimension de la grille de points de contrôle sans modifier la surface de quelque façon que ce soit. But : obtenir une plus grande flexibilité i.e. un plus grand potentiel de modélisation. Ex. : {Pij} l’ensemble des points de contrôle de la surface S, alors calculez une nouvelle colonne comme suit : pour tout i = 0, 1, 2, …, m, Vi0 = Pi0 Vij = [j / (n+1)] Pi,j-1 + [1 - j / (n+1)]Pi,j, j = 1, 2,..., n et Vi,n+1 = Pi,n {Vij} : les points de contrôle de la même surface mais de degré m x (n + 1).

7 Calcul des vecteurs tangents à une surface de Bézier

8 Calcul des vecteurs tangents aux frontières

9 Calcul des vecteurs de torsion à une surface de Bézier
Calcul du vecteur normale à un point de la surface de Bézier

10 Représentation d'une surface de Bézier m x n à partir de surfaces de Bézier de
degré moindre Soit la notation suivante: Pi-j,k-l(u, v) = surface de Bézier ( j - i) x (l - k) avec comme grille de contrôle Pi,k, Pi,k+1, ..., Pi,l Pi+1,k, Pi+1,k+1, ..., Pi+1,l Pi+2,k, Pi+2,k+1, ..., Pi+2,l . . . Pj,k, Pj,k+1, ..., Pj,l nous avons le résultat récursif qui suit : P0-m,0-n(u, v) = (1 - u) { (1 – v) P0-(m-1),0-(n-1) (u,v) + v P0-(m-1),1-n(u,v) } + u { (1 – v) P1-m,0-(n-1) (u,v) + v P1-m,1-n (u,v) } u, v  [0,1]  Subdivision d'une surface de Bézier Un morceau quelconque d’une surface de Bézier peut être représenté de manière exacte par une surface de Bézier de même dimension.