ACOUSTIQUE MUSICALE Premières mesures de la fugue en la bémol majeur du "Clavier bien tempéré" de J.-S. Bach.

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1 ACOUSTIQUE MUSICALE Premières mesures de la fugue en la bémol majeur du "Clavier bien tempéré" de J.-S. Bach

2 Qu’est- ce qu’un son ? Un son est une vibration de l’air ambiant (onde sonore) Son pur: onde de pression monochromatique sinusoïdale P(x,t) = A sin( t ) : pulsation de l’onde avec  = 2 : fréquence de l’onde : longueur d’onde A : amplitude de l’onde Son complexe: superposition de plusieurs sons purs P(x,t) = A1 sin( 1t - 1 ) + A2 sin (2t - 2 ) + A3 sin (3t - 3 ) + ….

3 Décomposition d’un son
Analyse spectrale Décomposition d’un son physicien français Joseph Fourier est né le 21 mars Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier. L'étude de ces séries a permis de nombreux progrès dans divers domaines des mathématiques et de leurs applications. Fourier (jean Baptiste Joseph  ) nous a appris que l'on pouvait créer des formes d'ondes très complexes en ajoutant seulement entres elles des courbes sinus et cosinus. A titre d'exemple voici un signal complexe et sa décomposition. Il s'agit d'un signal de fréquence fondamentale f auquel on ajoute un signal 2f et 3f de mêmes phase et amplitude.

4 Le timbre d’un son On appelle fréquence fondamentale, la vibration sinusoïdale la plus lente d’un signal complexe. La fondamentale détermine la hauteur du son complexe. On appelle harmoniques, les vibrations de fréquences multiples de la fondamentale. Forme du signal d'une note de hautbois, décomposition en harmoniques et spectre sonore montrant leurs intensités relatives (d'après Lamirand-Joyal). Le timbre d’un son est en quelque sorte la signature (ou la couleur) de ce son, il nous permet d’identifier son origine: son provenant d’un piano, d’un violon ou de la voix humaine. Il résulte des amplitudes relatives des harmoniques et du fondamental d’un son complexe.

5 Spectres des sons

6 Les transitoires Transitoires: On appelle transitoires, les périodes pendant lesquelles un son s’établit ou s’éteint. Attaque d’un son: c’est le temps nécessaire pour que le son atteigne son amplitude maximale

7 Axiome de l’octave L’être humain perçoit un son de fréquence donnée et le son de fréquence double comme « la même note » (l’une étant plus haute que l’autre) Doubler la fréquence d’un son s’appelle « remplacer le son par l’octave de ce son » Exemple: Le LA du diapason ( = 440 Hz) Une octave au dessus donne le LA aigu (880 Hz) Une octave en dessous donne le LA grave (220 Hz) L’être humain peut détecter des hauteurs de son comprises entre 20 Hz et 20 kHz soit 10 octaves, on peut entendre différents LA de hauteurs différentes à savoir: 27,5 Hz ; 55 Hz ; 110 Hz ; 220 Hz ; 440 Hz ; 880 Hz ; 1760 Hz ; 3520 Hz ; 7040 Hz ; Hz On repère ces différents sons par un numéro: LA-1 (27,5 Hz) LA2 (220 Hz) LA5 (1760 Hz) LA8 (14080 Hz) LA0 (55 Hz) LA (440 Hz) LA6 (3520 Hz) LA1 (110 Hz) LA4 (880 Hz) LA7 (7040 Hz)

8 Qu’est-ce qu’une note ? On appelle note associée à une fréquence (hauteur)  , un son correspondant à l’une des fréquences suivantes: …, 2-2  , 2-1  ,  , 2  , 22  , 23  , … Une note est caractérisée par quatre facteurs: - Sa hauteur (fréquence fondamentale) - Son intensité (forte ou faible) - Sa durée (courte ou longue) - Son timbre (couleur) La note de référence: « Donner le LA » En 1711, J. Shore musicien Anglais invente le diapason, instrument en forme de fourche produisant un son pur, et fixe la hauteur du « LA ». Variation de la hauteur du « LA » au cours du temps. A l’époque de Haendel (1750) LA = 422,5 Hz En 1829, le gouvernement Français fixe le « LA » à 435 Hz Depuis 1953, la conférence internationale de Londres a fixé le « LA » à 440 Hz

9 Les durées On définit des durées relatives des notes entre elles, comme des puissances de 2 1 ronde = 2 blanche = 4 noire = 8 croche = 16 double croche = 32 triple croche = 64 quadruple croche Durée: / / / / / /64 (La durée d’une pause est égale à la durée d’une ronde)

10 Les harmoniques Les harmoniques d’une note sont données par les fréquences multiples de la fondamentale. Exemple: Les harmoniques du DO0 (32,70 Hz) Harmoniques Fréquences (Hz) Note proche , DO0 , DO1 , SOL1 , DO2 , MI2 , SOL2 ,4 Pas utilisée en musique occidentale , DO3 , RE3 MI3 ,7 Pas utilisée en musique occidentale , SOL3

11 Intervalle Un intervalle musical désigne l’écart de hauteur entre deux notes. Dans la musique occidentale, une octave est divisée en sept degrés appelés notes, c’est l’échelle diatonique dite heptatonique (7 notes). DO RE MI FA SOL LA SI DO (notes blanches du piano) 1 ton ton ½ ton ton ton ton ½ ton Si on souhaite diviser une octave en intervalles égaux d’un demi ton, il faut ajouter des degrés ou « notes » supplémentaires (échelle chromatique) DO DO# RE RE# MI FA FA# SOL SOL# LA LA# SI DO ½ ton Entre deux degrés consécutifs il y a un intervalle d’un demi ton. DO# (#) dièse augmente la note d’un demi-ton par rapport au DO Le bémol (b) diminue la hauteur d’une note d’un demi-ton Par exemple: DO# = REb , MI = FAb , FA = MI#

12 Nom des intervalles On nomme les intervalles en fonction de leur longueur en degrés (notes) Nom de l’intervalle Nombre de degrés Exemple L’unisson 1 La seconde DO-RE (majeur) MI-FA (mineur) La tierce DO-MI (majeur) RE-FA (mineur) La quarte DO-FA (juste) FA-SI (augmenté) le triton La quinte DO-SOL (juste) DO-SOL# (augmentée) La sixte 6 La septième 7 L’octave 8 La neuvième 9 .

13 La gamme tempérée Dans la gamme tempérée, une octave est divisée en six parties égales appelées intervalles de ton d’une valeur égale à = 1,12246 Chaque intervalle de ton est divisé en 2 intervalles de demi-ton d’une valeur égale à = 1,05946 Note\octave 1 2 3 4 5 6 7 Do 32,70Hz 65,41Hz 130,81Hz 261,63Hz 523,25Hz 1046,50Hz 2093,00Hz 4186,01Hz Do♯ 34,65Hz 69,30Hz 138,59Hz 277,18Hz 554,37Hz 1108,73Hz 2217,46Hz 4434,92Hz Ré 36,71Hz 73,42Hz 146,83Hz 293,66Hz 587,33Hz 1174,66Hz 2349,32Hz 4698,64Hz Ré♯ 38,89Hz 77,78Hz 155,56Hz 311,13Hz 622,25Hz 1244,51Hz 2489,02Hz 4978,03Hz Mi 41,20Hz 82,41Hz 164,81Hz 329,63Hz 659,26Hz 1318,51Hz 2637,02Hz 5274,04Hz Fa 43,65Hz 87,31Hz 174,61Hz 349,23Hz 698,46Hz 1396,91Hz 2793,83Hz 5587,65Hz Fa♯ 46,25Hz 92,50Hz 185,00Hz 369,99Hz 739,99Hz 1479,98Hz 2959,96Hz 5919,91Hz Sol 49,00Hz 98,00Hz 196,00Hz 392,00Hz 783,99Hz 1567,98Hz 3135,96Hz 6271,93Hz Sol♯ 51,91Hz 103,83Hz 207,65Hz 415,30Hz 830,61Hz 1661,22Hz 3322,44Hz 6644,88Hz La 55,00Hz 110,00Hz 220,00Hz 440,00Hz 880,00Hz 1760,00Hz 3520,00Hz 7040,00Hz La♯ 58,27Hz 116,54Hz 233,08Hz 466,16Hz 932,33Hz 1864,66Hz 3729,31Hz 7458,62Hz Si 61,74Hz 123,47Hz 246,94Hz 493,88Hz 987,77Hz 1975,53Hz 3951,07Hz 7902,13Hz

14 Dans la gamme tempérée, on peut calculer la fréquence des notes en utilisant la formule suivante:
ou octave représente le numéro de l’octave n représente la position de la note dans l’octave entre DO et SI

15 Les autres gammes musicales
Nom de l’intervalle Rapport de fréquence Comma syntonique 81/80 = 1,01250 Quart de ton tempéré = 1,02930 Demi-ton chromatique naturel /24 = 1,04160 Demi-ton diatonique pythagoricien /243 = 1,05350 Demi-ton tempéré = 1,05946 Demi-ton diatonique naturel mineur /15 = 1,06666 Demi-ton chromatique pythagoricien /2048 = 1,06790 Demi-ton diatonique naturel majeur /25 = 1,08000 Trois quarts de ton tempéré = 1,09050 Ton mineur naturel /9 = 1,1111 Ton tempéré = 1,12246 Ton majeur naturel et ton pythagoricien /8 = 1,12500

16 Axiome du logarithme Les rapports entre les fréquences sont perçus comme des intervalles entre les sons correspondants. Exemple: LA3 = 440 Hz DO4# = 554,3 Hz FA4 = 698,46 Hz L’être humain perçoit le même intervalle entre de DO4# et le LA3 qu’entre le FA4 et le DO4# Or: DO4# - LA3 = 554,37 – = 114,37 FA4 - DO4# = 698,46 – 554,37 = 144,09 Mais: Le rapport des fréquences est le même = = 1,2599 L’oreille humaine fonctionne comme un logarithme naturel, elle transforme des divisions en différences: log ( ) = log (554,37) – log (440) log ( ) = log (698,46) – log (554,37) Une oreille exercée peut percevoir un rapport de fréquence de 1,03

17 La transposition Mélodie: suite de notes jouées successivement
Harmonie: notes jouées simultanément Les mélodies produites par les fréquences ( 440 ; 554,37 ) et ( 554,37 ; 698,46 ) sont perçues comme « identiques », on dit qu’elles sont transposées l’une de l’autre. Il y a le même intervalle entre deux notes consécutives, en effet: = = 1,2599 Une mélodie est déterminée par la nature des intervalles séparant les notes (rapport des fréquences) , et non pas les notes elles mêmes. Exemple de mélodie: ( LA , LA , LA , SI , DO# , SI , LA , DO # , SI , SI , LA) (440,440,440,493,554,493,440,554,493,493,440) (Au clair de la lune mon ami pierrot) Mélodie transposée: ( RE# , RE# , RE # , FA , SOL , FA , RE# , SOL , FA , FA , RE#) (622, 622, 622, 698, 783, 698, 622, 783, 698, 698, 622) = (440, 440, 440, 493, 554, 493, 440, 554, 493, 493, 440)

18 Rôles des clés [modifier] - Échelle des sons                                                                                                                                                                                                            Notation musicale Guido d’Arezzo: moine Italien 11ème siècle (Micrologus vers 1025) La portée: 5 lignes horizontales permettant de représenter la fréquence des notes en fonction de leur hauteur sur la portée. Les clés: elles permettent d’associer une note à chaque ligne de la portée. Les différentes clés: Pour la clé de sol 2e ligne : les notes placées sur la 2e ligne sont des sol 3. Pour la clé de fa 4e ligne : les notes placées sur la 4e ligne sont des fa 2. Pour la clé d'ut 3e ligne : les notes placées sur la 3e ligne sont des do 3 (ut = do).

19 Fonctionnement des instruments de musique
Un instrument de musique produit un son complexe émis par un système excitateur qui entre en vibration, cette vibration est ensuite amplifiée par un système résonateur qui génère une onde de pression dans l’air. On peut classer les instruments de musique en fonction du type d’excitateur utilisé: Les instruments à cordes: Une corde peut entrer en vibration de différentes manières, on parle de différents modes de vibration. Les deux extrémités de corde étant fixées, ses fréquences propres de vibration  seront fonction de la tension T qui s ’exerce sur elle:  = n: nombre entier (n = 1 (fondamentale), n = 2 (harmonique 2 ou octave), …) l: longueur de la corde et m: sa masse par unité de longueur

20 Une corde peut être mise en vibration de différentes manières:
Corde frappée (piano, …) mode transversal Corde pincée (clavecin, guitare, …) mode torsionnel et transversal Corde frottée (violon, …) mode torsionnel et transversal

21 Les instruments à vent:
L’excitateur peut être une languette libre ou battante appelée hanche (clarinette, hautbois, accordéon,…), ou une arête biseautée (flûte, …) mise en vibration par le passage de l’air dans l’instrument. Les instruments à percussion: L’excitateur est une membrane mise en vibration par un choc (batterie, cymbales, cloche, xylophone,…) Les fréquences propres de vibration d’une membrane circulaire de rayon R sont données par:  = B sont des valeurs liées aux fonctions cylindriques de Bessel Représente la tension superficielle de la membrane en N.m-2 Représente la masse volumique de la membrane en kg.m-3

22 La résonance Le phénomène de résonance se produit lorsqu’un système physique quelconque (mécanique, électrique, magnétique) devient le siège d’oscillations d’amplitudes de plus en plus importantes jusqu’à destruction du système dans certains cas. Exemples: La destruction du pont de Takoma (Etats Unis) le 7 novembre 1940. Ce jour là, le vent a mis en vibration le pont sur une de ses fréquences propres de vibration, la structure du pont est entrée en résonance avec un mode de torsion, jusqu’à la destruction de l’ouvrage. Le pont était long de 1822 m et large de 183 m. La vitesse du vent était relativement modéré, de L’ordre de 70 km.h-1 . En 1850, le pont d’Angers entra en résonance lors du passage d’une troupe de soldats qui défilaient au pas, il se détruisit entrainant la mort de 226 soldats. Un règlement militaire interdit de marcher au pas sur un pont. Le bris d’un verre de cristal par résonance. A n’en pas douter, la célèbre cantatrice Bianca Castafiore aurait eu la capacité de réaliser cet exploit.

23 Résonateur à pendule simple
Un pendule simple est constitué d’une masse fixée à l’extrémité d’un fil de longueur l. La fréquence propre  d’oscillation du pendule est donnée par la relation:  = g est l’accélération de la pesanteur = 9,8 m.s-2 On attache à un fil horizontal, un pendule massif de longueur l, c’est le pendule excitateur. Sur ce même fil sont attachés des pendules plus légers de différentes longueurs, ce sont les pendules résonateurs. Lorsqu’on met en oscillation le pendule excitateur, les pendules résonateurs entrent en oscillations. Le pendule dont la fréquence propre est accordée sur celle de l’excitateur entre en résonance et son amplitude de vibration est beaucoup plus grande que celle des autres pendules.

24 Résonateur de Helmholtz
Pour analyser les sons complexes, Hermann von Helmholtz, physicien Allemand, a imaginé des résonateurs sous forme de sphères percées de deux ouvertures. L’une des ouvertures est placée devant l’instrument de musique à analyser, l’autre dans l’oreille. Lorsque la sphère entre en résonance avec l’une des vibrations émises par l’instrument de musique, un son intense se fait entendre. En plaçant devant un instrument une série de résonateurs de fréquences propres différentes et en observant ceux qui entrent en résonance, on peut déterminer les fréquences des harmoniques présentes dans le son complexes. La fréquence propre de vibration du résonateur de Helmholtz est:  = c: est la vitesse du son dans l’air 340 m.s-1 S: est la section de l’ouverture V: est le volume de la sphère L: est la longueur de l’ouverture

25 Résonateur tuyau Un tuyau d’air à des fréquences propres de vibration données par la relation:  = c: vitesse de propagation du son dans l’air a = 2 si le tuyau est fermé/fermé ou ouvert/ouvert a = 4 si le tuyau est ouvert/fermé b = 1,2,3,4,5,… si le tuyau est fermé/fermé ou ouvert/ouvert b = 1,3,5,7,9,… si le tuyau est ouvert/fermé l est la longueur du tuyau

26 Résonateur parallélépipédique
Les fréquences propres de vibration d’un parallélépipède de cotés lx , ly , lz sont données par la relation: m,n,p = c est la vitesse du son dans l’air = 340 m.s-1 m,n et p sont des nombres entiers

27 La voix humaine Les sons humains sont produits par le passage de l’air expulsé des poumons au niveau des cordes vocales, qui jouent le rôle d’excitateur. Le son est amplifié par les différents résonateurs que sont: Le pharynx La bouche Les fosses nasales Les lèvres

28 Registre des instruments de musiques
Voix Voix d'homme : "Basse": de 70 à 350 Hz environ. "Baryton:" de 100 à 450 Hz environ. "Ténor": de 130 à 550 Hz environ. Voix de femme : "Contralto": de 175 à 800 Hz environ. "Soprano": de 250 à1100 Hz environ.

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