Chapitre VII. Tri Tri par tas Tri rapide.

Présentation au sujet: "Chapitre VII. Tri Tri par tas Tri rapide."— Transcription de la présentation:

1 Chapitre VII. Tri Tri par tas Tri rapide

2 Tris faisant appel aux arbres
Dichotomique (quick sort) Tri par fusion Tris par tas ….

3 Tri par tas Fait appel à la structure de l’arbre binaire parfait partiellement ordonné La complexité est Le principe : prendre le tri par sélection et accélérer la recherche de min par l’organisation adéquate de données (heapsort)

4 Rappel du tri par sélection
Principe : on recherche le minimum dans la partie restante du tableau et on l’échange avec l’élément qui suit la partie déjà triée. Après k placements les k plus petits éléments du tableau sont déjà à leur place définitive G

5 Arbre binaire parfait Arbre binaire parfait : tous les niveaux sont complètement remplis, sauf éventuellement le dernier niveau. Dans ce dernier cas les nœuds (feuilles) du dernier niveau sont groupés le plus à gauche possible. Arbre binaire parfait est un arbre équilibré parfait « imparfait »

6 Numérotation hiérarchique(1)
Numéroter en ordre croissant à partir de 1 tous les nœuds num(r)=1 num(n)=i => num(FG(n))=2i et num(FD(n))=2i+1 1 2 3 5 4 6 7 10 9 8

7 Numérotation hiérarchique(2)
2 < i < n => le père du noeud d’indice i est à l’indice (i div 2) 1 < i < (n div 2) => le fils gauche du nœud d’indice i est en 2i le fils droit du nœud d’indice i est en 2i+1

8 Représentation sous forme d’un tableau
Codage d’un arbre binaire parfait avec N nœuds par un tableau de N cases Un arbre binaire parfait comportant p nœuds et de hauteur 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e a b c d e f g h i j 6 f 7 g 10 j 8 h 9 i

9 Arbres binaires parfaits partiellement ordonnés
ABPPO : est un arbre étiqueté par des éléments d’un ensemble muni d’un ordre total ( ex  < sur un ensemble des entiers). contenu(n)<contenu(fils(n)) pour tout noeud n et pour tout fils(n) (1;3) (2;5) (3,9) Ex. Arbre binaire parfait partiellement ordonné. Notation : (index, contenu) (4;6) (5;7) (6;11) (7; 10) (8; 12) (9;18) (10;13)

10 Tas Tas : un tableau représentant un arbre parfait partiellement ordonné. - t[1] est la racine - t[i div 2] est le père de t[i] pour tout i>1 - t[2*i] = FG(t[i]) (si il existe) - t[2*i +1] = FD(t[i]) (si il existe) - Si p est le nombre de nœuds de l’arbre et si 2*i=p, alors t[i] n’a qu’un seul fils t[p]. - Si i est supérieur à p div 2, t[i] est une feuille Si M est la taille du tableau qui contient un tas de p éléments, alors p<M

11 Ajout (1) (1) Adjonction d’un élément :
- ajouter le nouvel élément à la nouvelle feuille créée à cet effet - réorganiser le tas pour maintenir la cohérence (1;3) (3,9) (2;5) (4;6) (5;7) (6;11) (7; 10) (8; 12) (9;18) (10;13) (11;4) 1 (1;3) (3,9) (2;5) (4;6) (5;4) (6;11) (7; 10) (8; 12) (9;18) (10;13) (11;7)

12 Ajout (2) (2) (1;3) (3,9) (2;5) (4;6) (5;4) (6;11) (7; 10) (8; 12)
(9;18) (10;13) (11;7) (1;3) (3,9) (2;4) (4;6) (5;5) (6;11) (7; 10) (8; 12) (9;18) (10;13) (11;7) (2)

13 Ajout (3) Procédure Ajouter(réf t: tableau[1..M] d’entiers; réf p:entier, x:entier); {on suppose que p<M lors de l’appel – pas de vérification du débordement} Var i : entier; Début {une nouvelle feuille est crée et x est placé dedans} p:=p+1; t[p]:=x; i:=p; {conformité à la définition : on effectue les échanges tant que x est inférieur à son père} Tq (i>1) et (t[i]<t[i div 2]) faire échanger(t[i]), t[i div 2]); i:=i div 2 FTq Fin Ajouter

14 Suppression (1) (2) Suppression de l’élément minimal :
- retirer le min et le renvoyer ; - réorganiser le tas : placer la dernière feuille dans la racine et réordonner l’arbre : pour chaque nœud chercher le plut petit de ces deux fils et permuter.

15 Suppression (2) (3) (1;3) (3,9) (2;4) (4;6) (5;5) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;7) (2;4) (3,9) (4;6) (5;5) (6;11) (7; 10) (11;7) (8; 12) (9;18) (10;13)

16 Suppression (3) (1;7) (1;4) (2;4) (3,9) (2;7) (3,9) (4;6) (5;5) (6;11)
(7; 10) (4;6) (5;5) (6;11) (7; 10) (8; 12) (9;18) (10;13) (8; 12) (9;18) (10;13)

17 Suppression (4) (1;4) (2;5) (3,9) (4;6) (5;7) (6;11) (7; 10) (8; 12)
(9;18) (10;13)

18 Suppression (5) Procédure SuppressionMin(réf t: tableau [1…M] d’entiers, réf p,min : entiers) {on suppose que le tas n’est pas vide au moment de l’appel : p>0} Var i,j: entiers; Début { on retient le minimum} min:=t[1]; {réorganisation du tas} t[1]:=t[p]; p:=p-1; i:=1; {placer la dernière feuille à la racine} Tq i< (p div 2) faire {t[i] – n’est pas une feuille} { calcul de l’indice du plus petit des deux fils de t[i] ou de son seul fils 2*i=p} Si (2*i=p) ou (t[2*i]<t[2*i+1]) alors j:=2*i sinon j:=2*i +1 FSi Si t[i] > t[j] {échange si la condition d’ordre n’est âs satisfaite} alors échanger(t[i], t[j]) i:=j; sinon sortir FTq FinSuppressionMin;

19 Utilisation d’un tas pour le tri d’un tableau (1)
La base : le tri par sélection. Rechercher le minimum dans la partie du tableau non-triée et le placer à sa place définitive. Transformer le tableau en tas (avec la procédure « ajouter ») Utiliser le tas pour extraire le min et le placer à l afin du tableau (tri par ordre décroissant) 1 M min Tas de M éléments M-1 1 min Etc… Tas de M -1 éléments

20 Utilisation d’un tas pour le tri d’un tableau (2)
Procédure Tri-par-Tas(réf t: tableau[1…M] d’entiers) Var p, min: entiers Début p:=0 Tq p<M faire {construction du tas} ajouter(t,p,t[p+1]); {p augmente de 1 à chaque appel de « ajouter »} FTq Tq p>1 faire SuppressionMin(t,p,min) {p diminue de 1 à chaque appel SuppressionMin} t[p+1]:=min Fin Tri-par-Tas

21 Complexité du tri pas tas
Construction du tas : M appels de la procédure ajouter. Sa complexité dans le pire de cas est de La sélection de l’élément le plus petit se fait par M-1 appels de la procédure SuppressionMin. Sa complexité dans le pire des cas est de La complexité du tri par tas est donc en Avec « comparaison » comme opération fondamentale.

22 Tri rapide(Quick Sort)
Tri dichotomique : on partage une liste à trier ( tableau) en deux sous-listes L1,L2: Les éléments de L1 sont tous inférieurs à tous les éléments de L2 On recommence jusqu’à avoir les sous-listes réduits à un élément

23 Principe de tri rapide Élément Pivot
Choisir un élément pivot et placer les éléments inférieurs à gauche, supérieurs – à - droite Pivot se trouve à sa place définitive Recommencer avec les deux sous-listes tq atteindre 1 élément Choix du Pivot – 1er élément du tableau

24 Exemple

25 Tri rapide – pivot Supposons que nous avons une procédure placer (réf t,val i,j,réf k): t est défini entre i, j, k – emplacement définitif du pivot (paramètre de sortie) placer : place élément t[i] à la k-ème place et renvoie k.

26 Algorithme général Procédure tri-rapide(réf t: tableau[1..n+1] des entiers; val i,j : entiers) {t[n+1] contint une sentinelle} Var k : entier; Début Si i<j alors {plus qu’un élément dans le sous-tableau} Placer(t,i,j,k) {partitionner t selon le principe du pivot et placer t[i] en k} Tri-rapide(t,i,k-1) Tri-rapide(t,k+1,j) Fsi Fin Tri-rapide L’appel tri-rapide(t,1,n) provoque le tri du tableau complet

27 Procédure de partition et de placement(1)
G D Avancer G Tq t[G] < Pivot Reculer D Tq t[D] > Pivot Permuter G D

28 Procédure de partition et de placement(2)
Ajout d’une sentinelle t[n+1] > t[i] pour tout i=1, ….,n Quand on appelle « placer » sur une partie de tableau qui n’est pas la fin du tableau, cette sentinelle existe : l’élément qui se trouve à l’indice j+1 est le pivot de l’appel précédent. Il est donc supérieur à tous les éléments entre i et j.

29 Procédure de partition et de placement(3)
Procédure placer (réf t: tableau[1..n+1] des entiers; i,j, : entiers, réf k: entier) Var G : entier; Début G:=i+1;k:=j TQ G<k faire {Le pivot est t[i] TQ t[k] >t[i] k:=k-1; TQ t[G] < t[i] G:=G+1; Si G<K alors échanger(t [G], t[k]) G:=G+1 k:=k-1 FTQ Échanger(t[i], t[k]) Fin placer

30 Analyse Graphe d’appels est un arbre binaire Complexité au pire
Opération fondamentale : comparaison. A chaque niveau de l’arbre au pire n comparaisons La hauteur de l’arbre est C est donc (?)

31 Version itérative Procédure tri-rapide-iter(réf t : tableau[1..n+1]des entiers) Var Q:PILE; i,j,k : entiers i:=1;j:=n;pile-vide(Q); TQ vrai faire TQ i<j faire placer(t,i,j,k) emplilerQ5i,j,k);j:=k-1 FTQ Si non estèvide(Q) alors (i,j,k):=sommet(Q); dépiler(Q);i:=k+1 sinon sortir FSI Fintri-rapide_iter