Calcul approché Pour calculer vite, avec un crayon de bois.

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1 Calcul approché Pour calculer vite, avec un crayon de bois.

2 Développement d’un binôme Expand[(1+x) 2 ]= 1+2 x+x 2 Expand[(1+x)^5]=

3 Idée de calcul approché On fait l’approximation affine, on trace l’écart entre la vraie et la fausse.

4 Plus intéressant l’écart relatif, en% Pour des x inférieurs à 0,1, l’erreur relative reste raisonnable

5 Généralisation La formule est très générale. Elle s’étend : aux exposants non entiers, relatifs.

6 Exercices Trouver l’approximation affine de

7 Autre extension de la formule Si on recherche une meilleure imitation, une approximation plus fine, force est de passer au degré 2. Le terme de degré 2 est

8 Exercice Trouver le polynôme du second degré qui modélise le mieux les fonctions

9 Récréation Mathématica La courbe représente l’écart relatif entre la racine et son approximation d’ordre deux.

10 Approximation d’une formule connue Exemple de la formule de la gravitation à la surface de la Terre. On souhaite aller au delà de F=mg, et obtenir une formule où g est une fonction affine de r.

11 Préparation de la formule On fait apparaître le rayon terrestre. Comment retomber sur

12 Remarques L’approximation n’est valable qu’autour d’un point, de même que la courbe n’est tangente que localement. On peut le faire partout, mais le modèle change.

13 Dimensions, unités et approximation Seuls des nombres sans unités peuvent voir sommées leurs puissances successives N’a de sens physique que si x est en rien, sans unité. Donc on met en facteur le grand.