Critères d’Aide à la Décision. Nouvelle Ligne de Produit Actions possibles quelles quantités produire? Etats de l’environnement quels niveaux de demande?

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1 Critères d’Aide à la Décision

2 Nouvelle Ligne de Produit Actions possibles quelles quantités produire? Etats de l’environnement quels niveaux de demande? Résultats C.A., coût, marge... Objectif recherché par l’entreprise?

3 Actions, Etats, Marges - demande hebdomadaire possible 20, 30 ou 40 unités, PROBABLE  production 20, 30 ou 40 unités / semaine. -prix de vente unitaire: 2500 euros -coût variable: 1500 euros -Marge: pu x uv – cv x up

4 Calcul des marges Une action a 2, un état e 3 produit 30 unités, 40 unités demandées c 23 = 2500x30-1500x30=+ 30 000 a 3 et e 1 produit 40 unités, 20 unités demandées c 31 = 2500x20-1500x40= -10 000 etc…

5 Matrice de décision E1E2EjEm..... a1 c11c12...............c1m a2c22........................ a3.................................................................................... ai ci1ci2cij.......................................................... an cn1cn2cnjcnm c 32 est la valeur conséquente de l’action a 3 et de l’état E2.

6 Matrice de l’Exemple +20 000+20 000+20 000 + 5 000+30 000+30 000 -10 000+15 000+40 000 Une colonne, un état Une ligne, une action

7 Critères LAPLACE maximiser EM WALD meilleur dans le pire SAVAGE regret minimal HURTWICZ paramètre subjectif

8 Espérance Mathématique Max{(1/n)  c ij } i ji j Moyenne en ligneMaximum +20 000 +21 666 +21 666 +15 000 a2a2

9 Pessimiste Minimax Coût: Min {(max c ij )} ijij Maximin Gain:Min c ij Max Max {(min c ij )} +20 000+20 000 ij+ 5 000 - 10 000 a1a1

10 Prudence Min{ max (max c ij - c ij )} ij j max c ij – c ij maxmin 0 0 0 00 +25 000 0 0 25 000 +50 000 +25 000 0 50 000 a 1

11 Pondération Max{ h max c ij + (1-h) min c ij } ijj h Є [0,1] h= 0,7 Max{ 0,7 max c ij + 0,3 min c ij } ijj +20 000 +22 500 +25 000 a 3

12 Bayésien Ajout de connaissances a priori: Point mort probabilisé Dispersion du gain Coût de l’incertitude  Probabilité conditionnelle: P(Ei/X)  Critère d’évaluation d’une décision \presenta\mqdinc.ppt

13 Gain espéré Décision dans l’incertain  Gain G V.A. Distribution de probabilités sur les états j possibles { a i }→ { d i } → EGi,VGi EG(d i )=  c ij P(Ej ) où c ij = G(d i /Ej) j Max EG(d i ) | EG(d* )≥ EG(d i ) Multiplication de la colonne matrice des gains par probabilité de l’état correspondant Ajout d’une colonne de somme en ligne, élément maximum d*

14 Décision optimale P(Ej) 0,20,40,4 G(di)+20x0,2 +20x0,4 +20x0,4 10 3 + 5x0,2 +30x0,4 +30x0,4 -10x0,2 +15x0,4 +40x0,4 Max EG(d i ) 10 3 4 8 820 11212 25 =d* -2 6 16 20

15 Gain espéré/fiabilité erreurH0H1 d00β d1  0 intervenir Pas de problème Erreur  : intervenir à tort  =P(d1/H0) Erreur β: ne pas intervenir alors qu’un problème existe β=P(d0/H1)

16 Coût de l’incertitude Situation de certitude  P(Ej ) Max G(d i /Ej) jiji i.e. choisir le maximum par ligne multiplié par la probabilité de l’état colonne, puis sommer Coût de l’incertitude:  P(Ej ) Max G(d i /Ej) - Max EG(d i ) jiijii

17 Calcul du coût de l’incertitude Max EG(d i ) (10 3 )4 8 820 11212 25 =d* -2 6 16 20 36=  P(Ej ) Max G(di/Ej) Ici le coût de l’incertitude est 36-25 max

18 Jeux Théorie des jeux Tactique d’un joueur: description des décisions Actions: ses possibilités Etats du monde: actions éventuelles de l’autre

19 Jeu à 2 joueurs b 1 b 2 …b n a 1 r 11 r 12 …… r 1n a 2 r 21 r 22 r 2n …. a m r m1 r m2 …. r mn N tactiques pour B M tactiques pourA

20 Gain du jeu Chaque joueur définit un ordre, v ij,sur ses tactiques pour simplifier A est joueur du maximum max min v ij B du minimum min max v ij La théorie suppose que ce sont des joueurs prudents

21 Valeur du jeu Valeur commune max min v ij =min max v ij ijji ce couple de tactiques en équilibre est appelé ‘’point selle’’ L’égalité est rarement satisfaite, Probabilités:  Stratégie de A, p 1 p 2. … p m,  p i. = 1  Stratégie de B, q 1 q 2. … q m,  q j. = 1  résultat r ij avec une probabilité p i q j

22 Duel Les perspectives de gain v ij notées M:   p i v ij q j = PMQ i j Théorème de VON NEUMAN: Un jeu stratégique possède une valeur maxminPMQ = minmaxPMQ et les stratégies prudentes des joueurs forment un couple en équilibre.

23 Exemple duel 123 q 1 q 2 q 3 a 1 1 0-22 a 2 2 54-3 a 3 3 23-4 123 q 1 q 2 q 3 a 1 p 1 0-22 a 2 1- p 1 54-3 La troisième tactique de A provoque un résultat inférieur à la deuxième Elle est dominée, et éliminée Gains attendus de A: 1 er jeu: 0p 1 +5(1-p 1 ) 2 ème : -2p 1 +4(1-p 1 ) 3 ème :2p 1 -3(1-p 1 )

24 Tactique Optimale p1 Gains 5 -3 4 1 2 4-6p1 5-5p1 2 -3+5p1 E tactique maximin élimine 5-5p, d’où -2p+4(1-p)=2p-3(1-p)  4-6p=-3+5p  p=7/11, 1-p=4/11  v= -3+5x7/11= 2/11 valeur du jeu la valeur tactique de B q* 1 (5-5p)+q* 2 (4-6p)+q* 3 (-3+5p)=2/11  q* 1 20/11+ q* 2 2/11p+q* 3 2/11=2/11 La somme des q* égale 1, q* 1 = 0 sinon p=7/11 au-dessus maximin et q* 2 (4-6p)+q* 3 (-3+5p)≤2/11, 0 ≤ p ≤1 <2/11, si p=7/11 2/11 2/11 7/11

25 Optimalité suite Si fixe p=0 4q* 2 -3Q* 3 = 2/11 Si p=1 -2q* 2 +2 q* 3 =2/11 d’où la stratégie de B est: q* 2 = 5/11,q* 3 = 6/11 Les joueurs s’opposaient ici, ils peuvent Coopérer….

26 Extremum de PARETO Un point Pareto-optimal Ne peut augmenter le gain de l’un sans diminuer celui de l’autre tout en restant dans l’ensemble des admissibles  Sur la frontière des admissibles répartition possibles V= {va,vb} va vb

27 Coopération? Accord/désaccord niveau de vraisemblance de l’accord fonction des gains respectifs: va-va m. vb-vb m, où va m et vb m, gains en désaccord gains proportionnels à ce que chacun aurait gagné

28 Point de COURNOT Un couple de stratégies,va*,vb* chacune meilleure réponse à l’autre, i.e. équilibre, le résultat induit s’il est unique est un optimum de COURNOT

29 Compromis de NASH Solution de négociation (coopération) Max (va-va m. vb-vb m ) sur V deux camarades veulent se répartir 100 euros, rien si désaccord, comment s’accorder? Max (va-0)(vb-0) sous va+vb ≤ 100 va,vb≥0 va vb 100 Solution va=vb=50

30 Arbitrage Un résultat Pareto-optimal est intéressant pour les joueurs. Dans le cas d’un duel, quel point vont-ils accepter? S’il existe un désaccord, le point de Cournot est atteint mais moins satisfaisant.

31 Théorème de NASH Si l’ensemble V des admissibles,v, est convexe, si f est une règle d’arbitrage, M un point d’arbitrage est tel que: f(v) = M f est invariante par rapport à une transformation linéaire de gain, S’il existe un équilibre de Cournot que M est Pareto-optimal, Les courbes d’indifférence v a v b =k, celle tangente à l’optimum de PARETO est optimale.

32 compromis de NASH va vb T A vavb = k Solution au problème de l’arbitrage

33 Equilibre de NASH Non coopératif, Les stratégies,individuelles, de a et b: v a =(x a1, x a2,…x am ) v b =(y b1,..y bn ) vd a, vd b variables de décision Point Pareto-optimal (va*,vb*) vd a (v a *,v b *) ≥vd a (v a,v b *) vd b (v a *,v b *) ≥vda(v a *,vb)

34 Comportement Si la fonction de gain est: Vd a (x,y)= a(x,y)+  b(x,y),  є[0,1] Vd b (x,y)=βa(x,y)+b(x,y), β є[0,1]  0 altruiste De même pour b  = β =-1 le jeu est à somme nulle