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Cours 20 7.2 ROTATIONS, RÉFLEXIONS ET HOMOTHÉTIE
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Au dernier cours nous avons vus ✓ Transformations linéaires ✓ Lien avec les matrices
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Aujourd’hui, nous allons voir ✓ Les homothéties ✓ Les étirements ✓ Les rotations ✓ Les réflexions
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En regardant de plus près les transformations linéaires de dans on va constater que la quasi totalités des transformations linéaires sont des transformations géométriques vue au secondaire.
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Homothéties
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Définition: Une homothétie d’un facteur est une transformation linéaire qui envoie chaque vecteurs sur fois lui-même. La matrice qui modélise une homothétie est de la forme:
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On peut faire les choses qu’à moitié...
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ou bien...
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Dans les deux derniers exemples, on a étiré dans une direction et laissé la direction perpendiculaire inchangé. Mais il n’y a aucune raison pour que ces deux directions soient celle de et celle de !
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Définition: Un étirement d’un facteur dans la direction de est une transformation linéaire qui envoie sur fois lui-même et sur lui-même.
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Exemple: Trouver la matrice qui modélise un étirement d’un facteur 2 dans la direction de
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Oui, mais on ne voit pas trop l’étirement dans UNE direction! On cherchait un étirement d’un facteur 2 dans la direction de
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Rotations Donc la matrice de rotation d’un angle est:
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Réflexion par rapport à l’axe des x
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Réflexion par rapport à l’axe des y
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Réflexion par rapport à un axe quelconque
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Définition: Une matrice est dites une matrice orthogonale si.
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Donc si est orthogonale, alors et forment une base orthonormale. Une rotation ou une réflexion
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Facteur de dilatation de l’aire.
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Proposition: Soient une figure géométrique, et une transformation linéaire modélisée par la matrice. L’aire de l’image de par est donné par:
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Proposition: Avec cette dernière proposition en main, on est maintenant en mesure de distinguer les deux types de matrices orthogonales. Soit une matrice orthogonale, alors Si alors modélise une rotation. Si alors modélise une réflexion.
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Aujourd’hui, nous avons vu ✓ Les homothéties ✓ Les étirements ✓ Les rotations ✓ Les réflexions
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Devoir: p. 269 # 1 à 22
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