Analyse des Correspondances Multiples Extension de l’A.F.C. permettant de décrire des tableaux binaires ou tableaux disjonctifs complets (c-a-d représentant.

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2 Analyse des Correspondances Multiples Extension de l’A.F.C. permettant de décrire des tableaux binaires ou tableaux disjonctifs complets (c-a-d représentant des données qualitatives). L’A.C.M. est une A.F.C. appliquée non pas à un tableau de contingence mais à un tableau de Burt.

3 Exemples de questions Dans quelle région habitez-vous ? 1 - Paris 2 - Banlieue 3 - Province Etes-vous du sexe ? 1 - Masculin 2 - Féminin Quel âge avez-vous ? 1 - Moins de 18 ans 2 - Entre 18 et 34 ans 3 - Entre 35 et 54 ans 4 - 55 ans ou plus Découpage en classes d’une variable quanti. Au total :s = 3 questions comprenant p = 3+2+4=9 modalités concernant n individus

4 Tableau disjonctif complet 010010001100100010010001100100 01101001100110100110 0001100000100100010000011000001001000100 p = 9 Z (n,p) = n individus 224211313122112224211313122112 s = 3 R(n,s)R(n,s) = n individus Codage condensé Tableau disjonctif complet Remarque : dans ce tableau, les sommes des lignes et des colonnes n’ont pas de sens… Codage binaire

5 010010001100100221010010001100100221 011010011032011010011032 0001310003001030100301003121100013100030010301003010031211 p = 9 Z(n,p)Z(n,p) = n individus   Codage condensé Remarque : dans le tableau « Codage condensé », les sommes des lignes et des colonnes n’ont pas de sens… Tableau disjonctif complet

6 010010001100100221010010001100100221 011010011032011010011032 0001310003001030100301003121100013100030010301003010031211 p = 9 Z(n,p)Z(n,p) = n individus   Codage condensé Remarque : dans le tableau « Codage condensé », les sommes des lignes et des colonnes n’ont pas de sens… Tableau disjonctif complet

7 B(p,p)B(p,p) = Z’Z = Tableau de Burt A partir du tableau disjonctif complet Z, on construit le tableau symétrique B d’ordre (p,p) qui rassemble les croisements deux à deux de toutes les variables. B est une juxtaposition de tableaux de contingence

8 Principes de l’A.C.M. 001010001001010001 Tableau disjonctif complet Nuage des individus Nuage des modalités

9 Exemple d’A.C.M. Exemple d’A.C.M. (Tenenhaus) TaillePoidsVélocitéIntelligenceAffectionAgressivité Fonction - + ++ - + Co Ch Ut Beauceron Basset Berger Allemand Boxer Bull-Dog Bull-Mastiff Caniche Chihuahua Cocker Colley Dalmatien Doberman Dogue Allemand Epagneul Breton Epagneul Français Fox-Hound Fox-Terrier Grand Bleu Labrador Lévrier Mastiff Pékinois Pointer Saint-Bernard Setter Teckel Terre-Neuve

10 TABLEAU DE BURT | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ Tl- | 7 0 0 | Tl+ | 0 5 0 | Tl++| 0 0 15 | ----+----------------+----------------+ Pd- | 7 1 0 | 8 0 0 | Pd+ | 0 4 10 | 0 14 0 | Pd++| 0 0 5 | 0 0 5 | ----+----------------+----------------+----------------+ Vl- | 5 1 4 | 6 0 4 | 10 0 0 | Vl+ | 2 4 2 | 2 6 0 | 0 8 0 | Vl++| 0 0 9 | 0 8 1 | 0 0 9 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+ In- | 3 0 5 | 3 3 2 | 4 1 3 | 8 0 0 | In+ | 3 4 6 | 4 7 2 | 5 5 3 | 0 13 0 | In++| 1 1 4 | 1 4 1 | 1 2 3 | 0 0 6 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+ Aff-| 1 0 12 | 1 7 5 | 5 2 6 | 6 4 3 | 13 0 | Aff+| 6 5 3 | 7 7 0 | 5 6 3 | 2 9 3 | 0 14 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ Agr-| 5 3 6 | 5 8 1 | 5 5 4 | 3 8 3 | 5 9 | 14 0 | Agr+| 2 2 9 | 3 6 4 | 5 3 5 | 5 5 3 | 8 5 | 0 13 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Nombre de « grands chiens » ?

11 TABLEAU DE BURT | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ Tl- | 7 0 0 | Tl+ | 0 5 0 | Tl++| 0 0 15 | ----+----------------+----------------+ Pd- | 7 1 0 | 8 0 0 | Pd+ | 0 4 10 | 0 14 0 | Pd++| 0 0 5 | 0 0 5 | ----+----------------+----------------+----------------+ Vl- | 5 1 4 | 6 0 4 | 10 0 0 | Vl+ | 2 4 2 | 2 6 0 | 0 8 0 | Vl++| 0 0 9 | 0 8 1 | 0 0 9 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+ In- | 3 0 5 | 3 3 2 | 4 1 3 | 8 0 0 | In+ | 3 4 6 | 4 7 2 | 5 5 3 | 0 13 0 | In++| 1 1 4 | 1 4 1 | 1 2 3 | 0 0 6 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+ Aff-| 1 0 12 | 1 7 5 | 5 2 6 | 6 4 3 | 13 0 | Aff+| 6 5 3 | 7 7 0 | 5 6 3 | 2 9 3 | 0 14 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ Agr-| 5 3 6 | 5 8 1 | 5 5 4 | 3 8 3 | 5 9 | 14 0 | Agr+| 2 2 9 | 3 6 4 | 5 3 5 | 5 5 3 | 8 5 | 0 13 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Nombre de « grands chiens » ? Nombre de « grands chiens intelligents » ?

12 TABLEAU DE BURT | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ Tl- | 7 0 0 | Tl+ | 0 5 0 | Tl++| 0 0 15 | ----+----------------+----------------+ Pd- | 7 1 0 | 8 0 0 | Pd+ | 0 4 10 | 0 14 0 | Pd++| 0 0 5 | 0 0 5 | ----+----------------+----------------+----------------+ Vl- | 5 1 4 | 6 0 4 | 10 0 0 | Vl+ | 2 4 2 | 2 6 0 | 0 8 0 | Vl++| 0 0 9 | 0 8 1 | 0 0 9 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+ In- | 3 0 5 | 3 3 2 | 4 1 3 | 8 0 0 | In+ | 3 4 6 | 4 7 2 | 5 5 3 | 0 13 0 | In++| 1 1 4 | 1 4 1 | 1 2 3 | 0 0 6 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+ Aff-| 1 0 12 | 1 7 5 | 5 2 6 | 6 4 3 | 13 0 | Aff+| 6 5 3 | 7 7 0 | 5 6 3 | 2 9 3 | 0 14 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ Agr-| 5 3 6 | 5 8 1 | 5 5 4 | 3 8 3 | 5 9 | 14 0 | Agr+| 2 2 9 | 3 6 4 | 5 3 5 | 5 5 3 | 8 5 | 0 13 | ----+----------------+----------------+----------------+----------------+-----------+-----------+ | Tl- Tl+ Tl++ | Pd- Pd+ Pd++ | Vl- Vl+ Vl++ | In- In+ In++ | Aff- Aff+ | Agr- Agr+ | Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Nombre de « grands chiens » ? Nombre de « grands chiens intelligents » ?

13 Exemple d’A.C.M. Valeurs propres et axes factoriels Nombre maximum de valeurs propres = p-s (nb de modalités - nb de questions) Somme des valeurs propres (Inertie totale) = (p/s) - 1 16 - 6 = 10 (16 / 6) - 1 = 1.6667

14 Exemple d’A.C.M. Valeurs propres et axes factoriels VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : SOMME DES VALEURS PROPRES.... 1.6667 HISTOGRAMME DES 10 PREMIERES VALEURS PROPRES +--------+------------+----------+----------+ | NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT.| | | PROPRE | | CUMULE | +--------+------------+----------+----------+ | 1 | 0.4816 | 28.90 | 28.90 | | 2 | 0.3847 | 23.08 | 51.98 | | 3 | 0.2110 | 12.66 | 64.64 | | 4 | 0.1576 | 9.45 | 74.09 | | 5 | 0.1501 | 9.01 | 83.10 | | 6 | 0.1233 | 7.40 | 90.50 | | 7 | 0.0815 | 4.89 | 95.38 | | 8 | 0.0457 | 2.74 | 98.12 | | 9 | 0.0235 | 1.41 | 99.54 | | 10 | 0.0077 | 0.46 | 100.00 | +--------+------------+----------+----------+

15 Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités (9.88=6.25 %)) LibelléPRel.Dist.Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2 Taille- 4.32102.8571-1.180.9212.609.590.490.30 Taille+ 3.08644.4000-0.85-1.234.6412.170.160.34 Taille++9.25930.80000.84-0.0213.460.010.880.00 30.7021.77 Poids- 4.93832.3750-1.170.8214.018.720.580.29 Poids+ 8.64200.92860.31-0.821.6715.060.100.72 Poids++3.08644.40001.020.976.607.610.230.22 22.2931.39 Vélocité- 6.17281.7000-0.321.041.3117.520.060.64 Vélocité+ 4.93832.3750-0.60-0.893.7410.120.150.33 Vélocité++5.55562.00000.89-0.379.182.000.400.07 14.2329.63 Intelligence- 4.93832.37500.350.811.258.390.050.28 Intelligence+ 8.02471.0769-0.37-0.292.271.700.130.08 Intelligence++3.70373.50000.34-0.460.862.030.030.06 4.3912.12 Affection- 8.02471.07690.840.2911.621.720.650.08 Affection+8.64200.9286-0.78-0.2710.791.600.650.08 22.413.32 Agressivité- 8.64200.9286-0.40-0.192.880.850.170.04 Agressivité+8.02471.07690.430.213.100.910.170.04 5.981.76 Intelligence Affection Agressivité Taille CoordonnéesContributionCosinus² Vélocité Poids

16 Exemple d’A.C.M. Tableau de Burt Poids relatif : Distance à l’origine : 010 010 001 100 100 221 01 10 10 01 10 32 0001 1000 0010 0100 0100 1211 p= 9 Z (n,p) = n individus  sn n j . 1.  j n n

17 Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités (9.88=6.25 %)) LibelléPRel.Dist.Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2Axe 1Axe 2 Taille- 4.32102.8571-1.180.9212.609.590.490.30 Taille+ 3.08644.4000-0.85-1.234.6412.170.160.34 Taille++9.25930.80000.84-0.0213.460.010.880.00 30.7021.77 Poids- 4.93832.3750-1.170.8214.018.720.580.29 Poids+ 8.64200.92860.31-0.821.6715.060.100.72 Poids++3.08644.40001.020.976.607.610.230.22 22.2931.39 Vélocité- 6.17281.7000-0.321.041.3117.520.060.64 Vélocité+ 4.93832.3750-0.60-0.893.7410.120.150.33 Vélocité++5.55562.00000.89-0.379.182.000.400.07 14.2329.63 Intelligence- 4.93832.37500.350.811.258.390.050.28 Intelligence+ 8.02471.0769-0.37-0.292.271.700.130.08 Intelligence++3.70373.50000.34-0.460.862.030.030.06 4.3912.12 Affection- 8.02471.07690.840.2911.621.720.650.08 Affection+8.64200.9286-0.78-0.2710.791.600.650.08 22.413.32 Agressivité- 8.64200.9286-0.40-0.192.880.850.170.04 Agressivité+8.02471.07690.430.213.100.910.170.04 5.981.76 Intelligence Affection Agressivité Taille CoordonnéesContributionCosinus² Vélocité Poids

18 Exemple d’A.C.M. Représentation graphique des modalités Facteur 2 - 23.08 % -0.500.51.0 -0.5 0 0.5 1.0 Taille- Taille+ Taille++ Poids- Poids+ Poids++ Vélocité- Vélocité+ Vélocité++ Intelligence- Intelligence+ Intelligence++ Affection- Affection+ Agressivité- Agressivité+ Facteur 1 - 28.90 %

19 Exemple d’A.C.M. Représentation graphique des modalités Facteur 2 - 23.08 % -0.500.51.0 -0.5 0 0.5 1.0 Taille- Taille+ Taille++ Poids- Poids+ Poids++ Vélocité- Vélocité+ Vélocité++ Intelligence- Intelligence+ Intelligence++ Affection- Affection+ Agressivité- Agressivité+ Facteur 1 - 28.90 %

20 Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités ContributionsCosinus ²Cos ² cumulés IDEN - LIBELLEP. RELDISTO12345123451 à 21 à 31 à 4 1. Taille Tl- - Taille-4.322.8612.609.607.800.400.000.490.300.130.010.000.790.920.93 Tl+ - Taille+3.094.404.6012.2015.102.302.000.160.340.230.030.020.500.730.76 Tl++ - Taille++9.260.8013.500.000.101.700.800.880.00 0.040.020.88 0.92 CONTRIBUTION CUMULEE 30.7021.8023.004.402.80 2. Poids Pd- - Poids-4.942.3814.008.703.000.900.100.580.290.050.010.000.870.920.93 Pd+ - Poids+8.640.931.7015.102.200.802.100.100.720.060.020.040.820.880.90 Pd++ - Poids++3.094.406.607.6021.800.107.800.230.220.340.000.090.450.79 CONTRIBUTION CUMULEE 22.3031.4027.001.709.90 3. Vélocité Vl- - Vélocité-6.171.701.3017.504.700.303.800.060.640.090.000.060.700.79 Vl+ - Vélocité+4.942.383.7010.103.004.304.500.150.330.050.06 0.480.530.59 Vl++ - Vélocité++5.562.009.202.0015.302.000.000.400.070.290.030.000.470.760.79 CONTRIBUTION CUMULEE 14.2029.6023.006.608.40 4. Intelligence In- - Intelligence-4.942.381.208.402.900.0035.200.050.280.050.000.450.330.38 In+ - Intelligence+8.021.082.301.709.3018.501.100.130.080.230.340.020.210.440.78 In++ - Intelligence++3.703.500.902.006.3038.2027.900.030.060.100.460.320.090.190.65 CONTRIBUTION CUMULEE 4.4012.1018.5056.8064.30 5. Affection Aff- - Affection-8.021.0811.601.700.200.400.100.650.080.000.010.000.73 0.74 Aff+ - Affection+8.640.9310.801.600.200.300.100.650.080.000.010.000.73 0.74 CONTRIBUTION CUMULEE 22.403.300.300.700.20 6. Agressivité Agr- - Agressivité-8.640.932.900.803.9014.407.000.170.040.100.280.130.210.310.59 Agr+ - Agressivité+8.021.083.100.904.2015.507.500.170.040.100.280.130.210.310.59 CONTRIBUTION CUMULEE 6.001.808.2029.8014.50 100

21 Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités une modalité d’effectif nul Remarque 1 : la part d’inertie due à une modalité de réponse est d’autant plus grande que l’effectif dans cette modalité est plus faible. Le maximum (1/s) serait atteint par une modalité d’effectif nul… Au moment du codage, on évite les modalités à faibles effectifs susceptibles de perturber les directions des premiers axes factoriels.

22 questions à deux modalités Remarque 2 : la part d’inertie due à une question est fonction croissante du nombre de modalités de réponses. La part minimale (1/s) correspond aux questions à deux modalités… Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des modalités Au moment du codage, on cherche à équilibrer le système de questions (découpage des variables en modalités) si on veut faire jouer le même rôle à toutes les questions.

23 Exemple d’A.C.M. - Exemple d’A.C.M. - Valeurs test

24 Exemple d’A.C.M. Contributions et Cos² des individus ContributionsCosinus ²Cos ² cumulés P. RELDIST12345123451 à 21 à 31 à 4 Beauceron3.71.140.81.70.21.10.30.090.150.010.040.010.240.250.29 Basset3.71.910.511.70.62.06.80.030.630.020.040.140.660.680.72 Berger Allemand3.71.541.82.14.47.81.90.150.140.160.220.050.290.450.67 Boxer3.71.801.57.58.41.65.10.110.430.270.040.120.540.810.85 Bull-Dog3.71.647.92.90.52.92.70.620.180.020.07 0.800.820.89 Bull-Mastiff3.72.094.42.94.310.112.90.270.140.120.210.250.410.530.74 Caniche3.72.166.40.05.89.34.60.390.000.150.180.090.390.540.72 Chihuahua3.71.865.46.93.90.20.80.38 0.120.000.020.760.88 Cocker3.71.934.10.17.70.80.30.280.000.230.020.010.280.510.53 Colley3.71.110.12.72.010.20.90.010.250.100.390.030.260.360.75 Dalmatien3.71.773.29.43.70.80.50.240.550.120.020.010.790.910.93 Doberman3.71.565.91.03.66.11.40.490.060.130.170.040.550.680.85 Dogue Allemand3.71.958.42.50.50.12.50.560.130.010.000.050.690.70 Epagneul Breton3.72.181.810.40.18.51.50.100.490.000.170.030.59 0.76 Epagneul Français3.71.200.22.60.25.20.00.020.220.010.180.000.240.250.43 Fox-Hound3.71.385.90.02.30.010.80.560.000.100.000.320.560.66 Fox-Terrier3.71.786.00.20.11.91.80.440.010.000.050.040.45 0.50 Grand Bleu de Gascogne3.71.442.10.10.01.416.50.190.010.000.040.460.20 0.24 Labrador3.71.773.29.43.70.80.50.240.550.120.020.010.790.910.93 Lévrier3.71.353.50.16.25.03.10.340.010.260.160.090.350.610.77 Mastiff3.71.904.47.66.10.40.80.300.410.180.010.020.710.890.90 Pékinois3.71.865.46.93.90.20.80.38 0.120.000.020.760.88 Pointer3.71.543.51.78.30.17.50.290.120.310.000.200.410.72 Saint-Bernard3.71.692.63.414.00.42.60.200.210.470.010.060.410.880.89 Setter3.71.142.01.41.512.40.60.220.130.070.460.020.350.420.88 Teckel3.71.647.92.90.52.92.70.620.180.020.07 0.800.820.89 Terre-Neuve3.71.661.12.37.77.910.00.090.140.260.200.240.230.490.69

25 Exemple d’A.C.M. Représentation graphique des modalités -0.8-0.400.40.8 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 Facteur 1 - 28.90 % Facteur 2 - 23.08 % Beauceron Basset Berger Allemand Boxer Bull-Dog Bull-Mastiff Caniche Chihuahua Cocker Colley Dalmatien Doberman Dogue Allemand Epagneul Breton Epagneul Français Fox-Hound Fox-Terrier Grand Bleu de Gascogne Labrador Lévrier Mastiff Pékinois Pointer Saint-Bernard Setter Teckel Terre-Neuve Chasse Utilitaire Compagnie