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Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder.

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1 Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

2 2 De nombreuses options existent sur le marché

3 Achat au prix minimum en T 0 ou en T 1 Ristourne de (1-ρ) % Pay-off : 3 Une option ESOP est destinée aux employés dune entreprise

4 4 La tarification dune telle option nest pas toujours simple, à priori

5 Rapidité et facilité dimplémentation Calcul explicite de la sensibilité Evaluation de linfluence des paramètres 5 Une solution analytique du prix est toujours préférable

6 6 La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages Simplification des calculs Obtention de certaines formules analytiques

7 Théorie moderne de larbitrage Changements de numéraire Tarification doptions ESOP 7 Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

8 Théorie moderne de larbitrage Changements de numéraire Tarification doptions ESOP 8 Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

9 Espace de probabilité Intervalle de temps Actifs S 0, S 1, … S N Sous P : 9 Le marché peut se modéliser mathématiquement Terme de tendance Terme de diffusion

10 Bien matériel / virtuel de référence (monnaie, action, indice, … ) Actif négociable Processus numéraire S 0 10 Un numéraire est un étalon de valeurs

11 Exemple Numéraire S 1 : Numéraire S 2 : Marché normalisé 11 Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier

12 Modèle sans opportunité darbitrage (A.O.A.) si et seulement si Il existe une mesure martingale Q 0 12 La théorie de larbitrage est gouvernée par le premier théorème fondamental Martingales sous Q 0

13 Pay-off stochastique Marché A.O.A. Numéraire S 0 13 Une option doit être tarifée grâce à la formule de tarification générale

14 Numéraire S 1 Numéraire 14 Un changement de numéraire ninfluence pas le prix de loption

15 Théorie moderne de larbitrage Changements de numéraire Tarification doptions ESOP 15 Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

16 Espace de probabilité Théorème de Radon-Nikodyn 16 Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn

17 Hypothèses : Filtration 17 Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique Noyau de Girsanov

18 18 Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure Terme de tendance Terme de diffusion

19 19 La mesure martingale risque-neutre est un cas particulier de changements de mesure = 0

20 20 Les mesures martingales S i -neutres sont également envisageables = 0

21 Théorie moderne de larbitrage Changements de numéraire Tarification doptions ESOP 21 Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

22 22 La technique de changements de numéraires va permettre la tarification de loption 22

23 S(T 0 ) nest pas un actif négociable en T 1 S 0 (t) est un actif négociable en T1 Pay-off 23 Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif

24 Dynamique de S sous Q Dynamique de S 0 sous Q 24 La dynamique des deux actifs sous-jacents est connue sous la mesure risque-neutre

25 Prix de loption 25 Lactif S 0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification

26 Dynamique de S/S 0 sous Q 0 26 La mesure Q 0 est une mesure martingale pour le choix S 0 de numéraire

27 Prix de loption ESOP 27 Le prix de loption est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S

28 28 Tant que S(T 0 ) nest pas connu la volatilité du prix de loption est faible

29 29 Tant que S(T 0 ) nest pas connu la volatilité du prix de loption est faible

30 Prix de loption ESOP 30 Pour les temps supérieurs à T 0 un changement de mesure est inutile

31 31 Comme la valeur S(T 0 ) est connue la volatilité de loption devient plus forte

32 32 Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T 0

33 Simplification des calculs Obtention de certaines formules analytiques Restent méconnus à lheure actuelle 33 Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification


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