Mécanique des roches et des sols Mai-Linh DOAN L3P PPRS

Notions de mécanique du milieu continu 1) Rappels 2) Déformations 3) Contraintes 4) Rhéologie 5) Sols

Rappel de physique de terminale Mécanique du point avec une équation fondamentale: la 2 e loi de Newton Causes => Conséquences Forces => Mouvement

Rappel de physique de terminale Mécanique du point => 1 objet = 1 point

Comment décrire ça ? Mécanique du point ? Bourg d’Oisans

Comment décrire ça ? Mécanique du point? Glissement de terrain sur la route du lac Cecil, Peace R. Couture (CGC).

Comment décrire ça ? Déformation de votre chamallow

Déformation (en: strain)

Comment décrire ça ? Mécanique du point insuffisante! Besoin d’étendre le concept de mouvement Rappels Position Vitesse Accélération Dérivée en temps

Déformation Besoin d’étendre le concept Déformation : Déplacements différents pour différents points Position Déplacement Déformation Changement Dérivée spatiale

Déplacement ≠ Déformation TranslationRotation

Exemple de déformation non nulle DilatationTorsionCisaillement Comment quantifier ?

Chamallow: en extension z Déplacement u 1 =u z (z=z 1 ) Déplacement u 2 =u z (z=z 2 ) x Point 1: (en z=z 1 ) z1z1 z2z2 Point 2: (en z=z 2 =z 1 +dz) dz Le chamallow se déforme si du=u 2 -u 1 est non nul Mais le déplacement relatif ne fait pas tout…

Effet d’échelle Quel est l’effet d’un déplacement de 2cm sur les 2 bords d’un chamallow ? Quel est l’effet d’un déplacement de 2cm sur les 2 bords d’une plaque tectonique?

Revenons à notre chamallow z Déplacement u 1 =u z (z=z 1 ) Déplacement u 2 =u z (z=z 2 ) x Point 1: (en z=z 1 ) z1z1 z2z2 Point 2: (en z=z 2 =z 1 +dz) dz Le chamallow se déforme si du z =u 2 -u 1 est non nul Déformation (notée souvent ε) ε=du z /dz (la déformation est sans dimension)

Déformation Déplacement Déformation Dérivée en espace Déformation = Dérivée spatiale des déplacements

Différents types de déformation Déformation longitudinale Déformation transversale = cisaillement

Calcul d’une déformation transversale z Déplacement u 2 =u x (z=z 2 ) x Point 1: (en z=z 1 ) z1z1 z2z2 Point 2: (en z=z 2 =z 1 +dz) dz Le chamallow se déforme si du x =u 2 -u 1 est non nul Par analogie avec l’extension: ε=du x /dz Déplacement u 1 =u x (z=z 1 ) ?

Cisaillement simple Déformation transversale donne

Cisaillement simple (autrement) Déformation transversale donne C’est la même déformation ! En effet, si on retire une rotation (=déformation nulle)

Déformation transverse = et + ___________ 2

Déformation quelconque Valable pour i ou j égal à x, y, z

La déformation est une matrice! ε= 2D

La déformation est une matrice! ε= 3D

Contraintes (en: Stress)

Rappel de physique de terminale Forces => Mouvement Déformation Contraintes Contrainte = densité de force = force / unité de surface

Contraintes Pourquoi un nouveau concept? L’exemple de la punaise montre que les matériaux sont sensibles à la contrainte et non aux forces

Contraintes Contrainte= Force Surface σ= F S

Contraintes (m 2 ) Pascal (Pa) Newton (N) P plaine ≠ P sommet

Contraintes [m 2 ] Pascal [Pa] Newton [N]

Rappel: Pression Au cours de votre scolarité, vous avez déjà du vous familiariser à une contrainte particulière la pression Un fluide exerce une contrainte perpendiculaire (=normale) à la surface Pour un fluide au repos (pression hydrostatique): P = ρ g h

Pression hydrostatique h (m) ρ=masse volumique [qq 10 3 kg/m 3 =qq g/cm 3 ] g=accélération de la pesanteur (~9.81 m/s 2 ) PPPP P P

Ordres de grandeur Pression atmosphérique P ~ 10 5 Pa (=1 bar = 1000 hPa ~ 15 psi) Pression lithostatique à 5 km: P ~ 2700 x 9.81 x 5000 ~ 1.3×10 8 Pa ~ 130 MPa ~ 19 kpsi Pression hydrostatique à 10 m: P ~ 1000 x 9.81 x 10 = 9.81 ×10 4 Pa ~ 1 bar

Application aux pompages Pourquoi ne peut-on pas utiliser de pompes en surface pour pomper dans un puits à plus de 10 m de profondeur ? Pompe=déplace du fluide (le tube doit être toujours plein) Phaut > 0 Pbas > 1 bar P atm = 1 bar h On vide le tube! Pompes immergées en forage

Différentes forces Force normaleForce tangentielle En géologie, les forces normales sont le plus souvent compressives. La convention est de noter positivement les forces en compression. C’est le contraire en mécanique générale!

Différentes contraintes Les forces peuvent avoir différentes directions. x z Les surfaces aussi! On décrit leur orientation par un vecteur unitaire normal. x z -x z-

La contrainte est aussi une matrice! σ=

La contrainte est aussi une matrice! σ= σ xx σ zz σ xz σ zx

En l’absence de rotation σ xz σ zx =

σ xz σ zz σ xz La contrainte est une matrice symétrique σ= σ xx 2D

La contrainte est une matrice! 3D σ xz σ zz σ xz σ= σ xx σ xy σ yy σ yz

La contrainte est une matrice symétrique Equivalent de la pression: Déviateur des contraintes:

Contraintes principales Pour une matrice symétrique, on peut toujours trouver un système d’axes orthogonaux pour lequel les contraintes tangentielles sont nulles. Ces axes sont les directions de contraintes principales. σ xx σ zz σ xx σ zz x z Exo: Ecrire la matrice dans ce système d’axe

Avantage: représentation graphique σ xx σ zz x z σ xz σ zz σ xz σ= σ xx Description matricielle, avec 3 composantes (2D) Peu intuitive! Description par composantes principales avec 3 composantes (en 2D): (σ xx, σ zz, direction x)

World Stress Map Ici, seule la direction de la contrainte principale maximale est montrée

Contraintes principales Importance des contraintes pour la stabilité des tunnels Ou l’hydrofracturation dans des forages

Autres représentations Cercle de Mohr: ensemble des couples (contrainte normale, contrainte tangentielle) s’appliquant sur une surface qui tournerait et prendrait l’ensemble des angles possibles. => Représentation graphique de toute la matrice des contraintes

Autres représentations Cercle de Mohr: ensemble des couples (contrainte normale, contrainte tangentielle) s’appliquant sur une surface qui tournerait et prendrait l’ensemble des angles possibles. => Représentation graphique de toute la matrice des contraintes Contrainte normale Contrainte tangentielle

Autres représentations Cercle de Mohr: ensemble des couples (contrainte normale, contrainte tangentielle) s’appliquant sur une surface qui tournerait et prendrait l’ensemble des angles possibles. => Représentation graphique de toute la matrice des contraintes Contrainte normale Contrainte tangentielle

Contrainte effective Notion importante en mécanique du sol et des milieux poreux (réservoirs pétroliers et hydrogéologiques) Ces milieux peuvent être saturées de fluides! Implication pour les contraintes ? Si le fluide n’est pas évacuable (milieu non drainé), la pression du fluide supporte en partie les contraintes! Cela soulage le squelette du milieux poreux qui supporte une contrainte effective reduite

Contrainte effective σ Fluide de pression p Sous certaines hypothèses, on montre que le squelette granulaire supporte une contrainte effective σ’ = σ – p (loi de Terzaghi) contrainte totale

Contrainte effective Notion cruciale dans l’exploration de réservoirs pétroliers ou géothermiques

Lois comportementales (rhéologie)

Différents comportement

Différents comportements mécaniques Forces => Mouvement Déformation Contraintes Forces => Mouvement Le comportement mécanique d’un matériau est décrit par une loi rhéologique décrivant la relation entre contraintes et déformations

Exemple du chamallow

Comportement mécanique du chamallow Déformation Contrainte Elasticité Plasticité Rupture La réponse post-rupture dépend du matériau et du chargement

Rhéologies Déformation Contrainte Elasticité Petites déformations Déformation réversible Souvent, relation linéaire entre σ et ε Plasticité Déformation irréversible Relation non linéaire entre σ et ε Rupture La contrainte maximum de la courbe est la résistance du matériau σ max

Comportement ductile Déformation Contrainte Elasticité Plasticité Rupture Domaine plastique étendu Forte déformation finale Pente faible => Rupture douce Métaux, argiles, chamallow, … Résistance modérée pour les sols (qq Mpa)

Comportement fragile Déformation Contrainte Elasticité Rupture Plasticité Domaine plastique réduit Déformation finale modérée (<1%) Pente forte => Relâchement brusque des contraintes => Rupture catastrophique! Verre, roches (séismes), chocolat,… MPa pour les roches, suivant le confinement

Lois comportementales (rhéologie) Elasticité

Elasticité Déformation Contrainte Elasticité Petites déformations Déformation réversible Souvent, relation linéaire entre σ et ε Plasticité Rupture Utilisation courante et répétée Ondes élastiques (sonique/sismique)

Elasticité Déformation Contrainte Elasticité Relation linéaire entre σ et ε La pente définit un nouveau coefficient: module élastique Quelle contrainte ? Quelle déformation ?

Elasticité Déformation Contrainte Elasticité Relation linéaire entre σ et ε La pente définit un nouveau coefficient: module élastique Quelle contrainte ? Quelle déformation ?

La contrainte est aussi une matrice! σ=

Isotropie Isotropie = Comportement identique quelque soit la direction et sollicitent un module élastique de même valeur

Milieu non isotrope Anisotropie transverse

Coefficients élastiques d’un milieu isotrope On peut montrer que seuls 2 coefficients suffisent pour décrire les propriétés élastiques d’un milieu isotrope E Module d’Young [en: Young Modulus] G (ou µ) Module de cisaillement [en: shear Modulus]

Coefficients élastiques d’un milieu isotrope E Module d’Young Thomas Young ( ) Médecin, égyptologue, physicien….

Module d’Young z x On étire avec une contrainte longitudinale σ zz Sa déformation est ε zz =dl/l 0 l0l0 L’échantillon de longueur l 0 est allongé d’une longueur dl l 0 +dl Module d’Young [Pa] [1] [Pa]

Module d’Young d’un sandow [Pa] Mesure expérimentale du module d’Young d’un sandow

Ordres de grandeur [Pa] Mesure expérimentale du module d’Young d’un sandow Quelques 100 de MPa Argiles Roches compétentes Acier Quelques 100 MPa à quelques GPa Quelques dizaines de GPa Quelques centaines de GPa

Coefficient de Poisson z x Lors de la mesure du module d’Young du sandow vous avez peut-être remarqué que le sandow se resserrait. l0l0 l 0 +dl Coefficient de Poisson [Pa] La déformation longitudinale s’accompagne d’une déformation transverse de signe opposée.

Ordres de grandeur Sauf pour de très rares cas (p. ex. bouchon de liège), le coefficient de Poisson est positif Coefficient de Poisson [Pa] [1] Pour des raisons thermodynamiques (un solide ne gagne pas de volume quand on le comprime), le coefficient de Poisson est inférieur à 0.5 Pour les sables et graviers, ~ Pour les roches compétentes, ~ Pour un liquide incompressible, =0.5

Coefficients élastiques d’un milieu isotrope On peut montrer que seuls 2 coefficients suffisent pour décrire les propriétés élastiques d’un milieu isotrope E Module d’Young [en: Young Modulus] Coefficient de Poisson [en: shear Modulus]

Coefficients élastiques d’un milieu isotrope On peut montrer que seuls 2 coefficients suffisent pour décrire les propriétés élastiques d’un milieu isotrope E Module d’Young [en: Young Modulus] G (ou µ) Module de cisaillement [en: shear Modulus]

Module de cisaillement x On cisaille avec une contrainte transverse σ zz Le haut de l’échantillon de longueur initiale dz=l 0 se décale de du x le long de l’axe x Module de cisaillement [Pa] [1] [Pa] z l0l0 du x

Module de cisaillement x [Pa] z l0l0 du x

Module de cisaillement [Pa] On peut montrer que Le module de cisaillement s’exprime aussi en GPa Il a le même ordre de grandeur que le module d’Young

Vitesses sismiques [Pa] On peut montrer que Elle font intervenir les modules élastiques et la densité, à déterminer indépendamment.

Lois comportementales (rhéologie) Rupture

Différentes ruptures [Pa] La rupture d’une roche dépend de son mode de chargement Sans confinement Avec confinement Sans confinement Avec confinement

Différentes ruptures [Pa] Le mode de rupture le plus classique est une compression sous confinement. σnσn σ3σ3 σ3σ3 σ1σ1 σ1σ1 σ 1max σ3σ3

Ligne enveloppe des résistances [Pa] On reporte la résistance σ 1max du matériau pour chaque confinement σ 3 σ3σ3 σ3σ3 σ1σ1 σ1σ1 σ 1max σ3σ3 σ3σ3 σ3σ3 σnσn

Loi de Coulomb [Pa] Très souvent la loi est linéaire σnσn C C = cohésion µ = coefficient de friction φ = angle de frottement µ

Frottement [Pa] C’est la même loi que pour le frottement

Ambiguité en mécanique des sols [Pa] Friction ou rupture ?

Lois comportementales (rhéologie) Plasticité

Comportement ductile Déformation Contrainte Elasticité Plasticité Rupture Domaine plastique étendu Forte déformation finale Pente faible => Rupture douce Métaux, argiles, chamallow, … Résistance modérée pour les sols (qq Mpa)

Comportement ductile Comportement micromécanique complexe Microfractures (chamallow) Basse température, Faible confinement, Chargement rapide Dislocations intra-cristallines Haute température, Fort confinement, Faible vitesse de chargement Calcaire fortement maclé près de la faille de San Andreas (CA, USA)

Comportement ductile Comportement micromécanique complexe Glissement inter-cristallin Minéraux en feuillets (phyllosilicates, argiles au sens minéralogique)

Sols

Se créent par altération du substratum initial

Sols Différents types de sols en fonction du contexte environnemental et du type de substratum

Sols Sol = grains inorganique (reste du substratum) + humus (organique) + eau

Granulométrie Cyril Gaumet, Connaitre-et-faire-vivre-le-sol On classifie les sols par la taille de leur particules inorganiques L’analyse de sol ne concerne que les matériaux de taille inférieure à 2 mm

Granulométrie On classifie les sols par la taille de leur particules inorganiques Comment lire le diagramme

Rupture Déformation Contrainte Elasticité Plasticité Rupture Domaine plastique étendu Forte déformation finale Pente faible => Rupture douce Métaux, argiles, chamallow, … Résistance modérée pour les sols (qq Mpa)

Sensibilité des argiles à l’eau Limites d’Atterberg

Sensibilité des argiles à l’eau

Lecture diagramme ternaire Retour au diagramme

Comportement mécanique