Chapitre 2 Les coûts de l’entreprise

Chapitre 2 Les coûts de l’entreprise

Les coûts de l’entreprise
La fonction de production de l’entreprise décrit l’ensemble des activités productives techniquement possibles. Mettre en œuvre ces activités productives sera couteux pour l’entreprise. L’entreprise devra en effet acheter (ou louer) sur le marché les services des facteurs de production. Alternativement, elle devra utiliser des facteurs dont elle dispose gratuitement (par exemple le travail de l’entrepreneur) mais qu’elle aurait pu utiliser autrement.

coûts comptables ou coûts économiques ?
Coûts comptables: coûts des facteurs tels qu’achetés sur le marché. Coûts d’opportunité: valeur du meilleur usage alternatif qu’on pourrait faire de la ressource ou du facteur. Le coût d’opportunité est parfois égal au coût comptable (si l’entreprise peut vendre le facteur exactement au prix qu’elle l’a acheté). Le coût pertinent pour l’économiste est le coût d’opportunité. Un exemple: un boulanger qui est seul à travailler dans la boulangerie, qu’il a ouvert dans une grange dont il a hérité, et qu’il a aménagé à ses frais. Voici le bilan comptable de la première année d’exercice de cette boulangerie.

Bilan comptable de la boulangerie
Item Coût comptable (milliers d’euros) travaux initiaux (amortissement annuel) 10 matières premières (farine, etc.) 5 machines (mélangeuses, fours) (amortissement annuel Abonnement électrique 2 taxes

Coûts comptables ou coûts économiques ?
Supposons que ce boulanger vende pour euros de produits par an. Devrait-il être satisfait ? Le comptable lui attribuera des profits de euros. Mais l’économiste voudra d’abord connaître les coûts d’opportunité du boulanger. Coût d’opportunité du temps passé dans la boulangerie ? Coût d’opportunité de la grange (et du terrain) que le boulanger aurait pu vendre (ou louer) plutôt que de l’utiliser à sa boulangerie ?

Coûts comptables ou coûts économiques ?
Supposons que la grange (et son terrain) ait une valeur locative annuelle de 4000 euros. Supposons que le boulanger aurait pu gagner euros par an en travaillant le même nombre d’heures comme boulanger salarié. Il faudrait alors ajouter aux coûts (d’opportunité) de la boulangerie euros. En tenant compte de ces coûts, le boulanger supporte en fait des pertes de 8000 euros!!

Fonction de coût La fonction de coût total de la firme associe à tout niveau d’output que pourrait produire la firme le coût minimum, pour celle-ci, de produire ce niveau, étant donnés les prix des inputs. La définition de cette fonction suppose de la firme qu’elle achète ses inputs sur des marchés concurrentiels (le prix de chaque input est donné, et la firme peut acheter n’importe quelle quantité d’input qu’elle souhaite à ce prix). La définition suppose également que la firme choisit ses inputs d’une manière qui vise à réduire au minimum (minimiser) ce coût. La fonction de coûts est une manière alternative à la fonction de production de décrire les possibilités techniques de la firme.

Programme de minimisation des coûts
Considérons une firme utilisant deux inputs. La fonction de production est: y = F(x1,x2). Etant donnés les prix des input w1 et w2, le coût que doit supporter la firme qui emploie les deux inputs dans les quantités (x1,x2) est: w1x1 + w2x2.

Pour tout niveau d’output y donné, le programme de minimisation des coûts de la firme s’écrit: Sous contrainte que

Les quantités x1*(w1,w2,y) et x2*(w1,w2,y) d’input choisies par la firme comme solution de ce programme sont les demandes conditionnelles d’inputs. Le coût total minimum de produire y unités d’output est donc:

Illustration géométrique
x2 La combinaison d’inputs (a1,a2) permet de produire y unités d’output a2 a1 x1

x2 Combien coute la combinaison (a1,a2) ? a2 a1 x1

x2 (w1a1+ w2a2)/w2 R: w1a1+w2a2 (si les prix des inputs sont w1 et w2) a2 a1 x1

x2 (w1a1+ w2a2)/w1 la combinaison d’inputs (a1,a2), si elle permet de produire y unités d’output,… a2 a1 x1

x2 (w1a1+ w2a2)/w1 … ne constitue pas la manière la moins couteuse de produire y unités d’output a2 a1 x1

x2 (w1a1+ w2a2)/w1 Cette quantité y pourrait être en effet produite à moindre coût en utilisant x*1(w1,w2,y) unités d’input 1 et x*2(w1,w2,y) unités d’input 2. a2 x*2(w1,w2,y) x1 x*1(w1,w2,y)

x2 (w1a1+ w2a2)/w1 Cette quantité y pourrait être en effet produite à moindre coût en utilisant x*1(w1,w2,y) unités d’input 1 et x*2(w1,w2,y) unités d’input 2. On aurait alors un coût de C(w1,w2,y) a2 x*1(w1,w2,y) x1 x*1(w1,w2,y) C(w1,w2,y)/w1

Un exemple Cobb-Douglas
Supposons que la technologie de la firme soit représentée par une fonction de production Cobb-Douglas Déterminons les demandes conditionnelles et la fonction de coût total de la firme.

Le programme que résout la firme est: sous contrainte que: que l’on peut encore écrire: (1) En substituant la contrainte (1) directement dans le programme de la firme, on a:

Une solution intérieure x*1 du programme: vérifie la condition de 1er ordre: Que l’on peut encore écrire comme:

puisque et On trouve que la demande conditionnelle d’input 2 est:

La fonction de coût total de la firme dans cas est donc:

Un exemple Léontieff Considérons la fonction de production
Déterminons les demandes conditionnelles des deux inputs. Déterminons la fonction de coût total

Un exemple Léontieff x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} = y’ x1

Un exemple Léontieff x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} = y’ x1 c’ > c’’ c’/w2
-w1/w2 x1

Un exemple Léontieff x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} = y’ x1
où se trouve la combinaison d’inputs permettant de produire y’ unités d’output au coût minimum ?

Un exemple Léontieff x2 4x1 = x2 x2* = y’ min{4x1,x2} = y’ x1* x1
où se trouve la combinaison d’inputs permettant de produire y’ unités d’output au coût minimum ?

Un exemple Léontieff et Considérons la fonction de production
Les demandes conditionnelles d’inputs sont: et

La fonction de coûts est donc:
Un exemple Léontieff Considérons la fonction de production Les demandes conditionnelles d’inputs sont: et La fonction de coûts est donc:

Coût marginal Pour tout niveau d’output y, le coût marginal de production est défini (intuitivement) comme le coût de produire une unité additionelle d’output. Plus rigoureusement, il est défini par la croissance du coût total qu’entraîne un accroissement infinitésimal du niveau de production, soit:

Coût total moyen Pour un niveau d’output strictement positif y, le coût par unité (ou coût moyen) de produire y est:

Coût total moyen et marginal
Il existe évidemment une relation entre les coût moyen et le coût marginal Le coût moyen croît si et seulement si le coût marginal est supérieur au coût moyen. Le coût moyen décroît si et seulement si le coût marginal est inférieur au coût moyen. Le coût moyen ne varie pas en fonction de la quantité produite si et seulement si le coût marginal est égal au coût moyen.

Rendements d’échelle et coûts moyens
Les rendements d’échelle dont fait l’objet une technologie déterminent la relation qui existe entre le coût moyen et le niveau de production. Supposons que la firme produise actuellement y’ unités d’output. De combien augmentera le coût moyen si l’objectif de production passe à 2y’ unités d’output?

Rendements d’échelle constants et coûts moyens.
Si la technologie qu’utilise la firme fait l’objet de rendements d’échelle constants, on ne peut doubler le niveau de production qu’en doublant le niveau d’emploi de tous les inputs. Les coûts totaux vont donc doubler. Le coût moyen ne bougera donc pas.

Rendements d’échelle décroissants et coûts moyens
Si la technologie de la firme fait l’objet de rendements d’échelle décroissants, alors doubler le niveau d’output oblige la firme à plus que doubler son niveau d’emploi des inputs. Les coûts totaux vont donc plus que doubler. Le coût par unité produite va donc augmenter.

Rendements d’échelle croissants et coûts moyens
Si la technologie de la firme fait l’objet de rendements d’échelle croissants, doubler le niveau d’output requiert une augmentation du niveau d’emploi des inputs dans une proportion inférieure à 2. Les coûts totaux vont donc augmenter dans une proportion moindre que 2. Le coût par unité produite va donc diminuer.

Rendements d’échelle et coûts moyens
Coût/unité r.e. décroissants CM(y) r.e. constants r.e. croissants. y

Coûts sous-additifs Une fonction de coûts est sous-additive si elle vérifie, pour toute liste de niveaux d’output y1,…,yT: c(w1,…,wn,y1)+…+c(w1,…,wn,yT) > c(w1,…,wn,y1+…+yT) En mots, une fonction de coût sous-additive est telle qu’il est moins coûteux de produire de façon intégrée un niveau de production y1+…+yT que de le produire de façon désintégrée. La sous-additivité des coûts est un puissant facteur d’intégration. Les rendements d’échelle croissants impliquent la sous-additivité des coûts mais la réciproque n’est pas vraie.

Coûts dans le long terme et le court terme
Nous avons défini les coûts en considérant la technologie de long terme de la firme. On peut évidemment définir les coûts dans le court terme. Dans le court terme, certains inputs (fixes) sont employés à des quantités préspécifiées. Il faut alors distinguer entre les coûts fixes et les coûts variables.

Considérons une firme qui utilise deux inputs et qui ne peut pas modifier son niveau d’utilisation de l’input 2 (fixé à, disons, x2’ unités). Comment le coût total de court terme de produire y unités d’output se compare t-il avec le coût total de long terme ?

Le programme de minimisation des coûts dans le long terme est: Alors que dans le court-terme, il s’écrit: s. c. q. s. c. q.

Le programme de minimisation de coûts dans le court-terme n’est rien d’autre que le programme de long terme soumis à la contrainte additionnelle que x2 = x2’. Si le choix optimal de long terme du facteur 2 était de x2’ , la contrainte additionnelle x2 = x2’ serait redondante, et les coûts de long terme et de court terme coincideraient.

Le programme de minimisation de coûts dans le court-terme n’est rien d’autre que le programme de long terme soumis à la contrainte additionnelle que x2 = x2’. Mais si le choix de long terme de la quantité de facteur 2 n’était pas x2’ , la contrainte additionnelle x2 = x2’ empêcherait la recherche de coût minimum d’aboutir, et le coût minimum de court terme serait supérieur au coût minimum de long terme.

x2 Considérons 3 niveaux d’output. x1

x2 Dans le long terme où la firme choisit librement les quantités x1 et x2 des 2 facteurs, les combinaisons les moins couteuses sont ... x1

x2 Celles-ci (sentier d’expansion) x1

x2 Les coûts de long terme sont: x1

Supposons maintenant que la firme soit soumise à la contrainte de court terme que x2 = x2”.

x2 Les coûts de long terme sont: sentier d’expansion de court terme x1

x2 Les coûts de long terme sont: sentier d’expansion de Court terme x1

x2 Les coûts de long terme sont: sentier d’expansion de court terme x1

x2 Les coûts de long terme sont: sentier d’expansion de court terme x1 Les coûts de court terme sont:

Les coûts totaux de court terme sont supérieurs à ceux de long terme, sauf pour les niveaux d’output pour lesquels le choix de long terme du facteur fixe dans le court terme est précisémment la quantité fixée de ce facteur. La courbe de coûts de long terme a donc toujours un point en commun avec toute courbe de couts de court-terme.

Une courbe de cout total de court terme a toujours un point commun avec la courbe de long-terme et est partout ailleurs au dessus de cette courbe de long-terme. cCT(y) c(y) y

La distinction court-terme-long terme introduit différents types de de coûts
Coût total. l’ensemble des coûts supportés par l’entreprise (en fonction du niveau d’output). Coût variable total: partie des coûts qui varie en fonction du niveau de production. Coût fixe total: partie des coûts qui ne varie pas en fonction du niveau de production. Coût total moyen: le coût total rapporté au nombre d’unités produites. Coût variable moyen : coût variable total rapporté au nombre d’unités produites

La distinction court-terme-long terme introduit différents types de de coûts
Coût fixe moyen: le coût fixe rapporté au nombre d’unités produites. Coût marginal: variation du coût total entraîné par un accroissement de production « infinitésimal ».

Coût fixe, variable, et total
Soit F le cout Fixe total que doit supporter la firme dans le court-terme pour utiliser ses quantités préspécifiés d’input. F ne varie pas avec le niveau d’output. cv(y) est le coût total variable supporté par la firme lorsqu’elle produit y unités d’output . Il dépend (implicitement) du niveau de facteurs fixes.

Coût fixe, variable, et total
c(y) est le coût total supporté par la firme du fait de l’emploi de tous les inputs, fixes et variables, lorsqu’elle produit y unités d’output. c(y) est la fonction de coût total de la firme.

coût F y

coût cv(y) y

coût cv(y) F y

coût c(y) cv(y) F F y

Coût moyens La fonction de coût total de la firme est
Pour y > 0, la fonction de coût moyen de la firme est:

coûts CFM(y) = F/y ® 0 si y ® ¥ ® ¥ si y ® 0 CFM(y) y

coûts CVM(y) CFM(y) y est éventuellement croissant car
la loi des rendements décroissants S’applique dans le court terme peut avoir une forme « en U » CVM(y) CFM(y) y

coûts CM(y) = CFM(y) + CVM(y) CM(y) CVM(y) CFM(y) y

coûts CM(y) = CFM(y) + VCM(y) CM(y) CVM(y) CFM CFM(y) y

puisque CFM(y) ® 0 si y ® ¥, CM(y) ® CVM(y) si y ® ¥.
coûts CM(y) = CFM(y) + CVM(y) CM(y) CVM(y) CFM CFM(y) y

Le coût marginal Le coût marginal est le taux de variation du coût total par rapport à une variation infinitésimale de l’output.

coûts Cm(y) CVM(y) y

coûts Cm(y) CVM(y) y Si le coût marginal est supérieur (inférieur)
au coût variable moyen, celui croît (décroît) Cm(y) CVM(y) y

coûts Cm(y) CVM(y) y Si la courbe de coût variable moyen a une forme
« en U » le coût marginal sera égal au coût variable moyen au minimum de celui-ci. Cm(y) CVM(y) y

coûts Cm(y) CM(y) y Une relation similaire peut être établie entre
les courbes de coût marginal de court terme et la courbe de coût moyen Cm(y) CM(y) y

coûts Cm(y) CM(y) CVM(y) y

Nous avons vu plus haut que la courbe de coût total de long terme est l’”enveloppe inférieure” des courbes de couts totaux de court terme. Cette relation est également vraie s’agissant des coûts moyens. S’agissant du coût marginal, on peut dire que le coût marginal de court terme est égal au coût marginal de long terme au niveau de production pour lequel les quantités des facteurs fixes dans le court terme sont optimales pour la firme dans le long terme.

Coût moyen court terme CM(y) y

Coût marginal court terme CM(y) y

Cm(y) Coût marginal court terme CM(y) y Pour chaque y > 0, le coût marginal de long terme coincide avec le coût marginal de court-terme choisi par la firme à ce y.

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