Fonction affine, fonction linéaire Joanna Klockowska Jolanta Szadkowska.

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1 Fonction affine, fonction linéaire Joanna Klockowska Jolanta Szadkowska

2 Définition Une fonction numérique f ou fonction réelle d’une variable réelle d’une partie D de dans, est une correspondance (ou application) qui à tout élément x de D associe un réel et un seul noté f(x). Ce réel f(x) est l’image de x par f. Cette partie D de est appelée l’ensemble de définition de f.

3 x 0 -4 -2 0 1234567-7-6-5-4-3-2 y 2 4 6 8 10 12 fonction affine y = 2x + 4 fonction constante y = 2 fonction définie par y = 1/x, représentée par une hyperbole Cela ne représente pas une fonction Indiquer quelles sont les courbes qui représentent une fonction ? lesquelles ne représentent pas une fonction

4 On appelle fonction affine toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x + b (c'est-à-dire x  a × x + b) où a et b sont deux nombres. On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x (c'est-à-dire x  a × x) où a est un nombre. Fonction affine ou linéaire : définitions fonctions affines fonction linéaire

5 Indiquer, en justifiant, si les fonctions sont linéaires, affines ou ni l'un ni l'autre. flinéaire r(x) = x 2 + 5faffine non linéaire vni l'un ni l'autre flinéaire l(x) =faffine non linéaire vni l'un ni l'autre flinéaire u(x) = 3x + 6vaffine non linéaire fni l'un ni l'autre vlinéaire t(x) = 4xfaffine non linéaire fni l'un ni l'autre flinéaire f(x) = x 2 − 2faffine non linéaire vni l'un ni l'autre flinéaire k(x) = 6vaffine non linéaire fni l'un ni l'autre vlinéaire h( x) =faffine non linéaire fni l'un ni l'autre flinéaire g(x) = 8 − 9xvaffine non linéaire fni l'un ni l'autre

6 Détermination, par le calcul, de l’antécédent et de l’image d'un nombre par une fonction affine ou linéaire Soit les fonctions f et g définies par f(x) = 2x et g(x) = 5x − 12. Déterminer l'antécédent de 7 et l’image de 4 par la fonction f, puis l'antécédent de 13 et l’image de 3 par la fonction g. On cherche le nombre x qui a pour image 7 par la fonction f. L'image de x est f(x) donc on résout l'équation : f(x) = 7 2x = 7 x = 3,5 L'antécédent de 7 par f est donc 3,5. On cherche le nombre y qui a pour antécédent 4 par la fonction f. On calcule : f(4) = 2  4 f(4) = 8 L‘image de 4 par f est donc 8. On cherche le nombre x qui a pour image 13 par la fonction g. L'image de x est g(x), on résout donc l'équation g(x) = 13 c'est-à-dire : 5x − 12 = 13 5x = 25 x = 5 L'antécédent de 13 par g est donc 5. On cherche le nombre y qui a pour antécédent 3 par la fonction g. On calcule : f(3) = 5  3 - 12 f(3) = 3 L‘image de 3 par g est donc 3.

7 Déterminer, par le calcul, l’antécédent et l’image d'un nombre par une fonction affine ou linéaire f(x) = 2x + 4 x-4-2034 y-40241012 ? ? ? ? ? ? f(x) = -3x x-5-30124 y1590-3-6-12 ? ? ? ? ? ?

8 Zéro de fonction Le zéro de f est l’antécédent de 0 (le nombre ayant pour image 0). La fonction f est definie par f(x) = 3x. On cherche le nombre x qui a pour image 0 par la fonction f. L'image de x est f(x) donc on résout l'équation : f(x) = 0, soit 3x = 0 donc x = 0 L'antécédent de 0 par f est donc 0. Pour chaque fonction linéaire (f(x) = ax ) f(0) = 0 donc l’image de 0 est 0. c'est-à-dire que 0 est un zéro de f. La fonction g est definie par g(x)= -4x+ 8. On cherche le nombre x qui a pour image 0 par la fonction g. L'image de x est g(x) donc on résout l'équation : g(x) = 0 -4x + 8 = 0 donc x = 2 L'antécédent de 0 par f est donc 2. Zéro de f est egal 0 Zéro de g est egal 2

9 Déterminer, par le calcul, le zéro d’une fonction affine ou linéaire. f est définie parLe zéro de f est égal y = 2x0 y = 3x + 6-2 y = -2x0 8 y = 3n’existe pas y = 4 – 2x2 ? ? ? ? ? ?

10 La fonction f est croissante sur l'intervalle I si pour tous réels x 1 et x 2 tels que on a. La fonction f est décroissante sur l'intervalle I si pour tous réels x 1 et x 2 tels que on a. Sens de variation d' une fonction La fonction affine définie par y = ax + b (ou linéaire y = ax) est croissante sur R si a > 0. La fonction affine définie par y = ax + b (ou linéaire y = ax) est décroissante sur R si a < 0. La fonction affine définie par y = ax + b (ou linéaire y = ax) est constante sur R si a = 0. y = x+3a = 1 y = 3x – 3 a = 3 y = - x – 2 a = -1 y = - ½ x + 1 a = - ½ y = 4 a = 0

11 Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes : vcroissante y = 2x - 3fdécroissante fconstante fcroissante y = -x +3,5vdécroissante fconstante fcroissante y = - 5fdécroissante vconstante fcroissante y = 2x + 5 – 4xvdécroissante fconstante vcroissante y = 4 + xfdécroissante fconstante fcroissante y = 2 – 3xvdécroissante fconstante ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

12 Les valeurs positives et négatives d’une fonction affine ou linéaire L’ image de x par une fonction affine croissante est positive pour x strictement supérieur au zéro de la fonction. L’ image de x par une fonction affine croissante est négative pour x strictement inférieur au zéro de la fonction. L’ image de x par une fonction affine décroissante est positive pour x strictement inférieur au zéro de la fonction. L’ image de x par une fonction affine décroissante est négative pour x strictement suprieur au zéro de la fonction. Pour une fonction linéaire, le zéro de fonction est égal à 0. C'est-à-dire, pour une fonction linéaire croissante, on a: f(x) > 0  x > 0 et f(x) < 0  x < 0, et pour une fonction linéaire décroissante, on a: f(x) > 0  x 0.

13 Indiquer les intervalles où la fonction admet des valeurs positives ou négatives. zéro de fonction image de x positive image de x négative y = 4x0x > 0x < 0 y = -2x0x < 0 x > 0 y = -3x + 93x < 3x > 3 y = 2x - 42x > 2x < 2 y = 5n’exist paspour tout ximpossible y = x – 2 – 2x-2x < -2x > -2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?