LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE

LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE
Nadia KABACHI Maître de Conférences UFR d’Informatique LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE

LE COURS DE LOGIQUE EST BASE SUR LE COURS DE NARENDRA JUSSIEN
PLAN LE COURS DE LOGIQUE EST BASE SUR LE COURS DE NARENDRA JUSSIEN INTRODUCTION LOGIQUE DES PROPOSITIONS LOGIQUE DU PREMIER ORDRE PROLOG

Définition

Historique

Logique des propositions
Notion de proposition

Notion de valeur de vérité

Étude du calcul propositionnel Quatre étapes Comment écrire les formules? Aspects syntaxiques Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? Aspects sémantiques Existe-t-il un lien entre logique et mathématique? Aspects algébriques (Mr G. Boole) Comment démontrer (automatiquement) de nouveaux résultats ? Aspects déductifs

Aspects syntaxiques Les données

Aspects syntaxiques F l’ensemble des formules du calcul propositionnel K

Aspects syntaxiques Règles d’élimination des parenthèses Supprimer les parenthèses entourant les variables Tenir compte de la priorité des connecteurs ordre standard : ¬, ∧, ∨, →, ↔ Considérer qu’un opérateur unaire l’«emporte» toujours sur un opérateur binaire

Aspects sémantiques Valeurs de vérité

Aspects sémantiques Table de vérités

Aspects sémantiques A REVOIR….

? p q ¬ p ¬ q p  q ¬ ( p  q ) (¬ p  ¬ q) F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
Calcul propositionnel ? p q ¬ p ¬ q p  q ¬ ( p  q ) (¬ p  ¬ q) F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1  0 1 1 0 1 1 1  0 1 1 1 0 0 1  0 1 1

Aspects sémantiques Formules particulières NB : on dit aussi que F est consistante.

Aspects sémantiques Exemple : On considère : (¬p → q) ∧ (q ↔ r) p q r ¬p ¬p → q q ↔ r (¬p → q) ∧ (q ↔ r) 1

Aspects sémantiques Formules particulières NB : on dit aussi que F est inconsistante, contradictoire, ou encore insatisﬁable.

Aspects sémantiques Formules particulières

Aspects syntaxiques p → q et ¬p ∨ q sont tautologiquement équivalentes. On peut donc écrire : ├ (p → q) ↔ (¬p ∨ q).

Aspects syntaxiques Équivalences tautologiques bien connues

Aspects syntaxiques Équivalences tautologiques bien connues V*?

Aspects syntaxiques Formes normales A revoir ???? NB : si dans chaque Hi ﬁgurent toutes les variables ou leur négation, on parle de forme canonique

Aspects syntaxiques Forme normale disjonctive A faire pour le TD

Aspects syntaxiques Forme normale conjonctive A retenir : La forme normale conjonctive est aussi appelée forme clausale

Aspects déductifs Notion de conséquence NB : Une conséquence logique de ∅ est une tautologie

Aspects déductifs Notion de conséquence

Aspects déductifs Systèmes formels

Aspects déductifs Systèmes formels : Démonstrations et théorèmes NB : Différence entre conséquence logique et démonstration

Aspects déductifs Prise en compte d’hypothèses NB : On dit aussi que J est un modèle de A.

Aspects déductifs Principales règles d’inférences

Aspects déductifs Propriétés d’un système formel : théorèmes Un système formel est correct ssi si A alors A tout ce qui est démontrable est vrai Un système formel est complet ssi si A alors A tout ce qui est vrai est démontrable

Aspects déductifs Limites du calcul propositionnel

Aspects déductifs Être plus proche du langage naturel NB : dans un langage du second ordre, on peut aussi quantiﬁer les relations et les fonctions

Logique du premier ordre
Calcul des prédicats Comment écrire les formules ? Aspects syntaxiques Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? Aspects sémantiques Comment démontrer de nouveaux résultats ? Aspects déductifs

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Une modélisation Les chandelles sont faites pour éclairer Quelques chandelles éclairent très mal Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très mal

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Syntaxe Alphabet

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Vocabulaire Les termes les variables et les constantes sont des termes f(t1, …, tn) est un terme si les ti sont des termes f est un symbole de fonction d’arité n Les atomes R(t1, …, tn) est un atome si R est un symbole de relation d’arité n

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Formules Un atome est une formule Si F et G sont des formules et x une variable, alors les expressions suivantes sont des formules (F) (F)  (G) et (F)  (G) (F)  (G) et (F)  (G) x (F) et x (G)

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Formules

Calcul des prédicats Logique du premier ordre

Occurrence d’une variable
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Occurrence d’une variable Une occurrence d’une variable x dans une formule F est un endroit où x apparaît dans F sans être immédiatement précédée par  ou  Une occurrence libre de x dans F est définie :

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Occurrence libre A revoir

Caractéristiques des variables
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Caractéristiques des variables Une variable est dite libre dans une formule F si elle a au moins une occurrence libre (sinon on dit qu’elle est liée) Une formule n’ayant pas de variable libre est dite close

Calcul des prédicats Logique du premier ordre

Suite en TD

Notion de substitution

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Aspects sémantiques Interprétation Formules universellement valides Le théorème de Herbrand Principe de résolution adapté au calcul des prédicats

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Vers la notion de modèle

Vers la notion de modèle
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Vers la notion de modèle Soit L le langage du calcul des prédicats une interprétation de L c’est la donnée de : un ensemble E non vide appelé ensemble de base pour chaque symbole de prédicat R d’arité n, d’un sous-ensemble R’ de En pour chaque symbole de fonction f d’arité n, d’une application f’ de En vers E (y compris pour les constantes) on peut alors calculer la valeur de tout terme clos (c’est un élément de E) on peut donc associer une valeur de vérité à tout atome et donc par extension à toute formule close

Exemple d’interprétation
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Exemple d’interprétation xyz (P(x,y)  Q(y,z)  R(x,z)) xy ( (M(x,y)  P(x,y)  Q(x,y)) M(a,b)  P(c,b)  P(d,a)  P(e,c) E = P’ = a’ = { anne, bernard, …} M’ = est la mère de Q’ = est un parent de R’ = est le grand-père de est le père de b’ = bernard c’ = charles d’ = didier e’= éric anne

Logique du premier ordre Modèle
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Modèle NB : on dit aussi que F est une tautologie.

Preuve et démonstration
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Preuve et démonstration Comment prouver une formule du calcul des prédicats ? Prouver qu’elle est vraie passer en revue toutes les interprétations ! Prouver qu’elle est fausse trouver une interprétation qui invalide la formule

Toutes les interprétations ?
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Toutes les interprétations ? Une représentation utile des formules forme clausale Un théorème qui simplifie la vie théorème de Herbrand Principe de résolution pour le calcul des prédicats vers une automatisation des démonstrations

Transformation de formule
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Transformation de formule Forme normale prénexe quantificateurs en tête de la formule formule sous forme normale conjonctive Forme standard de Skolem formule sous forme normale prénexe quantificateurs existentiels précédant quantificateurs universels Toute formule du calcul des prédicats est équivalente à une formule sous forme standard de Skolem Théorème

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Mise sous forme normale prénexe

Mise sous forme normale prénexe
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Mise sous forme normale prénexe Éliminer les connecteurs  et  Transporter les  devant les atomes en utilisant ( F  F) et les lois de De Morgan Transporter les quantificateurs en tête de la formule Ne pas hésiter à renommer les variables pour pouvoir utiliser les propriétés des quantificateurs.

Transport des quantificateurs
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Transport des quantificateurs si H ne contient aucune occurrence de x

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Mise sous forme normale prénexe

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Mise sous forme normale prénexe En TD

Forme de Skolem NB : lorsque les quantiﬁcateurs universels précèdent les quantiﬁcateurs existentiels, on parle de forme de Herbrand

Inversion de  et de  Skolemisation
Calcul des prédicats Logique du premier ordre Inversion de  et de  Skolemisation Lorsqu’on a on remplace y par une fonction g qui à x associe y Skolemisation = expliciter l’implicite NB : On dit aussi qu’on « Skolémise » la variable y

Forme standard de Skolem

Une représentation utile des formules : Forme clausale
Calcul des prédicats Une représentation utile des formules : Forme clausale

Calcul des prédicats Une représentation utile des formules : Forme clausale En TD

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Univers de Herbrand NB : si aucune constante n’apparaît dans C, on pose H0 = {a}.

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Univers de Herbrand

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Théorème de Herbrand Théorème Un ensemble S de clauses est insatisfaisable si et seulement si il existe un ensemble S’ d’instances de base insatisfaisable Corollaire Un ensemble de clauses est satisfaisable si et seulement si tout ensemble fini d’instances de base est satisfaisable

Principales applications du théorème de Herbrand
Preuve qu’une formule est universellement valide → on montre que sa négation est insatisﬁable. Validation de raisonnement → on montre que les prémisses et la négation de la conclusion forment un ensemble de clauses insatisﬁable

Principe de résolution pour le calcul des prédicats
NB : c’est le théorème de Herbrand qui nous permet ces transformations

Vocabulaire

Principe de résolution

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