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Approximation Diophantienne et Nombres Transcendants Les vaches de Narayana Narayanas cows Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) 8 septembre.

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1 Approximation Diophantienne et Nombres Transcendants Les vaches de Narayana Narayanas cows Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) 8 septembre 2006 CIRM LUMINY http://www.math.jussieu.fr/~miw/

2 Les vaches de Narayana Musique: Tom Johnson Saxophones: Daniel Kientzy Réalisation: Michel Waldschmidt http://www.pogus.com/21033.html

3 Narayana était un mathématicien indien du 14 e siècle. Il posa le problème suivant: Chaque année, une vache met au monde un veau. À partir de la quatrième année, chaque veau donne à son tour et au début de chaque année, naissance à un veau. Quel est le nombre de vaches et de veaux après une durée de 17 ans? Le temps que vous mettrez à résoudre ce problème nous suffira pour vous en donner la démonstration musicale.

4 Année1 Vache initiale 1 Deuxième génération 1 Total2 La première année, nous navons que la première vache avec son premier veau. long-court

5 Année12 Vache initiale 11 Deuxième génération 12 Total23 La deuxième année, nous avons la première vache et deux veaux. long - court - court + =

6 Année123 Vache initiale 111 Deuxième génération 123 Total234 La troisième année, nous avons la première vache et trois veaux. long - court - court - court + =

7 Année1234 Vache initiale 1111 Deuxième génération 1234 Troisième génération 0001 Total2346 La quatrième année, le premier veau devient mère, ce qui donne naissance à une troisième génération des vaches de Narayana. long - court - court - court - long - court

8 Année 1 long-court 2 long-court-court 3 long-court-court-court 4 long-court-court-court- long-court =+

9 Année12345 Vache initiale 11111 2ème génération 12345+1 3ème génération 00013+2 Total23469+3 La cinquième année, nous avons une mère ainsi que trois veaux de plus. + =

10 Année 2345 =+

11 123456 Vache initiale 111111 Seconde génération 123456 Troisième génération 000136 Total2346913 La sixième année, nous avons 4 mères, 4 jeunes veaux, et un troupeau de 13 têtes. + =

12 Sixième année 4 vaches productrices = 4 longues 9 jeunes veaux = 9 courtes Total: 13 vaches = 13 notes

13 Année1234567891011121314151617 Vache initiale 11111111111111111 Seconde génération 1234567891011121314151617 Troisième génération 00013610152128364555667891105 Quatrième génération 000000141020355684120165220286 Cinquième génération 00000000015153570126210330 Sixième génération 000000000000162156126 Septième génération 00000000000000017 Total23469131928416088129189277406595 872

14

15 Référence: Jean-Paul Allouche & Tom Johnson, Narayanas Cows and Delayed Morphisms, Cahiers du GREYC, troisièmes journées dinformatique musicale, JIM 96 4 (1996), 2–7.

16 17ème année: 872 vaches


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