Démonstration du théorème

Présentation au sujet: "Démonstration du théorème"— Transcription de la présentation:

1 Démonstration du théorème
de Pythagore

2 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a

3 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b

4 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b a c b

5 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b a c b a c b

6 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b a c b a c b On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b

7 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b a c b c a c b b a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b a c b a c b

8 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b c a c b b a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b a c b a b a b a c b

9 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
b On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b a c b a b a c b a c b a b a c b

10 Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b a b a c b a c b a b a c b a b a b a c b

11 On obtient alors les deux figures suivantes :
a + b a + b a b a c b A a c b B A B a b a c b a + b a c b a b a c b C C D D

12 ABCD est un carré a + b a + b a b a b B I B a c b A M a c b A a b N
AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b a + b a + b a b a b B I B a c b A M a c b A a b N a + b a c b a c b F G E S a b a c b C C D D H R

13 ABCD est un carré Nature du quadrilatère MNRS ? a + b a + b a b a b a
AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Nature du quadrilatère MNRS ? Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b a + b a + b a b a b a c b B I B A M a c b A a b N a c b a + b a c b F G E S a b a c b C C D D H R

14 Nature du quadrilatère MNRS :
a + b a c b C D R S N a c b b B B A A M M a c b a c b a N N a c b C D R S S

15 Nature du quadrilatère MNRS :
a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N SDR et RCN sont deux triangles semblables Donc les angles DRS et RNC sont égaux De même les angles DSR et NRC sont égaux

16 Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires.
Nature du quadrilatère MNRS : a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires.

17 Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires.
Nature du quadrilatère MNRS : a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires. Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires. Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure 90°

18 Nature du quadrilatère MNRS :
a + b a c b C D R B A M N S a c b C D R S N MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et un angle droit. Donc MNRS est un carré.

19 ABCD est un carré a + b a c b B C D a + b A M N R S a b a b I B A a b
AGFI est un carré de côté a MNRS est un carré de côté c HFEC est un carré de côté b a + b a c b B C D a + b A M N R S a b a b I B A a b a + b a c b F G E a b C D H

20 L’aire des deux figures est identique.
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire: a + b a c b B C D a + b A M N R S a b a b I B A a b a + b a c b F G E a b C D H

21 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : b I A M A a a c c N a c b a F G E S a c b a c b c b b b b c C C D D H a a R

22 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a c b a F G E S a c b a c b c b b b b c C C D D H a a R

23 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a F G E S c a c b a c b c b b b b c C D D H a a R

24 L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : L’aire du carré AGFI est a² L’aire du carré MNRS est c² L’aire du carré HFEC est b² Donc: a² + b² = c² I M A a c c N a F G E S c c b b C H R

25 Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore :
c b a² + b² = c² Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse.