1 L2 STE. Test du χ2 d’adéquation/conformité: Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie.

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1 1 L2 STE

2 Test du χ2 d’adéquation/conformité: Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie a priori ou à une population donnée. Test du χ2 d’homogénéité: Il s'agit alors de se demander si deux listes de nombres de même effectif peuvent dériver de la même loi de probabilité. Principe L’analyse se fait à l’aide d’un tableau de corrélation (variables quantitatives regroupées en classes) ou (plus souvent) de contingence (variables qualitatives). Il ne concerne que des données discrètes. On calcule les fréquences attendues de chacune des cases puis les écarts entre celles-ci et les fréquences observées. Test du χ 2

3 Tableau de contingence: les MnMs transgéniques Préparation des données. Test du χ 2

4 Les tableaux de corrélation: le territoire et la masse des marsupiaux Préparation des données. Test du χ 2

5 Pour calculer la statistique χ 2, on a besoin des: - fréquences absolues observées - fréquences absolues attendues Remarque importante: les fréquences du tableau sont des fréquences absolues observées, jamais des fréquences relatives! Conformité. Test du χ 2

6 Les fréquences attendues (théoriques) sont nécessaires 1. Si on connaît déjà (grâce à une théorie) les fréquences attendues théoriques, on les utilise directement. Exemple: l'hérédité des pois de Mendel: Conformité. Test du χ 2

7 Test du χ 2 H 0 : Je me conforme à la théorie… χ 2 = 0 H 1 : Je ne me conforme pas à la théorie… χ 2 > 0 Conformité. Test du χ 2

8 où, si N est la fréquence totale Si  2 = 0, fréq théoriques identiques aux fréq. obs., si  2 > 0, elles ne sont pas exactement identiques. H 0 :  2 =0 H 1 :  2 >0 Conformité. Test du χ 2

9 9 Si Z 1, Z 2, Z n sont des variables aléatoires normales centrées réduites et indépendantes entres elles, la somme des carrées de ces varaibles aléatoires obéit à la loi du  2 à degrés de libertés La loi du Khi carré:  2

10 10 La loi du Khi carré:  2

11 11 En fait, les calculs sont fastidueux -> TABLES La loi du Khi carré:  2

12 12 La loi du Khi carré:  2

13 Un exemple Le tableau suivant montre la distribution des unités 0, 1,2, …, 9 d’une table de nombres aléatoires comportant 250 nombres. Est-ce que la distribution observée est significativement différente de la distribution théorique? Unités0123456789 Fréq Obs17312918142035302036 Fréq Est.25 Solution: critique à = 10-1 = 9 degrés de liberté = 16,92 23.3>16,92. Cette table de nombre aléatoire est suspecte. Conformité. Test du χ 2

14 Pourquoi 9 degrés de liberté dans l’exemple précédent? = k -1 si les fréquences théoriques peuvent être calculées sans avoir à estimer les paramètres de la population à partir des statistiques d’échantillon. = k – 1 – m si les fréquences théoriques peuvent être calculées en n’estimant que m paramètres de la population à partir des statistiques d’échantillon. Idéalement, au moins 5 occurrences par case! Degré de liberté. Test du χ 2

15 27/01/2016Statistiques15 Degré de liberté. Test du χ 2

16 27/01/2016Statistiques16 Homogénéité. Test du χ 2

17 27/01/2016Statistiques17 Homogénéité. Test du χ 2

18 GuéritNe guérit pasTotal Groupe A (serum)7525100 Groupe B (sans sérum)6535100 Total14060200 Fréquences observées GuéritNe guérit pasTotal Groupe A (serum)7030100 Groupe B (sans sérum)7030100 Total14060200 Fréquences attendues sous H 0 Impossibilité de rejeter H 0 Homogénéité. Test du χ 2

19 Exemple Tableau de contingence du nombre de joueurs de hockey de différentes nationalités utilisant différentes marques de bâtons de hockey. Le choix de la marque du bâton de hockey que les joueurs utilisent est-il influencé par l’origine du joueur? Étape 1 : Question “biologique” Homogénéité. Test du χ 2

20 H 0 : il n’y a pas de préférence de marque de bâton de hockey chez les joueurs de différentes nationalités (donc: la variable "marque de bâton" et la variable "nationalité" sont indépendantes) : χ 2 = 0 H 1 : les joueurs de différentes nationalités ont des préférences différentes au niveau de la marque de bâton de hockey qu’ils utilisent : χ 2 > 0 Étape 3 : Test statistique utilisé données sous forme de fréquences indépendance des observations fréquences distribuées normalement Étape 4: Conditions d’application Étape 2: Déclaration des hypothèses Homogénéité. Test du χ 2

21 f th(i,j) = (n i × n j )/N exemple, la première cellule : Calcul des fréquences théoriques: Homogénéité. Test du χ 2

22 Étape 5 : Distribution de la variable auxiliaire Si H 0 est vraie, la statistique χ 2 calc suit une distribution de χ 2 à υ = (l – 1) × (c – 1) = (5 – 1) × (6 –1) = 20 d.d.l. On rejette H 0 si χ 2 calc ≥ χ 2 (0,05, 20) = 31,41 Étape 7: Calcul du test Étape 8: Décision statistique On ne rejette pas H 0 au seuil α = 0,05 car si χ 2 calc < χ 2 (0,05, 20) Les joueurs de différentes nationalités n’utilisent pas des bâtons de hockey de marques différentes car les compagnies font la promotion de leurs bâtons avec la même intensité dans les pays étudiés. Étape 6 : Règle de décision Étape 9: Interprétation biologique Homogénéité. Test du χ 2