Probabilités et statistiques

SOMMAIRE CER ENSAM D'ANGERS  Notion de probabilité  Cas d’un espace fini  Cas d’un espace infini non dénombrable  Variable aléatoire discrète  Variable aléatoire à densité  Chaînes de Markov  Convergence – Théorêmes limites  Estimation – Tests statistiques

Notion de probabilité CER ENSAM D'ANGERS Modélisation d’un phénomène aléatoire Jeux de hasard, phénomènes complexes (physiques, biologiques, économiques), … Exemples : Evolution IMPREVISIBLE ( Trop de paramètres, manque de connaissance, choix d’individus volontairement aléatoires) Etude déterministe impossible / Approche probabiliste OK  On pondère les chances d’évolution envisageables

Notion de probabilité CER ENSAM D'ANGERS Réf historiques – Génèse de la notion Historique : 17 ème s  Pascal, Huygens, Bernouilli (surtout de la théorie des jeux) 18 ème s  Bayes, Laplace (1 ères formalisations, applications pratiques) 19 ème s  Poisson, Gaus, Tchébychev (approfondissement théorique) 20 ème s  Heavyside, Borel, Markov, Kolmogorov (discipline math rigour.) Exemple illustratif Exp. aléatoire 6 résultats possibles ω i (éventualités) Ensemble Ω (univers) Pondération 1/6 pour chaque résultat Fréquences CV vers 1/6 Probabilité d’un résultat ou d’un ensemble de résultats (exploit. poss.)

Probabilités (cas d’un espace fini) CER ENSAM D'ANGERS Définitions p 1,…, p n : pondérations des éventualités (de somme 1) P (Ω) = 1 Pour tout év t A, P (A) = P = fonction de P (Ω) dans [0,1] telle que Evènement A = Ensemble d’éventualités (partie de Ω ) Déf 1 Probabilité P sur Ω={ω 1, ω 2,..., ω n } fini Déf 2

Probabilités (Ex en espace fini) Exemple : On lance 2 dés équilibrés à 6 faces A = « Les valeurs des 2 dés sont identiques » CER ENSAM D'ANGERS P(A) = B = « Les valeurs des 2 dés ont pour somme S = 8 » P(B) = 6/36 = 1/6 5/36

Probabilités (déf/prop. générales) CER ENSAM D'ANGERS 2°) Evénement A et B = A et B sont indépendants ssi P (A ∩ B ) = P (A). P (B) A et B sont incompatibles ssi A ∩ B =  Déf 3 1°) Evénement A ou B = Prop tés Evénement A  B Cas général : P (A ∪ B) = P (A  B) = 3°) A et B incompatibles P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A) + P (B) Evénement A ∩ B

CER ENSAM D'ANGERS Probabilités (Formules de calcul) Propriétés (suite) Evénement contraire de A (noté Ā) : P (Ā) = Evénement impossible : P () = Cas d’équiprobabilité: P (A) = Calcul de probabilités avec les formules de dénombrement. 1 - P (A) 0 = Nb cas favorables / nb cas total

CER ENSAM D'ANGERS Formules usuelles Nombre de listes ordonnées ( de k éléments de Ω sans répétitions) Nombre de parties ( à k éléments de Ω sans répétitions) Nombre de permutations ( des n éléments de Ω) Nombre de listes ordonnées ( de k éléments de Ω avec répétitions) nknk Probabilités (dénombrement)

Probabilités (Ex dénombrement) CER ENSAM D'ANGERS “Démonstrations” (principes) Exercice On considère une classe de n élèves (n ≤ 365 ). Probabilité que 2 élèves soient nés le même jour ? Illustrer le problème avec des arborescences.

Probabilités (cas d’un espace infini) CER ENSAM D'ANGERS Définitions Inf dénombrable  Suite infinie de résultats ω i Inf. non dénomb.  plus de déf exhaustive possible On définit une tribu T: Ens. de parties de Ω contenant Ω et , stable pour passage au contraire + inters et union dénombrable Proba sur T définie avec les mêmes propriétés que pour le cas fini: pour P(Ω) et P(Union disjointe)

Probabilités conditionnelles (1) CER ENSAM D'ANGERS Evènement A Principe : EXERCICE : On lance 2 dés. 1°) Probabilité que l’un des 2 dés ait donné 6 (év t A) si on n’a aucune info par ailleurs ?  Cette probabilité sera notée P(A) 2°) Probabilité que l’un des 2 dés ait donné 6 (év t A) si on sait que « la somme des points fait 10 » (év t B) ?  Cette seconde probabilité est appelé probabilité de A sachant B Elle sera notée P(A | B) 0 info Proba P(A) Autre év t B réalisé Proba de réaliser A peut être modifiée.

Probabilités conditionnelles (2) CER ENSAM D'ANGERS Cas fini (B étant un ev t possible) P(A | B) = Card (A  B) /Card(B) et P(B) = Card(B)/ Card() Donc P(A | B) = P(A  B) /P(B) Cas d’événements infinis : (avec B ev t possible) On a encore P(A | B) = P(A  B) /P(B) EXERCICE 1 : Famille avec 2 enfants – Mêmes probas d’être une fille ou un garçon 1°) L’un est une fille. Probabilité que l’autre soit un garçon ? 2°) L’aînée des enfants est une fille. Probabilité pour que l’autre soit un garçon ?

Probabilités conditionnelles (3) CER ENSAM D'ANGERS EXERCICE 2 : 10 pièces mécaniques. 4 sont défectueuses. Prélèvement de 2 pièces successivement et sans remise. Proba de l’év t « 1 ère pièce bonne » et « 2 ème pièce bonne » ? Ev t A 1 Ev t A 2 Rq : Les événements A 1 et A 2 sont dépendants. L’indépendance se traduirait par P(A 2 /A 1 ) = P(A 2 ), ou encore par P(A 1  A 2 ) = P(A 1 )*P(A 2 ) mais, ici, c’est FAUX !

Probabilités conditionnelles (4) CER ENSAM D'ANGERS Généralisation (formule des probabilités totales) : Si B 1, B 2, …, B n est une partition de , la probabilité de tout év t A est : P(A) = P(A  B 1 ) + P(A  B 2 ) + … + P(A  B n ) ou encore P(A) = P(A/B 1 )P(B 1 ) + …+ P(A/B n )P(B n ) EXERCICE 3 : On tire successivement et sans remise 4 lettres du mot « ATTACHANT ». Probabilité d’obtenir le mot « CHAT » ?

Probabilités conditionnelles (5) CER ENSAM D'ANGERS Formules de Bayes OBJECTIF : On a P (A/B) et on souhaite connaître P (B/A) Preuve : P (A ∩ B) = P (B ∩ A) + Formule probas totales avec la partition (B,B) Généralisation : Soient (B 1, B 2, …, B m ) partition de  et A ⊂ Ω (non vide).

Probabilités conditionnelles (6) CER ENSAM D'ANGERS Exercice sur la formule de Bayes : Dépistage d’1 maladie - Test sanguin Sujet malade (év t B)  Rés. positif (év t A) dans 99% des cas Sujet en bonne santé (év t B)  Res. positif (év t A) pour 2% de ces patients Proportion de malades : P(B) = 10 −3 Probabilité pour qu’un sujet soit en bonne santé sachant que le résultat de son test est positif? Test positif (A)Test négatif (A)Total Sujet malade (B) 99 %*10 −3 1%*10 −3 10 −3 Sujet en bonne santé (B) 2%*( )98 % * ( ) Total 99 %*10 −3 + 2%*( )1%*10 −3 + 98%*( )1 P(B/A) = 2%*( ) / [99 %*10 −3 + 2%*( )]

CER ENSAM D'ANGERS Variables aléatoires discrètes Définitions V.A. indépendantes si ∀ (x, y), P (X = x, Y = y) = P (X = x) × P (Y = y) V.A. discrète = application X : Ω → F (=N ou Z). Propriétés : (1) E est une application linéaire, (2) Si X et Y sont indépendantes, E(X.Y) = E(X).E(Y) et V(X+Y) = V(X) + V(Y) (3) V(.X) = ². V(X) Espérance: E(X) = ; V(X) = E[(X - E(X))²] = E(X ² ) - E(X) ²

Loi discrètes – Fonction génératrice CER ENSAM D'ANGERS Définition Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On appelle fonction génératrice de X la fonction g X définie sur [0,1] par : g X (u)=E(u X ) Remarque : Cela signifie que g X (u)= Propriétés : E(X) = et V(X) = g’ X (1) g’’ X (1)+ g’ X (1)- g’ X (1) ² g X. g Y g X (u  Si X et Y sont 2 variables indépendantes: g X+Y = Pour tout réel fixé, g.X vérifie pour tout u: g.X (u) =

Lois discrètes usuelles (1) CER ENSAM D'ANGERS Principales lois discrètes et propriétés Loi de X Notation X  … P(X=k)P(X=k) E(X)V(X) Loi binomiale B (n,p) p k (1-p) n-k n.pn.p.(1-p) Loi de Poisson P()P() e -   Loi géométrique G(p)G(p) ( 1-p) k-1 p g X (u)=? A démontrer

Lois discrètes usuelles (2) CER ENSAM D'ANGERS Loi hypergéométrique HG (N, m, n) C’est la loi donnant le nombre de boules blanches X obtenu en tirant successivement et sans remises : n boules dans une urne contenant m boules blanches et N-m boules noires Exercice : Montrer que, si X  HG (N, m, n), on aura pour tout k [[0,n]] : P (X=k) =

CER ENSAM D'ANGERS Variables aléatoires à densité (1) Ex : Position d’un point de crevaison (proba proport sect angul) Propriétés : Les mêmes que pour les variables discrètes E[ ( X - E(X) ) ² ] (1)E(.X)=E(X+Y)= (2) V(.X) = (3) Si X et Y sont indépendantes, E(X.Y) = et V(X+Y) = E(X).E(Y) V(X) + V(Y) ². V(X).E(X) E(X) + E(Y) Définitions : Une variable aléatoire X de Ω dans R possède la densité f si : ∀ a < b ∈ R ∪ {−∞, + ∞}, P (a < X ≤ b) = Espérance: E(X)= ; Variance: V(X)= = E(X ² ) - E(X) ²

CER ENSAM D'ANGERS Définition : fonction de répartition de X =la fonction F définie, pour tout x  R, par : F( x ) = P(X ≤ x ). Remarque : si F est dérivable, alors F’=f Variables aléatoires à densité (2) Définition : fonction caractéristique de X =la fonction  X définie, pour tout t  R, par :  X (t) = E(e i.t.X ) Remarque :  X (t) = Propriétés : On aura comme pour g X : X (t) = et, si X et Y indépendantes :  X+Y =  X.  Y Transf. de Fourier de f  X (t)

CER ENSAM D'ANGERS Autres propriétés des variables aléat. à densité : Variables aléatoires à densité (3) Si a est une c te réelle :  X+a (t) = e i.a.t.  X (t) (P1) Si 2 var aléat. X et Y ont même fonction caractéristique, elles suivent la même loi. (P2) Si  X est connue, la fonction de densité de X est la transformée de Fourier inverse de  X : (P3) Si X et Y indépendantes, f X+Y = f X * f Y (Produit de convolution) (P4)

CER ENSAM D'ANGERS Lois continues usuelles (1) Loi uniforme sur un intervalle [a,b] : X  U (a,b) Elle correspond à l’équiprobabilité sur [a,b]. La fonction de densité a la même valeur en tout x [a,b] et elle vaut 0 ailleurs. P (a<X<b) = 1 donc, si f( x ) = c te sur [a,b], cette constante vaut forcément Exemple : Abscisse X d’un impact de tir au hasard sur un mur allant de x =0 à x =3m. Définition : X  U (a,b) ssi f( x ) = 1/(b-a) sur [a,b] et 0 ailleurs 1/(b-a)

CER ENSAM D'ANGERS Lois continues usuelles (2) Loi exponentielle de paramètre : X  E () Cas d’un évènement qui apparaît avec un taux constant au cours du temps. E () est alors la loi du temps X jusqu’à l’apparition de cet événement. Cela signifie que, pour tout temps t : P (X t) =  dt Exercice : Montrer que X  E () ssi sa fonction de fiabilité R vérifie : t >0, R(t) = e -.t et t  0, R(t) = 1 la fiabilité R étant définie par R(t) = P (X>t)

CER ENSAM D'ANGERS Lois continues usuelles - Application Application à un processus de Poisson : On considère un événement E aléatoire répétitif autonome (indép histor). Pour tout temps t, on note : N t la v.a. donnant le nb d’occurrences de E, T 1, T 2, … la suite des temps séparant les occurrences successives de E, p n la fonction qui à tout instant t associe la proba d’avoir n occurrences de E entre les instants 0 et t. 1°) Montrer que p 0 (t) = e -t où  est un réel positif donné. 2°) Montrer que, pour tout i>0 : T i  E () 3°) Exprimer f T1+T2 puis f T1+T2+T3. En déduire que, pour tout n≥2 : puis que, pour tout n  0, 4°) En déduire que, pour tout t : N t  P ( t ) (t) n-1 / (n-1)! e -t

CER ENSAM D'ANGERS Lois continues usuelles (3) Loi normale (ou gaussienne) de paramètre et : X  N () X suivra cette loi à chaque fois que X sera déterminée par de nombreux paramètres indépendants et ayant chacun de petits effets. Définition: X  N () ssi sa fonction de densité f est définie pour tout t par : f(t) = Exercice : Vérifier que P (- < X < + ) = 1. Exprimer  X. F(t)F(t) t f(t)f(t)  

CER ENSAM D'ANGERS Principales lois continues et propriétés Lois continues usuelles - Récap Loi Notation : X  … Définition : f(t) = Espérance : E(X) = Variance : V(X) = Uniforme U (a,b) sur [a,b] 0 ailleurs Exponentielle E ( ) 0 si t < 0 si t  0 Normale N(,)N(,) ²²

Lois continues usuelles – Exercices CER ENSAM D'ANGERS Exercice 1 : Redémontrer les expressions de l’espérance et la variance pour 1°) une variable uniforme sur [a, b], 2°) une variable exponentielle de paramètre, 3°) une variable normale centrée réduite X * ( qui suit N(0,1) ). Exercice 2 : On considère un système constitué de n composants. Les durées de vie sont des variables exponentielles T 1,..., T n de paramètres 1,..., n > 0. Les variables T i sont indépendantes. 1.Si le système est en série, exprimer sa durée de vie T en fct des T i. Déterminer la fonction de répartition F de la v.a. T. En déduire sa loi. 2. Exprimer de même F(t) dans le cas où le système est en parallèle (i.e. qu’il fonctionne lorsqu’au moins 1 des composants fonctionne).

Autres lois continues CER ENSAM D'ANGERS Loi du KHI 2 à n degrés de liberté ( n ²) : Loi d’une var Y = (X 1 ) ² + … + (X n ) ² où les X i suivent N (0 ; 1) Applications : Tests de lois, estimation de variances Loi de Student à n degrés de liberté : Loi d’une var S n = X / √(Y/n) où X suit N (0 ; 1) Y suit  n ² Applications : Estimations de moyennes à partir de petits échantillons Loi de Fisher Snedecor F(n 1,n 2 ) : Loi d’une variable F = (Y 1 /n 1 )/(Y 2 /n 2 ) où Y i suit  ni ² Application : Analyses de variance

Chaînes de Markov - Définitions CER ENSAM D'ANGERS Processus stochastique = suite d’expériences aléatoires avec évaluation d’une variable X à chaque étape Espace des états (noté E) = ensemble des valeurs que peut prendre X  En g al égal à [[1, N]] où N est 1 entier. Chaîne de Markov = processus stochastique où les probabilités des valeurs de X à une étape ne dépendent que de la valeur à l’étape précédente.  X 0, X 1, … Vecteur des probabilité à l’étape n :

Chaînes de Markov - Calculs CER ENSAM D'ANGERS Matrice de transition à l’étape n : A = [P(X n = j / X n-1 = i] (i,j) (remplissage ligne par ligne). S’il existe m entier tq A m ait tous ses éléments > 0, alors (A n ) converge vers une limite A   Etat stable Propriété : Si A est diagonalisable sous la forme P.D.P -1, on a n : Remarque :

Questions CER ENSAM D'ANGERS