1 Courbes Bsplines non uniformes Bsplines uniformes 1.Nombre de points de définition 2.Position des points de définition 3.Degré m des polynômes Paramètres.

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1 1 Courbes Bsplines non uniformes Bsplines uniformes 1.Nombre de points de définition 2.Position des points de définition 3.Degré m des polynômes Paramètres : 1er morceau de courbe 0<u  1 2è morceau de courbe 1<u  2 …. Bsplines non uniformes 1.Nombre de points de définition 2.Position des points de définition 3.Degré m des polynômes Paramètres : 1er morceau de courbe t 0 <t  t 1 2è morceau de courbe t 1 <t  t 2 … On donne un vecteur nœud (t 0, t 1,….., t n ) t i  IR

2 2 Pour les Bsplines uniformes Et la formule de récurrence : Ou on convient, si l’un des dénominateurs s’annule (cas des nœuds multiples), d’annuler le terme correspondant. Formules analogues

3 3 u 1 2 3 1 t 1 u i i+1 1 Bsplines uniformes Bsplines non uniformes

4 4 t t

5 5 Exemple 1 :

6 6

7 7 t 1 2 3 1 t 1 2 3 1 t 1 2 3 1 t 1 2 3 1 t 1 2 3 1 t 1/2 1 2 3 3/4

8 8 Exemple 2 : Degré 0 Degré 1

9 9 Si vecteur nœud = (0,0,0,1,1,1), on trouve : Etude des courbes Bspline (t 0, t 1,…, t k ) vecteur nœud de k+1 valeurs nodales m degré de la courbe On suppose k>2m et t k-m >t m Soit une suite de m+n+1 points P i de l’espace. Soit n+1 le nombre de valeurs nodales distinctes contenues dans [t m, t k-m [ => n+1 arcs de courbes La courbe Bspline de degré m est définie par : Le paramètre t est assujetti à parcourir l’intervalle appelé domaine paramétrique [t m, t k-m [ sur lequel on montre que la somme des fonctions est égale à 1.

10 10 Cas des courbes Bsplines uniformes On choisit un degré m=2 n+1 est le nombre de valeurs nodales distinctes contenues dans [t m, t k-m [. Pour une courbe Bspline uniforme, le vecteur nœud est de la forme (0,1,2,..,k). Le nombre de valeurs nodales distinctes contenues dans [t m, t k-m [ est donc égal à k-m-m=k-2m. (par exemple dans [t 2,t 4 [, on a 4-2=2 valeurs distinctes t 2 et t 3 ) On a donc n+1=k-2m => k=n+1+2m=n+5 Le vecteur nœud est donc de la forme (0,1,2,..,n+5). Tous les nœuds sont simples et entiers. Si n=0, on a un vecteur à 6 composantes. Domaine paramétrique [t m, t k-m [= [t 2, t k-2 [=[t 2, t n+3 [ Si on a 6 valeurs nodales alors k=5 et donc n=0. Le domaine paramétrique est [t 2,t 3 [. Si on a moins de valeurs nodales, le domaine paramétrique est vide => on ne peut pas obtenir une courbe Bspline associée à moins de 6 valeurs nodales. Domaine paramétrique [t 2, t n+3 [=[2,n+3[

11 11 t 1/2 1 2 3 3/4 u 1/2 1 2 3 3/4 On a les mêmes fonctions Pour retrouver l’écriture du paragraphe sur les Bsplines uniformes, il est bon de choisir pour vecteur nœud (-2,-1,0,…….,n+3). On retombe sur la formule :

12 12 Ici n+1=3 arcs de parabole => n=2 m+n+1=n+3=5 points de définition Intervalle utile t  [0,n+1[=[0,3[ 1er arc t  [0,1[ 2è arc t  [1,2[ 3è arc t  [2,3[ Domaine paramétrique = [t m, t k-m [= [t 2, t n+5-2 [=[0,n+1[ => t  [0,n+1[. Courbe Bspline obtenue = Bspline uniforme composée de n+1 arcs de parabole.

13 13 Généralisation : Soit le degré m imposé a priori et le vecteur nœud (-m,-m+1,….,0,1,…,m+n+1) avec n  0 Le domaine paramétrique des Bspline associées est [t m, t k-m [=[0,n+1[ domaine non vide (n  0) Soient m+n+1 points de définition P i numérotés de –m à n. La courbe Bspline associée est telle que : Formule identique à : => La courbe Bspline associée est la Bspline uniforme composée de (n+1) arcs, son domaine paramétrique étant [0,n+1[

14 14 Courbe Bspline de Bézier On considère un vecteur nœud (t 0, t 1, ……, t 2m+1 ) où les m+1 premières valeurs nodales sont égales entre elles et les m+1 autres valeurs sont aussi égales. Exemple, pour une courbe de degré 2 : (t 0, t 1,……, t k )=(0,0,0,1,1,1) => k=5 m=2 n+1 nombre de valeurs nodales distinctes contenues dans [t m,t k-m [=[t 2,t 3 [=[0,1[ => n+1=1 => n=0 n+1 arcs de parabole => 1 arc de parabole Dans ce cas particulier de vecteur nœud, on a : On retrouve ainsi la courbe de Bézier de degré 2. On peut généraliser à un degré m quelconque.

15 15 Courbes Bspline à points et tangentes imposées Dans le cas de Bsplines uniformes, les points de départ et d’arrivée peuvent ne pas être reliés aux points de définition. Une solution est de prendre des valeurs nodales multiples aux extrémités de la courbe.

16 16 Exemple 3 : Soit une courbe Bspline non uniforme de degré 3 définie par le vecteur nœud : Les points de définition de la courbe sont : On donne les valeurs des fonctions suivantes sur l’intervalle [0,1[ :

17 17 Quel est domaine paramétrique? Combien y a-t-il d’arcs dans la courbe? Pourquoi y a-t-il 6 points de définition pour cette courbe? Etudier et tracer le premier arc de courbe.

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