Polyèdres Document réalisé avec un modèle de conception prédéfini au choix. Les images sont à récupérer dans votre dossier, sous Google, ou directement.

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1 Polyèdres Document réalisé avec un modèle de conception prédéfini au choix. Les images sont à récupérer dans votre dossier, sous Google, ou directement sur Wikipedia. Diapositive de titre : Mettez dans le masque « Titre général », un des solides de Platon (au choix) . Mettez votre nom (dans le pied de page). Activez l’affichage du pied de page et du numéro de diapositive.

2 Quelques définitions (1)
Un polyèdre* est un volume délimité par des faces polygonales. (*poly:plusieurs, gone:angle, èdre:face) Les polygones de deux faces consécutives ont un côté commun appelé arête, leurs sommets communs sont appelés sommets du polyèdre. Diapositive « Titre Contenu ». Récupérez l’image « Polyèdre » depuis Google (Images correspondant à).

3 Quelques définitions (2)
Un polyèdre convexe est un polyèdre entièrement situé du même côté du plan défini par une de ses faces. Un polyèdre étoile n’est pas convexe : c’est un polyèdre concave. Diapositive « Deux Contenus ». Tapez les textes. Récupérez depuis Google deux images, l’une correspondant à « Polyèdre convexe » (Wikipedia) et l’autre « Polyèdre concave » (Images correspondant à).

4 Catégories de polyèdres (1)
Parmi les différentes catégories de polyèdres, on peut distinguer : les polyèdres réguliers et les polyèdres archimédiens. Diapositive « Titre Contenu ». Tapez les textes en continu en mettant un [Maj Entrée] pour aller à la ligne. Centrez le paragraphe.

5 Catégories de polyèdres (2)
Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de même nature. Wikipedia – Polyèdres réguliers Un polyèdre archimédien ou semi-régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de natures différentes. Wikipedia – Polyèdres archimédiens Diapositive « Deux Contenus ». Tapez les textes. Insérez les liens hypertextes.

6 Dual d’un polyèdre A tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier de sorte que : le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial, les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence. Wikipedia – Dual d’un polyèdre Diapositive « Titre Contenu ». Tapez les textes. Insérez le lien hypertexte. Récupérez l’image depuis Wikipedia Insérez l’image.

7 4 triangles équilatéraux
Solides de Platon Nom Constitué par Tétraèdre 4 triangles équilatéraux Cube 6 carrés Octaèdre 8 triangles Dodécaèdre 12 pentagones Icosaèdre 20 triangles Diapositive « Titre Contenu ». Insérez un tableau (2 colonnes) et/ou posez des taquets de tabulation. Insérez les images.

8 Les polyèdres réguliers convexes
Diapositive « Titre ». Insérez un bouton-action (onglet Insertion[Illustrations]>Formes) qui permet de lancer votre présentation « Les polyèdres réguliers convexes » (réalisé dans le TD précédent). Présentation : Libre choix des transitions et quelques animations (si vous avez le temps). Testez le diaporama par F5. Enregistrez la présentation. Générez le fichier .pdf de votre présentation. Déposez sur la plateforme les deux fichiers : la présentation et le pdf.

9 Les polyèdres réguliers convexes
Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de même nature. Il existe cinq polyèdres réguliers appelés Solides de Platon. Définition : Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de même nature. Alors qu’il existe dans le plan des polygones réguliers convexes de n’importe quel nombre de côtés, il n’existe dans l’espace que 5 polyèdres réguliers convexes, appelés les solides de Platon.

10 Démonstration de la limite à 5 (1)
Pour que le polyèdre soit régulier, il faut que toutes les faces soient des polygones réguliers identiques. Deux contraintes : Chaque sommet doit être commun à au moins 3 faces. La somme des angles en un sommet doit être strictement inférieure à 360°, sinon il ne serait pas convexe. Voici une démonstration intuitive de ce fait.

11 Démonstration de la limite à 5 (2)
Les faces peuvent-elle être des triangles ? 3x60 = 180  Tétraèdre régulier 4x60 = 240  Octaèdre 5x60 = 300  Isocaèdre 6x60 = 360 : Impossible, à fortiori au-delà Des carrés ? 3x90 = 270  Cube – Rien au-delà Des pentagones ? 3x108 = 324  Dodécaèdre pentagonal Hexagones et plus : Impossible (3x120 = 360) Ceci n’est pas une démonstration de la possibilité d’existence des polyèdres mais de l’impossibilité d’autres. L’existence sera prouvée par l’énumération qui va suivre, à savoir les cinq polyèdres avec leurs paramètres (nombre de faces, sommets et arrêtes).

12 Tétraèdre Constitué par : 4 triangles équilatéraux Possède : 4 faces
4 sommets 6 arêtes

13 Cube Constitué par : 6 carrés Possède : 6 faces, 8 sommets, 12 arêtes

14 Octaèdre Constitué par : 8 triangles Possède : 8 faces 6 sommets
12 arêtes

15 Dodécaèdre pentagonal
Constitué par : 12 pentagones Possède : 12 faces, 20 sommets, 30 arêtes

16 Icosaèdre Constitué par : 20 triangles Possède : 12 faces 12 sommets
30 arêtes

17 Récapitulatif Nom Faces Sommets Arêtes Tétraèdre 4 6 Cube 8 12
Octaèdre Dodécaèdre 20 30 Icosaèdre Voici un tableau récapitulatif des propriétés des polyèdres.

18 Pourquoi « Solides de Platon »?
Platon cite les cinq polyèdres. Attribution aux éléments de la matière : Cube terre Tétraèdre feu Octaèdre air Icosaèdre eau Le Dodécaèdre : représente les couleurs. Enfin dans son dialogue « Le Timée » (voir Œuvres complètes, T2, La Pléiade, 1981, p. 474), Platon cite les cinq polyèdres et leur assigne une correspondance avec les éléments de la matière : Cube, Tétra, Octa, Ico. Quant au Dodécaèdre, il est dit représenter les couleurs. Ceci justifie qu’on les appelle « Solides de Platon ».

19 Webographie Wikipedia – Polyèdres Wikipedia – Polyèdres de Platon
Geowiki – Solides de Platon Wikipedia – Lien dans le diaporama Wikipedia - Polyèdres: Wikipedia - Polyèdres de Platon: Geowiki - Solides de Platon: