Faculté Polytechnique Cours 9: Représentation de courbes spatiales Géométrie et communication graphique Edouard Rivière-Lorphèvre.

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1 Faculté Polytechnique Cours 9: Représentation de courbes spatiales Géométrie et communication graphique Edouard.riviere@umons.ac.be Edouard Rivière-Lorphèvre

2 Université de Mons On peut représenter une droite comme l’intersection de deux plans Rappel: Equations cartésiennes de droite 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

3 Université de Mons La description cartésienne de courbe spatiale reprend ce concept Courbe = intersection de deux surfaces Introduction 3 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

4 Université de Mons Représentation d’un cercle dans Oxy de centre O et de rayon R Exemple 4 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique cylindre plan

5 Université de Mons L’intersection de deux surfaces peut donner: Une courbe Plusieurs courbes Aucune courbe Exemple: sphère de rayon 2 et cylindre de rayon 1 Intersection de surfaces 5 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

6 Université de Mons Une courbe d’intersection 6 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

7 Université de Mons Plusieurs courbes d’intersection 7 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

8 Université de Mons Pas d’intersection 8 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

9 Université de Mons Si la courbe est plane, possibilité de l’étudier comme vu en début de quadrimestre 2 problèmes à étudier Comment détecter le caractère plan d’une courbe ? Comment revenir à une forme F(x,y)=0 ? Courbe plane 9 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

10 Université de Mons On est en présence d’une courbe plane si l’une des surfaces définissant la courbe sous forme cartésienne est un plan  si une combinaison linéaire des équations cartésiennes donne une forme linéaire en x,y et z (équation d’un plan) on a une courbe plane Courbe plane 10 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

11 Université de Mons Cas simple 11 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

12 Université de Mons Cas simple 12 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

13 Université de Mons Quelle est la forme de la courbe d’intersection entre un paraboloïde elliptique et un plan Quadrique 13 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

14 Université de Mons Quadrique 14 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

15 Université de Mons Quadrique 15 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

16 Université de Mons Quadrique 16 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

17 Université de Mons Emploi de la projection de la courbe sur les plans coordonnés pour une représentation 2D (cf Monge) Morphologie de courbes spatiales 17 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

18 Université de Mons Éliminer une des variables entre les deux équations pour obtenir une surface cylindrique Parallèle à x en éliminant x Parallèle à y en éliminant y Parallèle à z en éliminant z Cylindre projetant 18 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

19 Université de Mons Exemple: cylindre projetant 19 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Sphère centrée en 0 Rayon R Plan x+y+z-R=0

20 Université de Mons Cylindre projetant Exemple: cylindre projetant 20 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

21 Université de Mons Dessin point par point: même principe qu’en 2D: Cylindre projetant dans Oxy Dessin de la courbe 2D point par point Idem dans Oxz Obtention des coordonnées x,y,z des points pour tracé en perspective Morphologie de courbes spatiales 21 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

22 Université de Mons Exemple: cylindre projetant 22 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Sphère centrée en 0 Rayon R Plan x+y+z-R=0

23 Université de Mons Cylindre projetant Base du cylindre Exemple: base du cylindre projetant 23 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique conique

24 Université de Mons Exemple: base du cylindre projetant 24 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique a=b   =  /4

25 Université de Mons L’intersection de deux sphères est- elle une courbe plane ? 25 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

26 Université de Mons Intersection de sphères 26 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

27 Université de Mons Intersection de sphères 27 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

28 Université de Mons Si le plan est quelconque, nécessité de repasser dans un repère avec un des axes perpendiculaire au plan (matrices de transformation) ou matrice de transformation pour amener le plan // à un plan coordonné Obtention d’une courbe plane Courbe plane dans un plan quelconque 28 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique x’ y’ z’

29 Université de Mons Fonction vectorielle et paramétrique de courbe 29 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

30 Université de Mons Fonction vectorielle 30 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Fort utile pour le suivi de trajectoire (paramètre = temps)

31 Université de Mons Equations paramétriques 31 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

32 Université de Mons Hélice: courbe décrite par un mobile combinant deux mouvements Rotation autour d’un axe à vitesse constante Translation parallèlement à l’axe à vitesse constante Pas: distance dans le mouvement de translation durant une rotation Exemple 32 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

33 Université de Mons Équations paramétriques ? 33 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

34 Université de Mons Equations paramétriques Fonction vectorielle Hélice 34 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

35 Université de Mons Retour aux équations cartésiennes 35 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

36 Université de Mons Retour aux équations cartésiennes 36 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

37 Université de Mons Équations paramétriques d’une courbe à partir de celles de surfaces 37 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

38 Université de Mons 38 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique Trouver  =f(  ) ou =f(  )

39 Université de Mons Courbe d’intersection entre une sphère centrée en l’origine de rayon R et un cylindre circulaire de diamètre R tangent intérieurement à la sphère Exemple 39 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

40 Université de Mons Sphère Cylindre Exemple 40 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

41 Université de Mons Exemple 41 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

42 Université de Mons Exemple 42 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

43 Université de Mons Exemple 43 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

44 Université de Mons Passage aux équations cartésiennes et vérification que l’une des surfaces est un plan Vérifier que les coordonnées x,y,z des points de la courbe vérifient l’équation d’un plan Vérification du caractère plan d’une courbe 44 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

45 Université de Mons Courbe plane si on peut définir a,b,c et d non tous nuls tels que ax+by+cz-d=0 soit vérifié pour tous les points de la courbe Exemple 45 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

46 Université de Mons Exemple 46 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique