Comparaison de plusieurs moyennes observées

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1 Comparaison de plusieurs moyennes observées
= Analyse de Variance (ANOVA)

2 Position du problème : On a trois nouveaux traitements A, B et C
contre l’hypertension artérielle. On désire savoir s’ils entraînent la même baisse de la tension artérielle systolique et si c‘est le cas lequel est le meilleur.

3 Méthode : Pour répondre au problème posé, on va administrer par tirage au sort, les trois traitements à trois groupes de patients +++. Problème : comment analyser les résultats ?

4 Hypothèses de départ : Ho = les moyennes des pressions artérielles dans les 3 groupes ne diffèrent pas Ho = µ1 = µ2 = µ3 H1 = les moyennes des pressions artérielles diffèrent : au moins deux des trois moyennes diffèrent

5 Principe de l’analyse de la Variance
On peut comparer les moyennes observées dans nos trois groupes par un test Σ ou un test t : A x B, A x C, B x C mais on augmente notre risque  +++ rappel : En effet, pour chaque test, on a un risque  = 0,05, donc la probabilité de retenir H0 si H0 est vraie est égale à 0,95 et ceci pour chaque comparaison

6 la probabilité que nos 3 tests conduisent à une décision correcte va être alors = 0,95 3 = 0,85
il y a donc 15% de chances que l’un au moins des 3 tests détecte une différence statistique qui n’existe pas

7 Principe de l ’analyse de la Variance :
On va essayer d ’éviter d ’augmenter le risque  en scindant la variance totale observée sur l’ensemble des mesures, en variance inter- groupe et variance intra - groupe

8 Variabilité intra-groupes mesurée par la variance intra-groupe
résiduelle variance« due au hasard » Variabilité inter-groupes mesurée par la variance inter-groupe

9 Principe du test d ’analyse de variance :
La comparaison des moyennes de C ( avec C > 2) séries de mesures d ’une quantité X ( ex la Tension artérielle) est basée sur le rapport F : test de Fisher - Snedecor Variance " inter - groupes" F = Variance " intra - groupes" Conditions d’application du test d ’analyse de variance : Les distributions des populations d’où proviennent les échantillons doivent être normales et de même variance

10 Total général des carrés = x2 = 130 500
Calcul de F : Effectif total N =  ni = 15 Total général de l’ensemble des valeurs TG = Ti = 1390 Total général des carrés = x2 =

11 å ( ) 1 - Calcul de la variance inter-groupes Somme des carrés des
écarts (SCE) V = 1 Nombre de degrés de libertés SCE (avec C = nombre de groupes ) V = - 1 C 1 avec 2 2 å ( Ti ) TG - SCE N = ni

12 å å ( ) Ti = x - ni 2 - Calcul de la variance intra-groupes SCE Somme
des carrés des écarts (SCE) V = 2 Nombre de degrés de libertés SCE avec V = 2 N - C ( å å Ti 2 ) = x 2 - SCE ni

13 3 - Déduction : variance totale
2 å SCE T 2 G - = x V = - N T N 1

14 Tableau de l ’analyse de variance
Somme des carrés Nbre de degrés Origine Variance des écarts (2) de libertés (3) 2 2 å Ti ( ) Inter -groupes TG - - N C 1 V1 = (2)/(3) ni Intra-groupes ( å å ) Ti 2 x 2 - N - C V2 = (2)/(3) ni (ou résiduelle) 2 å T G x 2 - N - 1 Totale N Variance " inter - groupes" V1 F = = V2 Variance " intra - groupes"

15 å å ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T 1390 = = 128 806 N 15 x = 100 + 105 + 95 +
Exemple numérique calcul ( ) 2 T 2 1390 = = G 128 806 N 15 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 å ( ) 2 x 2 = 100 + 105 + 95 + ... + 95 = å T 2 (500) 2 (415) 2 (475) 2 = + + = i 129 570 n 5 5 5 i déduction des ddl : C - 1 = = 2 N - C = = 12

16 å å å å ( ) ( ) Ti - ni x x Ti TG - N C - 1 = 2 381,6 ni N - C = 12
Somme des carrés Nbre de degrés Origine Variance des écarts (2) de libertés (3) 2 2 å Ti ( ) TG - Inter -groupes N C - 1 = 2 381,6 ni = 763 å å ( 2 ) Intra-groupes x 2 - Ti ni (ou résiduelle) N - C = 12 77,5 = 930 2 å T G Totale x - 2 N - 1 = 14 N = 1693 381,6 Variance " inter - groupes" F = 4,92 = = Variance " intra - groupes" 77,5

17 Statistique : On lit dans la table des F (Table de Fisher), pour un risque  déterminé, la valeur correspondante. Cette valeur dépend du nombre de degrés de libertés du numérateur et du dénominateur du test F 1ère table pour  = 0,05 F 2,12 = 3,89 2ème table pour  = 0,01 F 2,12 = 6,93 Conclusion : Puisque F vaut 4,92, on peut en conclure avec un risque  , inférieur à 5 % que 2 moyennes au moins différent

18 Cependant après avoir rejeté l ’hypothèse d ’égalité des moyennes des traitements (rejet Ho) on doit poursuivre l ’analyse pour rechercher 2 à 2 les moyennes qui diffèrent (A x B, A x C, B x C) Plusieurs tests sont disponibles : test de Newman-Keuls test de Bonferroni test de Dunnett test t dit « protégé »

19 exemple du test t dit « protégé » :
on a rejeté l ’hypothèse Ho, on peut poursuivre l ’analyse en comparant les moyennes de 3 groupes à 2, par un t test dit « protégé », qui utilise comme variance commune, la variance résiduelle et qui a comme ddl, le ddl de la résiduelle m - m 100 - 83 t = A B = A - B V V 77 , 5 77 , 5 2 + 2 + n n 5 5 A B

20 les t sont comparés à t = 5% avec ddl = N-C
on regarde alors quelle(s) comparaison(s) à 2 sont significatives