Cours 11 Le risque et l’incertitude Une introduction GIA 410 Louis Parent, ing., MBA Etienne Portelance, ing., PMP.

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1 Cours 11 Le risque et l’incertitude Une introduction GIA 410 Louis Parent, ing., MBA Etienne Portelance, ing., PMP

2 GIA 410- Cours 11 2 Contenu Méthodes de définition des sources de risque de projet Présentation classique d’une analyse de sensibilité Concepts élémentaires de probabilités Analyse de la distribution statistique de la PE Quand l’incertitude n’est reliée qu’à une seule variable Quand l’incertitude est reliée à des variables indépendantes Comparaison de projets de niveaux de risque différents Matériel optionnel: Quand l’incertitude est liée à des variables dépendantes: Covariance et coefficient de corrélation Référence: AEI, Sections 13.1 à 13.5

3 GIA 410- Cours 11 3 Évolution des préoccupations des entreprises sur la rentabilité de projet Avant 1960: Quel est le délai de récupération de l'investissement? 1960 – 1990: Est-ce que la valeur actualisée de ce projet est positive? Depuis 1990: Quelle est la valeur actualisée de ce projet avec un niveau de confiance de 95%? Dans le cas de très grands projets – comme par exemple le développement d'un avion: quelle est la probabilité qu'une PE négative excède la valeur des capitaux propres de l'entreprise? Depuis 2000: Quelle est la PE stratégique de ce projet? Quelle est la PE du projet, incluant la valeur des options stratégiques qui y sont enchâssées?

4 GIA 410- Cours 11 4 Les sources de risque d'un projet Prévisions de ventes incertaines Taille et taux de croissance du marché potentiel Prix, réactions des concurrents et parts de marché Technologie: Problèmes de performance du produit Innovations des concurrents et désuétude Prévisions de coûts incertaines Hypothèses de coûts irréalistes Coûts de l'investissement Dépassements budgétaires, imprévus Retards dans la construction Hypothèses financières: Taux d'intérêt Taux de change Etc..

5 GIA 410- Cours 11 5 Méthodes de définition du risque 1.Analyse de sensibilité 2.Analyse du point mort 3.Analyse de scénarios

6 GIA 410- Cours 11 6 Analyse de sensibilité Mesurer l'impact sur la PE du projet de changements dans une ou des variables du modèle financier. Exemples: Qu'arrive-t-il si les ventes ne sont que de 1 000 unités/année au lieu de 2 000? Qu'arrive-t-il si la croissance des ventes n'est que de 2% par année au lieu de 5%? Méthode de présentation utile et pratique: le graphique de sensibilité X : variation en % d'une variable d'entrée au modèle Y : PE(TRAM) La pente de la droite indique la sensibilité de la PE à un changement dans la variable d'entrée. Exemple:  Plus la pente est élevée, plus la PE est sensible à la variation des ventes

7 GIA 410- Cours 11 7 Analyse de sensibilité: Exemple 13.1 La société SMW désire obtenir un contrat de 5 ans pour la fabrication de coffres de transmission. Pour fabriquer ces pièces, elle doit investir 125 000$ dans une nouvelle machine à forger. Le volume annuel est estimé à 2 000 unités par année, à un prix unitaire de 50$. Les frais variables s'élèveraient à 15$/unité et les frais fixes à 10 000$ par année. Le taux de DPA est pour la machine est de 30% et sa valeur de récupération dans 5 ans serait de 32% du coût initial. Le TRAM est de 15% et le taux d'impôt de 40% Les incertitudes ou éléments de risque: Avant d'obtenir un contrat ferme, la société doit fournir des échantillons et investir dans l'équipement nécessaire. Le prix unitaire pourrait baisser en fonction de la qualité des échantillons La demande pourrait être plus basse que prévue, car le client ne garantit pas de quantités minimales. Si ses affaires baissaient, il pourrait décider de rapatrier la fabrication de ces pièces à l'interne. La société connaît moins bien ce genre d'équipement. Son estimation des coûts variables et fixes pourrait être erronée. La valeur de récupération dans 5 ans n'est qu'une estimation.

8 GIA 410- Cours 11 8 Analyse de sensibilité: Exemple 13.1 Le projet: la situation de référence ("Base case")

9 GIA 410- Cours 11 Analyse de sensibilité au prix de vente Si nous disposions d’une fonction donnant la PE en fonction du prix, nous pourrions analyser la sensibilité de la PE à une variation du prix. 9 a b PE = a + b (Prix) Par exemple: 40 460 $ = a + b (50$) a = ? b= ? 40 460$ a b

10 GIA 410- Cours 11 Développement d’une fonction de la PE pour le prix (Px) 10 PE = − 160 670$ + 4 023 (Px) a = − 160 670 b = 4 023

11 GIA 410- Cours 11 Développement d’une fonction de la PE pour le volume (Q) 11 PE = − 100 331$ + 70.4 (Q) a = − 100 331 b = 70.4

12 GIA 410- Cours 11 La PE en fonction de Q: directement avec le modèle financier 12

13 GIA 410- Cours 11 Développement d’une fonction de la PE pour le coût variable (V) 13 PE = 100 805$ - 4023 (V) a = 100 805 b = -4 023

14 GIA 410- Cours 11 Développement d’une fonction de la PE pour le coût fixe (F) 14 a = 60 573 b = -2.0113 PE = 60 573$ - 2.0113 (F)

15 GIA 410- Cours 11 Développement d’une fonction de la PE pour la fraction de récupération (s) 15 a = 25 528 b = 37 288 PE = 28 528$ + 37 288 (s)

16 GIA 410- Cours 11 16 Analyse de sensibilité: Exemple 13.1 (suite) Identifier les variables d'entrée fondamentales de ce projet: 1.Le prix unitaire 2.La demande 3.Le coût variable unitaire 4.Les coûts fixes 5.La valeur de récupération Faire varier chacune des variables sur une fourchette plausible, par exemple +/- 20%: À l’aide des fonctions, calculer la PE(TRAM) pour chacune de ces valeurs: Par exemple: PE = − 160 670$ + 4 023 (Px)

17 GIA 410- Cours 11 Le graphique standard de sensibilité 17

18 GIA 410- Cours 11 18 Analyse du point mort Approche générale: fonctionne avec toutes les hypothèses Par exemple les ventes: Jusqu'à quel point est-ce que les ventes peuvent baisser avant que le projet commence à ne plus être rentable? Fonctionne aussi avec le prix unitaire, le coût variable unitaire, le coût fixe… Solution par ordinateur avec le Solveur d'Excel : 1 425 unités/année, soit 28.74% de moins que le cas de référence

19 GIA 410- Cours 11 Analyse du point mort: Approche analytique En utilisant la fonction de la PE(Q) établie précédemment, on peut calculer le point- mort. C’est la quantité pour laquelle la PE = 0. 19 Q PM = 1425

20 GIA 410- Cours 11 Analyse du point-mort: Approche par la AE Si l’on désire seulement établir le point-mort, il est plus simple de procéder directement par la AE : 1.Établir la AE du projet: PE (A/P, TRAM,N) = 40 460 (A/P, 15%, 5) = 12 070$ 2.Établir la fonction de la AE : 20 3.Calculer le point-mort:

21 GIA 410- Cours 11 21 Analyse de scénarios Façon simple de tenir compte de l'interaction entre et/ou du changement simultané de plusieurs variables. La pratique commune: 3 scénarios Pire scénario (worst case) Meilleur scénario (best case) Scénario le plus probable (most likely case) Exemple 13.3 (fourchette de demande modifiée): Les questions qu'il faut maintenant adresser: Quelle est la probabilité que chaque scénario se concrétise? Quelle est la probabilité que la PE soit négative?

22 GIA 410- Cours 11 Analyse de scénarios sur le tableur TI-nSpire 22 Scénario le plus probable (ou de base) Meilleur scénario (ou optimiste) Pire scénario (ou pessimiste)

23 GIA 410- Cours 11 23 Analyse de la distribution statistique de la PE Les questions qu'il faut maintenant adresser: Quelle est la probabilité que chaque scénario se concrétise? Quelle est la probabilité que la PE soit négative?

24 GIA 410- Cours 11 24 Revue des concepts élémentaires de probabilités utiles à la décision d'investissement Distribution des probabilités Espérance et variance Distribution des probabilités d’une variable dépendant de variables indépendantes Distribution de probabilités d’une variable dépendant de deux variables dépendantes Plus de deux variables: en annexe.

25 GIA 410- Cours 11 25 Distribution de probabilités Une variable aléatoire X est un paramètre, ou variable, qui peut prendre plusieurs valeurs aux quelles sont associées des probabilités ou chances de réalisation. La distribution de probabilités f(x) est une fonction, discrète ou continue, qui donne la probabilité p i de chacune des valeurs x i que peut prendre X. La distribution cumulative de probabilités F(x) indique la probabilité que X atteigne une valeur inférieure ou égale à une valeur quelconque x. Exemple:

26 GIA 410- Cours 11 26 Valeur espérée et variance La valeur espérée (ou la moyenne) de X, E(X) ou , est une moyenne pondérée, selon les probabilités, des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X. La variance de X, VAR(X) ou   est une mesure-clé du risque car elle indique le niveau de dispersion ou d'écart des valeurs possibles de X par rapport à sa valeur espérée E(X). La variance est la moyenne pondérée, selon les probabilités, du carré des écarts entre x et E(X). L'écart-type  est la racine carrée de la variance. E(Q)E(Q)VAR(Q)  Q =316.23 E(Px)VAR(Px)  Px =1.73

27 GIA 410- Cours 11 27 Valeur espérée et variance sur TI-nspire Entrer les données sur une feuille de tableur/liste Calculer les statistiques

28 GIA 410- Cours 11 Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire Revenons à l’exemple de SMW et supposons que la seule variable aléatoire du modèle est le volume Q. À l’aide de la fonction PE(Q), nous pouvons facilement connaître la distribution statistique de la PE, connaissant celle de Q : 28 Soit une variable Y dont la valeur est donnée par une fonction linéaire d’une variable aléatoire X : L’espérance et l’écart-type de Y sont donnés par: Nous avons établi que E(Q) = 2000 et que  Q = 316.23 L’espérance et l’écart-type de la PE sont donc de:

29 GIA 410- Cours 11 0 40460 22261 3.5% -- Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire (suite) Si nous supposons que la PE suit une distribution normale, nous pouvons maintenant faire quelques calculs sur la probabilité que la PE prenne certaines valeurs: Quelle est la probabilité que la PE soit négative? Rép: 3.5% TI: normCdf(limite inférieure, limite supérieure, espérance, écart-type) 29 Quelle est la probabilité que la PE soit entre 20 000$ et 60 000$? Rép: 63.1% Quelle est la probabilité que la PE soit supérieure à 60 000$? Rép: 19.0%

30 GIA 410- Cours 11 Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire: Méthode de la AE Nous avons déjà établi que: 30 L’espérance et l’écart-type de la AE sont données par: Quelle est la probabilité que la AE soit négative? Rép: 3.5% TI: normCdf(limite inférieure, limite supérieure, espérance, écart-type) … soit la même réponse que celle obtenue par la PE

31 GIA 410- Cours 11 31 Probabilités conjointes de variables aléatoires indépendantes La probabilité conjointe P(x,y) est la probabilité que X et de Y prennent des valeurs précises en même temps. Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes (i.e. la valeur de l'une ne dépend pas de la valeur de l'autre), P(x,y) est donnée par le produit de P(x) et de P(y) : Reprenons l'exemple de SMW: Si le nombre d'unités vendues est indépendant du prix unitaire – une hypothèse souvent irréaliste dans la pratique – la probabilité que le nombre d'unités vendues soit de 1 500 et que le prix soit de 48$, est de 6%:

32 GIA 410- Cours 11 32 Quelle est la probabilité que ce projet ne soit pas rentable? Autrement dit, quelle est la probabilité que la PE de ce projet soit négative? Pour répondre à des questions de ce type, nous devons, encore ici, connaître la distribution statistique de la PE, mais cette fois en fonction de deux variables. Variables indépendantes: La distribution de la PE Exemple 13.6: Supposons donc que le volume et le prix peuvent varier en même temps et de façon indépendante de la manière suivante:

33 GIA 410- Cours 11 33 Variables indépendantes: Exemple 13.6 Pour connaître la distribution statistique de la PE, il nous faut d'abord formuler la PE en fonction des deux variables aléatoires Q et Px et d’une constante a ne dépendant ni de Q, ni de Px :

34 GIA 410- Cours 11 Expression de la PE en fonction de Q et Px directement avec le modèle financier 34

35 GIA 410- Cours 11 Variables indépendantes: Exemple 13.6 35 On peut toujours calculer l’espérance de la PE avec cette fonction: Pour connaître l’écart-type de la distribution de la PE nous devrons énumé- rer toutes les combinaisons possibles de Px et Q et calculer la PE à l’aide la fonction ci-haut. Cependant, comme il s’agit d’une fonction non-linéaire (i.e. comprenant le produit de Q et Px ) nous ne pouvons plus en calculer l’écart-type avec une formule simple comme auparavant.

36 GIA 410- Cours 11 36 Variables indépendantes: La distribution de la PE On peut conclure que si le prix et le volume sont des variables aléatoires indépendantes: La probabilité que la PE soit inférieure à 0 est de 6%. Un décideur qui voudrait avoir l'assurance à 95% que le projet serait rentable, devrait donc le refuser! La probabilité que la PE soit inférieure à la valeur de référence de 40 460$ est de 68%. Le cas de référence peut donc être qualifié de légèrement optimiste. L'espérance de la PE est de 40 460$ et son écart-type est de 23 352$:

37 GIA 410- Cours 11 Variables indépendantes: La distribution de la PE Si nous supposons que la PE suit une distribution normale, nous pouvons maintenant faire quelques calculs sur la probabilité que la PE prenne certaines valeurs. Quelle est la probabilité que la PE soit négative? Rép: 4.2% TI: normCdf(limite inférieure, limite supérieure, espérance, écart-type) 37 Quelle est la PE avec un niveau de confiance de 99%? Rép: - 13 865$ TI: invnorm(probabilité, espérance, écart- type) -13 865 40460 23352 1.0%

38 GIA 410- Cours 11 38 Variables dépendantes Il arrive très souvent en pratique que la valeur d'une variable aléatoire dépend de la valeur d'une autre variable aléatoire. Par exemple le volume est presque toujours influencé par le prix. Dans l'exemple 13.5, la société pourrait disposer des données suivantes qui indiquent que le volume est clairement, même si imparfaitement, relié au prix. Notation des probabilités conditionnelles: P (Q=1500|Px=48) = 10% P (Q=2000|Px=50) = 64% P (Q=2500|Px=53) = 10% Les probabilités conjointes sont alors calculés comme ceci:

39 GIA 410- Cours 11 39 Variables dépendantes: Distribution de la PE Pour connaître la distribution de la PE résultant de chaque combinaison possible de Px et Q, nous devons, comme auparavant calculer la probabilité conjointe de chaque combinaison. Par exemple: P (Q = 2000,Px = 50) = P (Px = 50) P (Q = 2000|Px = 50) = 0.5 x 0.64 = 0.32 Nous pouvons aussi calculer l'espérance et l'écart-type de Px et Q, et constater que l'introduction d'une probabilité conditionnelle à Px a changé l'espérance et l'écart-type de Q.

40 GIA 410- Cours 11 40 Variables dépendantes: Distribution de la PE À partir des probabilités conjointes, on peut, comme précédemment, calculer la distribution de la PE : L'espérance de la PE est de 44 202$ et son écart-type est de 22 207$. L'introduction de la relation entre le prix et le volume a donc augmenté l'espérance de la PE et diminué son écart-type, ce qui est favorable au projet. La probabilité que la PE soit négative n'est plus que de 3%. Un décideur qui voudrait avoir l'assurance à 95% que le projet serait rentable, devrait donc maintenant l'accepter.

41 GIA 410- Cours 11 Variables dépendantes: Distribution de la PE 41 Si on est prêt à accepter que la PE suit une distribution de probabilité normale, on peut répondre à différentes questions: Quelle est la probabilité que la PE soit négative? Rép: 2.3% TI: normCdf(limite inférieure, limite supérieure, espérance, écart-type) Quelle est la probabilité que la PE soit entre 20 000$ et 60 000$? Rép: 62.4% Quelle est la PE avec un niveau de confiance de 95%? Rép: 7 674$

42 GIA 410- Cours 11 Comparaisons d’options indépendantes et de niveaux de risque différents 42

43 GIA 410- Cours 11 43 Comparaison d'options indépendantes et de niveau de risque différent: Exemple13.8 L'entreprise Technologies Vertes a conçu un appareil permettant à un véhicule de passer de l'essence au gaz naturel. Elle a développé des prototypes pour 4 segments de marché différents: automobile compacte (modèle 1), automobile standard (modèle 2), VUS (modèle 3) et camion (modèle 4). N'étant pas convaincue de la demande du public, elle aimerait commencer par commercialiser l'appareil dans un seul segment. L'équipe du marketing de Technologies Vertes a compilé la distribution potentielle de la PE de chacun des modèles comme s'il était commercialisé indépendamment l'un de l'autre: Recommandez lequel devrait être choisi comme produit de lancement.

44 GIA 410- Cours 11 44 Comparaison d'options indépendantes Étape 1: Calcul de la PE espérée et de l'écart-type de la PE chaque option Exemple de calcul pour le modèle 1: h1=mean('pe,'p1) h2=mean('pe,'p2) h3=mean('pe,'p3) h4=mean('pe,'p4) i1=stdevpop('pe,'p1) i2=stdevpop('pe,'p2) i3=stdevpop('pe,'p3) i4=stdevpop('pe,'p4)

45 GIA 410- Cours 11 45 Comparaison d'options indépendantes (suite) Étape 2: Élimination des options inefficaces du point de vue risque-rendement Le défenseur initial est l'option à la plus grande PE: Modèle 2 Éliminer toutes les options ayant un écart-type plus grand que celui du Modèle 2.  élimination des Modèles 3 et 4: Offrent la même PE ou moins, mais avec plus de risque.  Le Modèle 1 est l’aspirant

46 GIA 410- Cours 11 46 Comparaison d'options indépendantes (suite) Étape 3: Évaluation des options restantes Calculer la probabilité de tous les cas où le défenseur (Modèle 2) a une PE inférieure à celle de l’aspirant (Modèle 1):  La probabilité que M1 ait une PE supérieure à M2 est inférieure à 50%, ce qui devrait inciter un décideur rationnel à choisir M2  Cependant, la probabilité que le bon choix soit M1 est quand même relativement élevé à 45%. Si l’investissement initial de M2 était beaucoup plus élevé que celui de M1, au point de rendre le coût d'un échec du lancement de M2 prohibitif pour la société, un décideur qui a une aversion au risque pourrait préférer M1.

47 GIA 410- Cours 11 47 Comparaison d'options indépendantes (suite) Étape 3: Raccourci par la Loi Normale On peut s'éviter la tâche d'avoir à énumérer tous les cas où la PE de M2 est inférieure à celle de M1. Si on suppose que la distribution de PE M2 − PE M1 suit une distribution normale et en calculant la probabilité que PE M2 − PE M1 < 0.

48 GIA 410- Cours 11 48 La tolérance pour le risque dépend de la taille relative de l'enjeu Lorsque l'enjeu d'un pari risque d'avoir un effet significativement défavorable sur leur niveau richesse, la plupart des gens préfèrent éviter le risque. Il en va de même pour les entreprises. Un projet qui aurait un risque, même relativement faible, de 5%, de résulter en une PE négative de 50 M$ et de 95% d'avoir une PE positive de 50 M$ serait probablement rejeté par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 M$. Le même projet serait probablement accepté par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 G$. Une branche de la finance, la théorie de l'utilité de la richesse – et de l'aversion au risque – s'intéresse à ce sujet fondamental pour la modélisation de la valeur de produits financiers, notamment celle des produits dérivés.

49 GIA 410- Cours 11 49 Comparaison d’options indépendantes (suite) Taux de rendement sans risque Courbe d'indifférence du marché financier (ou fonction de compromis entre le risque et le rendement) Indice de risque ( , ou autre) TRAM Prime de risque LA façon correcte et sans équivoque de départager les options 1 et 2 serait de calculer leur PE en fonction d'un TRA M ajusté pour le risque. Un sujet qui serait abordé longuement dans un cours de Finance de niveau intermédiaire

50 GIA 410- Cours 11 Annexe: Plusieurs variables dépendantes 50

51 GIA 410- Cours 11 51 Un concept-clé en analyse de risque: Le coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation (  xy ou r xy ) est une mesure du degré de dépendance entre deux variables aléatoires X et Y. Le coefficient de corrélation peut prendre des valeurs entre -1 et + 1.  xy = –1  variables parfaitement, mais inversement, corrélées  xy = +1  variables parfaitement, et positivement, corrélées  xy = 0  variables non corrélées, ou indépendantes  xy = +1  xy = -1  xy = 0  xy = 0.7 Mathématiquement: Note: La covariance entre X et Y est aussi dénotée  XY.

52 GIA 410- Cours 11 52 Calcul du coefficient de corrélation: exemple Dans l'exemple de SMW, le coefficient de corrélation entre le volume et le prix est de -0.4061:

53 GIA 410- Cours 11 53 Estimation du coefficient de corrélation avec des données historiques En pratique le coefficient de corrélation provient rarement d'un calcul à partir des probabilités conjointes, mais de l'analyse de données historiques. Par exemple, les données historiques de vente aurait pu permettre au personnel du marketing de SMW de déterminer empiriquement que le coefficient de corrélation entre le prix et le volume de vente de produits comparables est de -0.40:  xy = -0.40 Données historiques

54 GIA 410- Cours 11 54 Plusieurs variables aléatoires dépendantes ou non Il peut rapidement devenir très fastidieux d'énumérer chaque cas possible des valeurs de plusieurs variables aléatoires et d'en calculer les probabilités conjointes. De plus, la recherche de l’espérance et de l’écart-type d'une distribution de PE liée à plusieurs variables d'entrée dépendantes peut rapidement devenir assez difficile à calculer, surtout lorsque la fonction de PE comprend une combinaison non linéaire de variables comme le produit du volume et du prix, comme dans l’exemple précédent. Pour étudier la distribution statistique de la PE, les praticiens préfèrent alors procéder par une simulation Monte Carlo, ce qui aussi l'avantage de ne pas exiger d'hypothèse préalable sur la distribution statistique de la PE… Traitons maintenant la valeur de récupération ( s ) comme une troisième variable aléatoire indépendante de Q et Px …

55 GIA 410- Cours 11 Plusieurs variables aléatoires: Un exemple 55 La fonction de la PE en fonction de P, V, S et d’une constante a, ne dépendant ni de P, ni de V, ni de S : Nous sommes maintenant prêt à effectuer une expérience…

56 GIA 410- Cours 11 56 Qu'est-ce qu'une simulation Monte Carlo? Prix ( Px ) Volume ( Q ) 48$ 50$ 53$ 30% 50% 20% Pxp(Px) 1 500 2 000 2 500 18% 52% 30% Qp(Q)p(Q) Une simulation Monte Carlo est une expérience qui vise à déterminer la distribution statistique d'une variable dont les valeurs dépendent de la valeur de variables aléatoires.  = -0.40 Chaque urne contient des boules dont la distribution des couleurs correspond aux probabilités d'observer une valeur donnée de la variable aléatoire. L'expérience consisterait ici à tirer une boule de chaque urne des milliers de fois, calculer la PE pour chaque couple p, v puis compter la distribution statistique des PE ainsi obtenues. Cependant il ne suffit pas de tirer des boules de chaque urne de manière indépendante. La simulation doit générer des nombres aléatoires corrélés selon le coefficient de corrélation désiré. E(Px) =50$  Px = 1.73$ E(Q) =2 060  Q = 341

57 GIA 410- Cours 11 57 Exemple de simulation Monte Carlo. Muni du puissant outil de travail qu'est la TI-nspire, nous allons construire une simulation. Ce qui nous permettra de poser l'hypothèse plus réaliste que le volume peut prendre davantage que 3 valeurs. Supposons donc que la distribution des valeurs du volume est bien représentée par une distribution normale : E(Prix) =50$  Prix = 1.73$ E(Vol) =2 060  Vol = 341 Prix Volume  = -0.40 f(Px)f(Q) 2 0603 080 1040 +3  -3  Pour rendre le problème encore plus réaliste, nous supposerons de plus que la fraction de récupération s, en pourcentage de la valeur originale, peut prendre une valeur entre 0% (0$) et 40% (50 000$), selon une distribution triangulaire dont la valeur la plus probable est de 32% (40 000$): P(S  32%) = 20% P(S  32%) = 80% 32% 40%0% f(s) 1 acb 50$53$ 48$ 30% 50% 20% Valeur de récupération (s)

58 GIA 410- Cours 11 58 Simulation sur nspire Entrer les paramètres des distributions: Note: Comment générer des nombres aléatoires selon une distribution triangulaire 32%40%0% f(S) 1 acb Générer des nombres aléatoires U selon une distribution uniforme sur l'intervalle (0,1) Transformer les nombres U en nombres X distribués triangulairement de la manière suivante:

59 GIA 410- Cours 11 59 Simulation sur nspire Effectuer la simulation A.Générer 1 000 cas de prix distribués uniformémen t =rand (n)*100 B.Transformer cette distribution en distribution multinomiale: p:=iffn(a[]≤cfprix[1],prix[1], iffn(a[]≤cfprix[2],prix[2],prix[3])) C.Normaliser p: zp:=(p-mp)/sp D.Générer 1 000 cas de volume distribués normalement v:=randnorm(mv,sv,n) E.Normaliser v: zv:=(v-mv)/sv F.Forcer la corrélation entre p et de v: volcor:=zp*r+zv*sqrt((1-r^2))*sv+mv G.Générer 1 000 nombres aléatoires distribués uniformément entre 0 et 1 = rand(n) H.Transformer ces nombres en valeurs de récupération distribuées triangulairement s:=iffn(g[]≤'fc,'a+√(g[]*('b-'a)*('c-'a)), 'b-√((1-g[])*('b-'a)*('b-'c))) I.Calculer la PE de chacun des 1 000 cas. Avec l'équation de la page 38: pe:=2.0113*volcor*p-30.1694*volcor+37288*s-112263

60 GIA 410- Cours 11 60 Les résultats de la simulation Histogramme de la PE Corrélation prix- volume Analyse de la distribution de la PE La PE espérée est de 42 507$ et son écart-type de 22 431$. Au cours de la simulation la PE a variée entre -33 508$ et 114 007$. Il y a une probabilité de 50% que la PE soit supérieure a 42 764$ (la médiane). La probabilité que la PE soit négative est de 3.5%. On peut donc conclure que le projet est rentable avec un niveau de confiance d'environ 1-3.5% = 96.5% La PE minimale avec un niveau de confiance de 95% est de 5 529$.  Accepter le projet