Intégrateurs, dérivées numériques et applications Etienne Forest Soken Dai Octobre 2005.

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1 Intégrateurs, dérivées numériques et applications Etienne Forest Soken Dai Octobre 2005

2 Qu’est-ce que le “DA” package de Berz? À quoi ça sert? Intégrateur ou programme matriciel type Transport? Qu’est-ce que l’“Operator Overloading”? Polymorphisme de Série de Taylor? Formes Normales? Structures de Tracking: pourquoi?

3 Démystifions le DA/TPSA : c’est simple C’est de la différentiation automatique!

4 Les questions adressées : Ces questions sont simples à moins qu’on les enrobent dans le langage mathématico-pédant que Berz aime si bien! La librairie de Berz (DA-package) qu’est-ce que c’est? À quoi ça sert? L “Operator Overloading”, comment ça marche?

5 Comment y aller droit au but ? 1. Simple j’ai écris une librairie pour cet exposé ! 2.400 lignes de code! 3.Complètement automatique et ‘overloaded’ 4.Limitée à 2 variables et au troisième ordre. 5.Servira à prendre la dérivée d’un intégrateur de trajectoires

6 Qu’est-ce qu’un intégrateur? Intégrateur d’ordre k

7 Exemples RK2 RK4

8 Look at TPSA through our toy TPSA Package A basic TPSA-package is a tool to expand what you compute on the computer in a Taylor Series in the variable you choose. In Optics and Accelerators, it permits the computations of maps for perturbative calculations and also sometimes simulations. Operator Overloading brings us closer to Automatic Differentiation rather than Computational Differentiation: the code that computes the Taylor expansion is almost identical to the code that computed the original quantity. Perturbative calculations : Transfer Matrix, Lattice functions (Twiss), tunes, damping, amplitude dependent tune shifts, aberrations in optical systems, resonance driving terms, synchrotron integrals, etc…It is here that differential operators and hence Lie/Differential algebras (DA) will come into play.

9 Exemple d’application de l’intégrateur ‘polymporphisé’ Un intégrateur calcule les trajectoires: c’est sa mission sacrée. Il ne sait faire rien d’autre. Ici, grâce au polymorphisme, je donne un exemple de calcul qui émerge de l’intégrateur! ICIICI

10 Before we start, why do we want Taylor series? Why we want Taylor Series: Example 1, shooting… Or perhaps accelerator physics? Download Toy TPSA and Gun/FODO cell application main program here!here

11 One dimensional Quadrupole FODO Cells Example 2: 10 FODO Cells

12 TPSA-Addition/Soustraction

13 Multiplication

14 Inverse : Opérateur NilpotentNilpotent

15 Fonctions: Exponentielle On isole la partie constante de façon à créer un facteur nilpotent  T