FLEXION PLANE SIMPLE Etude d’une poutre encastrée Résistance des matériaux FLEXION PLANE SIMPLE Etude d’une poutre encastrée

1. Définition de la flexion plane simple y La ligne moyenne de la poutre est droite. Le système de forces appliquées peut se réduire à un système coplanaire et ce plan est un plan de symétrie de la poutre. Toutes les forces sont perpendiculaires à la ligne moyenne. T z G Mfz Le torseur des efforts de cohésion en G s ’écrit dans le repère (G,x,y,z): N=0 Mt=0 Ty0 Mfy=0 Tz=0 Mfz 0 { Tcoh }= (x,y,z) G

1.Essai de Flexion F=100 N Section: D=50mm C O L = 1 m Liaison encastrement C O L = 1 m

Effort tranchant Ty constant: Ty = -100 N ( Ty = F )

Moment fléchissant Mfz linéaire: Mfz = F (x-L) dMfz Rappel : Ty= - dx

Déformée Flèche maximale en C: yc = -0.494 mm C qc yc

Résultats Influence de la charge F La poutre est élastique. La flèche est proportionnelle à l ’effort appliqué. Conclusion: F = K1. Yc

Influence de la longueur L Résultats Influence de la longueur L La flèche augmente avec la longueur de la poutre. (Pour ce cas, la flèche est proportionnelle au cube de la longueur. Ceci n’est pas un résultat général). Conclusion: Yc = fonction (L)

Influence de la section Résultats Influence de la section b b z z z z a a La flèche dépend de la forme de la section. La flèche est inversement proportionnelle au moment quadratique Iz. Conclusion: Yc= K3.(1/Iz) (K3=15.14 ici)

Résultats Influence du matériau Quand E augmente, Yc diminue. La flèche est inversement proportionnelle au module d ’Young E. Conclusion: Yc = K4 / E

Conclusion: Yc = Fonction ( F , L , Iz , E ) Résultat analytique: F L3 Yc = 3 E.I(G,z)

2.Visualisation des contraintes de flexion

Essai de Flexion Rappel de l ’essai F=100 N Section: D=50mm C O Liaison encastrement C O

maximale en O: sx  = 8.15 Mpa Contrainte normale sx maximale en O: sx  = 8.15 Mpa C O Linéaire

Répartition de la contrainte normale sx dans la section d ’abscisse x=0 (point O) Vecteur contrainte

sx est proportionnelle à l ’ordonnée y. Répartition de la contrainte normale sx dans la section d ’abscisse x=0 (point O) sx est proportionnelle à l ’ordonnée y. Conclusion: sx = Ky . y

e = y Etude des déformations longitudinales y Extension Dl > 0 G x Fibre neutre G x Dl < 0 Compression Allongement Dl Déformation e = Dl/L Ky e = y E Loi de Hooke: sx = E. e

sx (x,y)= Relation entre sx et Mfz: Mfz(x) y I(G,z) sx : contrainte normale en megapascals Mpa Mfz : moment de flexion autour de z en N.mm I(G,z) : moment quadratique de la section par rapport à l ’axe (G,z) en mm4 y : ordonnée sur la section en mm à partir de la fibre neutre

Répartition de la contrainte tangentielle t dans la section d ’abscisse x=0 (point O) Vecteur cisaillement

se : Limite élastique du matériau considéré Conditions de résistance On négligera l ’effet des contraintes de cisaillement devant les contraintes normales: t << s. On prendra un coefficient de sécurité cs. En construction mécanique, on prend généralement 1.5  cs  5 se sx max  cs se : Limite élastique du matériau considéré cs : coefficient de sécurité

3.Etude de la déformée

Déformée Flèche maximale en C: yc = -0.494 mm C qc yc

Variation de la pente (rotation de la section droite) Pentee maximale en C: qc = -0.0424 °

Equation de la déformée Mfz(x) y ” (x) = E . I(G,z) y” : dérivé seconde de la déformée y ’=q : rotation de la section y : déformée y « à gauche » « à droite » Conditions aux limites déformée x Au niveau des liaisons: appui simple: y=0 Encastrement: y=0 ; q=0 C Tangente à la déformée en C y ’ C gauche = y  ’ C droite y  C gauche = y  C droite Continuité de la dérivée en un point C Continuité de la déformée en un point C

sx (x,y)= se sx max  Formulaire flexion plane simple Mfz(x) y sx : contrainte normale en megapascals Mpa Mfz : moment de flexion autour de z en N.mm I(G,z) : moment quadratique de la section par rapport à l ’axe (G,z) en mm4 y : ordonnée sur la section en mm sx (x,y)= y I(G,z) se sx max  cs se : Limite élastique du matériau considéré ks : coefficient de sécurité ks>1 E : module d ’Young du matériau considéré y” : dérivé seconde de la déformée Mfz(x) y ” (x) = E . I(G,z) Conditions aux limites y ’ C gauche = y  ’ C droite y  C gauche = y  C droite Continuité de la dérivée en un point C quelconque Continuité de la déformée en un point C quelconque Au niveau des liaisons: appui simple: y=0 Encastrement: y=0 ; q=0