PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Approximation de fonctions et régression u Approximation linéaire –Méthode du moindre carré u Exemple.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Approximation de fonctions et régression u Approximation linéaire –Méthode du moindre carré u Exemple

3 Approximation linéaire u Nous cherchons la droite qui approxime le mieux selon un critère de moindre carré, un ensemble de points de contrôle u La forme du modèle linéaire (bivarié) à une seule variable indépendante est donnée par: b 0 : ordonnée à l’origine b 1 : pente

4 Approximation linéaire u Par exemple

5 Approximation linéaire u Cherchons une droite d’approximation de la forme T = aR + b u Posons Y i valeurs expérimentales (axe Y) faisant référence aux températures u Et y i une valeur calculée (approximation) par: y i = ax i + b où x i représente les valeurs de résistance

6 Approximation linéaire u Cherchons la droite (coefficients a et b) qui approxi- me le mieux les données expérimentales –Définissons un terme d’erreur de la forme: e i = Y i - y i –Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

7 Approximation linéaire u Cherchons les valeurs de a et b qui minimise S en divisant par -2 et en distribuant la  nous obtenons

8 Approximation linéaire u Pour notre exemple nous savons que: N=5,  R i = 4438,  R i 2 = 3.982 x 10 6,  T i = 273.1  x i  x i 2  Y i  R i T i = 254 932.5  x i Y i u Nous avons comme système d’équations:

9 Approximation linéaire u Par substitution le système d’équations devient: isolons b de la seconde équation

10 Approximation linéaire u Substituons b de la première équation pour déduire a nous pouvons alors déduire b de la seconde équation b = -199.06

11 Approximation linéaire u Avec a et b connu nous pouvons alors déduire la droite d’approximation suivante

12 Exemple u Approximation d’un ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)