Géométrie et communication graphique

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1 Géométrie et communication graphique
Cours 8: Représentation vectorielle et paramétrique de surfaces Edouard Rivière-Lorphèvre

2 Introduction Équations vectorielle et paramétriques du plan
𝑥= 𝑥 0 +l𝑎+𝜇𝑑 𝑦= 𝑦 0 +l𝑏+𝜇𝑒 𝑧= 𝑧 0 +l𝑐+𝜇𝑓 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

3 Introduction Généralisation pour les surfaces 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑢,𝑣
𝑂𝑃 = 𝑓 𝑢,𝑣 𝑥= 𝑓 1 𝑢,𝑣 𝑦= 𝑓 2 𝑢,𝑣 𝑦= 𝑓 3 𝑢,𝑣 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

4 Forme paramétrique Méridien Parallèle
Ligne pour lesquelles un paramètre est constant: ligne coordonnée (visualisation) Méridien Parallèle E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

5 Forme paramétrique Les paramètres employés sont libres, il existe plusieurs paramétrisation d’une même surface 𝑥=± 𝑅 2 − 𝜆 2 − 𝜇 2 𝑦=𝜆 𝑧=𝜇 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

6 Coordonnées sphériques
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7 Coordonnées sphériques
𝑧=𝑅.𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛=𝑅.𝑐𝑜𝑠𝜙 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

8 Coordonnées sphériques
𝑧=𝑅.𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛=𝑅.𝑐𝑜𝑠𝜙 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

9 Coordonnées cylindriques
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10 Coordonnées cylindriques
Premier paramètre: coordonnée z Deuxième paramètre: paramètre des équations paramétriques dans Oxy de la courbe de base 𝑥=𝑓1(𝜃) 𝑦=𝑓2(𝜃) 𝑧=𝜅 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

11 Coordonnées cylindriques
Exemple: cylindre circulaire d’axe z 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑅 2 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

12 Coordonnées cylindrique
Surface cylindrique d’axe x ou y: même démarche par permutation circulaire 𝑥=𝜅 𝑦=𝑓1(𝜃) 𝑧=𝑓2(𝜃) 𝑥=𝑓1(𝜃) 𝑦=𝜅 𝑧=𝑓2(𝜃) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

13 Représentation paramétrique des quadriques
Ellipsoïde Lignes coordonnées à f=cste 𝑥=𝑎′.𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=𝑏′.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧=𝑐′ Ellipse plan ┴ Oz E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

14 Représentation paramétrique des quadriques
Hyperboloïde à une nappe Hyperboloïde à deux nappes E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

15 Représentation paramétrique des quadriques
Paraboloïde hyperbolique Paraboloïde elliptique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

16 Représentation paramétrique des quadriques
Cône elliptique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

17 Surfaces de révolution
1er paramètre: forme paramétrique de la courbe plane 2e paramètre : q R q z E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

18 Exemple du tore f q E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

19 1e étape: équations dans le plan
𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛=𝑅+𝑟. cos 𝜙 𝑧=𝑟.𝑠𝑖𝑛𝜙 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

20 2e étape: révolution f E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

21 Exemple du tore E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

22 Surface réglée Surface générée par un ensemble de droites liées par 3 contraintes Parallélisme à un plan Passage par une courbe Tangence à une surface Idée de base: écrire les coordonnées de deux points en fonction d’un paramètre Forme paramétrique des génératrices E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

23 Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

24 Exemple B(-a,n,c) C(a,-b,m) A(l,b,-c)
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25 Exemple A,B, C alignés  Ces vecteurs doivent être colinéaires
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26 Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

27 Exemple B(-a,n,c) C(a,-b,m) A(l,b,-c)
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28 Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

29 Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

30 Exemple 2 On donne deux droites définies par leurs équations cartésiennes et un plan défini par son équation cartésienne 𝑑 1 ≡ 3𝑥+5𝑦−3𝑧+3=0 𝑥−𝑦−𝑧+1=0 𝑑 2 ≡ 𝑥+𝑧−3=0 2𝑦+3𝑧=0 𝜋≡3𝑥+5𝑦+2𝑧−2=0 On demande de rechercher les équations paramétriques d’une surface réglée dont les génératrices sont sécantes avec les droites et parallèles au plan E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

31 1e étape: équations paramétriques des droites
𝑑 1 ≡ 3𝑥+5𝑦−3𝑧+3=0 𝑥−𝑦−𝑧+1=0 𝑉 1 = 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧 3 5 −3 1 −1 −1 = −8,0,−8 𝑥=0⇒ 5𝑦−3𝑧+3=0 −𝑦−𝑧+1=0 ⇒ 0,0,1 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑑 1 𝑑 1 ≡ 𝑥=−8𝛼 𝑦=0 𝑧=1−8𝛼 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

32 1e étape: équations paramétriques des droites
𝑑 2 ≡ 𝑥+𝑧−3=0 2𝑦+3𝑧=0 𝑉 2 = 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧 = 2,−3,2 𝑧=0⇒ 𝑥−3=0 2𝑦=0 ⇒ 3,0,0 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑑 1 𝑑 2 ≡ 𝑥=3+2𝛽 𝑦=−3𝛽 𝑧=2𝛽 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

33 2e étape: vecteur directeur
Un vecteur directeur d’une génératrice a pour coordonnées (vecteur joignant un point de d1 à un point de d2): (3+2b+8a;-3b;2b+8a-1) Or les génératrices sont parallèle au plan p (donc perpendiculaires à sa normale: (3+2b+8a;-3b;2b+8a-1).(3;5;2)=0 On a donc une relation entre a et b: 9+6b+24a-15b+4b+16a-2=0 40a-5b+7=0  𝛽=8𝛼+ 7 5 Ce qui permet d’exprimer le vecteur directeur en fonction d’un seul paramètre: (3+ 16𝛼 a; -24𝛼− 21 5 ; 16𝛼 a-1) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

34 3e étape: équations paramétriques
Il suffit finalement d’exprimer les équations paramétriques des génératrices: Passant par les points −8𝛼;0;1−8𝛼 De vecteur directeur (24𝛼 ; -24𝛼− 21 5 ; 24𝛼+ 9 5 ) On obtient donc: 𝑥=−8𝛼+ 24𝛼 𝜆 𝑦= −24𝛼− 𝜆 𝑧=1−8𝛼+ 24𝛼 𝜆 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

35 Surface conique S l P µ 𝑉 𝜆,𝜇 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 +𝜆. 𝑆𝑃 𝜇 Sommet s
Génératrice: droites reliant S à un point de la courbe l P 𝑉 𝜆,𝜇 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 +𝜆. 𝑆𝑃 𝜇 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

36 Surface conique Ellipse 𝑥=𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜇 𝑦=𝑏.𝑠𝑖𝑛𝜇 𝑧=0
Exemple: cône dont le sommet est en (0,b,b) et dont la base est une ellipse (grand axe 2a, petit axe 2b) dessinée dans Oxy Ellipse 𝑥=𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜇 𝑦=𝑏.𝑠𝑖𝑛𝜇 𝑧=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

37 Surface conique 𝑉 𝜆,𝜇 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 +𝜆. 𝑆𝐸 𝜇 𝑂𝑆 = 0,𝑏,𝑏 𝑆𝐸 = a.cosµ,𝑏. sin µ ,0 −(0,𝑏,𝑏) S E O E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

38 Surface conique 𝑂𝑃 = 0,𝑏,𝑏 +𝜆. 𝑎.𝑐𝑜𝑠µ,𝑏.𝑠𝑖𝑛µ−𝑏,−𝑏 𝑥=𝜆.𝑎. cos µ 𝑦=𝑏+𝑏.𝜆. 𝑠𝑖𝑛µ−1 𝑧=𝑏. 1−𝜆 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

39 Surface conique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

40 Surface conique 𝑥=𝜆.𝑎. cos µ 𝑦=𝑏+𝑏.𝜆. 𝑠𝑖𝑛µ−1 𝑧=𝑏. 1−𝜆 𝑐𝑜𝑠𝜇= 𝑥 𝜆𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜇= 𝑦−𝑏 𝑏𝜆 +1 𝑠𝑖𝑛²𝜇+𝑐𝑜𝑠²𝜇= 𝑥² 𝜆²𝑎² + 𝑦−𝑏 ² 𝜆²𝑏² +1+2 𝑦−𝑏 𝑏𝜆 =1 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

41 Surface conique 𝑥² 𝜆²𝑎² + 𝑦−𝑏 ² 𝜆²𝑏² +2 𝑦−𝑏 𝑏𝜆 =0 𝑏²𝑥²+𝑎² 𝑦−𝑏 ²+2𝑎²𝑏 𝑦−𝑏 𝜆=0 𝑥=𝜆.𝑎. cos µ 𝑦=𝑏+𝑏.𝜆. 𝑠𝑖𝑛µ−1 𝑧=𝑏. 1−𝜆 ⇒𝜆= 𝑏−𝑧 𝑏 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

42 Surface conique 𝑏²𝑥²+𝑎² 𝑦−𝑏 ²+2𝑎² 𝑦−𝑏 𝑏−𝑧 =0 𝑏²𝑥²+𝑎² 𝑦²−2𝑦𝑏+𝑏² +2𝑎² 𝑦𝑏−𝑦𝑧− 𝑏 2 +𝑏𝑧 =0 𝑏²𝑥²+𝑎²𝑦²−2𝑎²𝑦𝑧+2𝑎²𝑏𝑧−𝑎²𝑏²=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique