Relation de conséquence logique Nous avons vu une relation entre formules: l’équivalence tautologique (  ) Nous allons définir une nouvelle relation,

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1 Relation de conséquence logique Nous avons vu une relation entre formules: l’équivalence tautologique (  ) Nous allons définir une nouvelle relation, cette fois entre un ensemble de formules et une formule, nous la noterons «  » Si A 1, A 2, …, A n et B sont des formules, on dira que B est conséquence logique de A 1, A 2, …, A n : {A 1, A 2, …, A n }  B si et seulement si toute assignation de valeurs de vérité aux variables figurant dans A 1, A 2, …, A n et B qui rend vraies toutes les A 1, A 2, …, A n rend également vraie B.

2 Remarque Cette définition est essentielle: jusqu’à présent, nous n’avions aucun moyen de déduire une formule d’autres formules, or la logique est fondamentalement une science de l’inférence… Lewis Carroll a raconté dans Ce que se dirent Achille et la tortue les inconvénients qu’il y aurait à rater ce pas.

3 suite Il s’agit des personnages d’Achille et de la tortue, familiers à ceux qui connaissent les paradoxes de Zénon (lancé à sa poursuite, Achille ne rattrapera jamais la tortue… car il y a un moment où il est à la moitié de la distance qui le séparait initialement d’elle, puis un moment où il est au quart, un moment où il est au huitième et ainsi de suite: une telle suite est infinie et aucun de ses termes n’est égal à 0 – même si « elle tend vers 0 » -)

4 suite Dans cette variante… Achille a quand même rattrapé la tortue et il est installé sur son dos! La tortue se met en devoir de lui raconter « une course que la plupart des gens s’imaginent pouvoir terminer en deux ou trois pas, et qui, en réalité, se compose d’un nombre infini de distances, dont chacune est supérieure à la précédente… »

5 suite Soit trois propositions: –A: deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles, –B: les deux côtés de ce triangle sont égaux à un même troisième, –Z: les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux

6 suite Tout lecteur, dit la tortue, admettra que Z découle logiquement de A et B, Sans aucun doute répond Achille Mais dit la tortue, s’il s’en trouve un qui n’est pas convaincu… comment le contraindre à accepter Z à partir de A et B? En lui demandant d’admettre, dit Achille, la proposition C suivante: –C: si A et B sont vraies, Z est nécessairement vraies (qu’on pourrait noter ((A  B)  Z))

7 suite Ecrivons ces quatre phrases à la suite, pas de doute, dit Achille que Z se déduise nécessairement de A, B, C! Pourquoi nécessairement? dit la tortue Là encore, comment contraindre un lecteur récalcitrant à accepter cette déduction? Eh bien, en lui demandant d’admettre que si A, B et C sont vraies, alors nécessairement Z est vraie, ce qu’on pourrait noter (((A  (B  C))  Z), et qui serait… une nouvelle proposition, D! Comme on le comprend, la discussion entre Achille et la tortue est sans fin…

8 suite La solution de ce « paradoxe » réside dans le fait que quelles que soient les formules du langage-objet que l’on construit, aucune ne permet de «déduire», c’est-à-dire de détacher une conclusion d’un ensemble de prémisses, Il est nécessaire pour cela de sortir du langage-objet en définissant la relation de déduction (conséquence logique) entre formules.

9 Règles d’inférence Il est facile de démontrer la validité de certaines relations de conséquence logique particulières… on les appellera règles d’inférence.

10 Règle du modus-ponens On a: {P, (P  Q)}  Q C’est la règle du modus ponens Elle justifie entièrement a posteriori le choix de la table de vérité pour  –En effet: à l’aide de (P  Q), on ne peut déduire quelque chose (en l’occurrence Q) que si P est vrai, –Lorsque P est faux, on ne peut rien déduire, Q peut être aussi bien vrai que faux.

11 Remarque On démontrera la théorème suivant: {A}  B si et seulement si (A  B) est une tautologie Plus généralement: {A 1, A 2, …, A n }  B si et seulement si (A 1  ( A 2  ( …( A n  B)…))) est une tautologie

12 Autres règles Modus tollens: {(P  Q), ¬Q}  ¬P Syllogisme: {(P  Q), (Q  R)}  (P  R) Réduction à l’absurde: {(P  (Q  ¬Q))}  ¬P {(¬P  P)}  P {(P  ¬P)}  Q : d’une contradiction… on peut déduire n’importe quoi!

13 Interprétation ensembliste Boole est parti directement dans l’idée que ses variables et constantes représentaient des classes, Nous avons vu qu’il est possible d’élaborer un calcul formel (« booléen ») qui se passe de toute interprétation, Donc il est possible maintenant de revenir à l’interprétation de ce système en termes de classes

14 ensembles Mais entre temps… le concept de classe a été remplacé par celui, plus élaboré, d’ensemble (Cantor, 1880), En théorie des ensembles, la notion primitive fondamentale est celle d’appartenance, « x appartient à A » ou « x est élément de A » se note:

15 Axiomes ensemblistes Il existe des axiomes pour « réguler » cette notion d’appartenance (nous n’entrons pas dans le détail ici), notamment: –Axiome d’extensionalité: pour tous ensembles A et B, si pour tout élément x, (x  A  x  B), alors A = B Autrement dit: un ensemble est complètement caractérisé par ses éléments.

16 Axiome de sélection Soit E un ensemble et soit P une propriété alors il existe un ensemble A qui est constitué des éléments de E qui vérifient la propriété P. On note: A = {x  E; P(x)}

17 inclusion A  B si et seulement si pour tout x, (x  A  x  B ) On dit que A est inclus dans B ou que A est une partie de B (ou un sous- ensemble de B) L’axiome dit « de l’ensemble des parties » dit que pour tout ensemble E, il existe un ensemble, noté  (E), dont les éléments sont les parties de E.

18 Union et intersection Ceci nous permet de définir de nouveaux ensembles à partir d’ensembles donnés A et B dont on supposera qu’ils sont inclus dans un même ensemble (univers) E. A  B = {x  E; (x  A  x  B)} A  B = {x  E; (x  A  x  B)} On définit également le complémentaire dans E: E – A = {x  E; (x  A)}

19 suite Nous trouvons ainsi une nouvelle interprétation du calcul booléen (on vérifiera en effet aisément que tous les axiomes d’une algèbre de Boole sont valides) Elle est particulièrement commode en raison de la représentation classique des ensembles au moyen de diagrammes de Venn

20 Diagrammes de Venn A tout ensemble A, on associe une représentation plane en forme de contenu d’une figure fermée quelconque: A

21 Union et intersection A B ABAB A B ABAB

22 complémentaire A E - A E

23 exercices Vérifier au moyen de diagrammes de Venn: –Les lois d’absorption –Les lois de distributivité –Les lois de De Morgan

24 Ensemble vide Évidemment, l’inconvénient des diagrammes de Venn, c’est qu’on ne peut pas représenter l’ensemble vide! Or d’après l’axiome de sélection, il existe un ensemble vide, définissable par exemple par: {x  E; x  E} Et d’après l’axiome d’extensionalité… il est unique! On peut donc parler de l’ensemble vide, noté 