1 Analyse Dimensionnelle I – Théorème de Vaschi-Buckingham (approche macroscopique 0D) II – Adimensionner une équation (approche locale)
1 kg = masse du « kilogramme étalon » en Pt irridié déposé au pavillon de Breteuil à Sèvres… 2 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 1) Rappels et définitions ; système S.I. Grandeurs physiques (qualitatif, notion de…) masse longueur temps température quantité de matière intensité électrique intensité lumineuse Pression Énergie cinétique volumique ( .v 2 /2) Dimension (symbole) MLT NIJ ML -1 T -2 Quantités physiques (et leur mesure) m = 0,2 kg = 7,06 oz Unités (quantités physiques particulières) kilo- gramme mètre seconde kelvin mole ampère candela pascal SymboleskgmsKmolAcdPa = kg. m -1.s -2 7 grandeurs de base Pression est « homogène à » ML -1 T -2 plusieurs grandeurs ont la même dimension grandeurs dérivées… 1 seule quantité m, n mesures (n comparaisons à n quantités étalon, à n unités) Système = grandeurs de base ; unités 6 qualitatif quantitatif unités dérivées… 2 5
3 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM long = 2 x largeur ( en cm, en m, en µm, en pouces … ) Lois physiques : relient des quantités physiques, indépendamment des unités de base choisies pour les mesurer elles sont indépendantes du système d’unités L en cm, en m, en µm, en pouces…, T en s, en µs, en minutes, en heures… 4 quantités, mais seulement 2 unités de base 2) Invariance des lois physiques
4 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM Conséquences : à travers un exemple Loi physique supposée inconnue ou trop compliquée Remarque : analyse dimensionnelle est utilisée majoritairement quand on ne sait pas écrire ou pas résoudre les équations T = ? l m 00 g 1 ère étape : établir liste des variables ( pb souvent difficile ) T = f ( m, g, l, 0 )(eq. 1) ne pas oublier ! est une variable… intervient dans le phénomène physique ; est une variable au sens de l’A.D. même si valeur constante) - quid si M en kg M en g ?grandeur M n’apparait que dans m valeur numérique du membre de droite change, alors que valeur numérique du membre de gauche ne change pas (eq. 1) n’est pas une loi physique !!! 3) Invariance des lois physiques : conséquences long = 2 x largeur
5 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM Conséquences : à travers un exemple - soit il manque à droite une variable qui contient M (et permet d’avoir M a /M a ) - soit m ne figure pas dans (eq. 1) T = ? l m 00 g T = f ( m, g, l, 0 )(eq. 1) n’est pas une loi physique !!! Souvent pas évident de trancher dans un cas réel. Moyens : - par le raisonnement (vraiment pas d’autre variable, la physique me dit que…) - par l’expérience T = ? l m 00 g T = f ’ ( m, g, l, 0 )(eq. 1’) 3) Invariance des lois physiques : conséquences long = 2 x largeur
6 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f ’( m, g, l, 0 )(eq. 1’) 2 ème étape : matrice dimensionnelle T = f ’ ( m, g, l, 0 )(eq. 1’) L T Remarque : mesure angle en radian = arc / rayon pas de dimension quid si L en m L en mm ? Seule solution : l et g n’apparaissent jamais séparément, toujours sous la forme l/g T = f ’’( m, l / g, 0 )(eq. 1’’) 3) Invariance des lois physiques : conséquences
7 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f’’( m, l / g, 0 )(eq. 1’’) quid si T en s T en minutes ? Seule solution : - que f’’ ait la dimension d’un temps - que l’on puisse écrire eq. 1’’ sous la forme : (eq. 1’’’) eq. 1’’’ représente la même loi physique que eq. 1’ 3) Invariance des lois physiques : conséquences
8 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM « compression » de l’énoncé de la même loi physique. Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f ’( m, g, l, 0 )(eq. 1’) 4 quantités, dont 3 dimensionnées (eq. 1’’’) 2 nbs (2 quantités physiques) sans dimension 3) Invariance des lois physiques : conséquences
9 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM Théorème de Vaschy-Buckingham : Toute relation physique entre n quantités physiques peut être réduite à une relation entre m = n – r nombres adimensionnels indépendants entre eux. r : - rang de la matrice dimensionnelle, dimension de l’espace défini par les vecteurs colonne - ≤ à nb de grandeurs de base de la matrice dimensionnelle (souvent = ) - nb de variables (de grandeurs physiques) dimensionnellement indépendantes entre elles, nombre d’échelles caractéristiques possibles Conséquences : à travers un exemple T = ? l m 00 g T = f ’( m, g, l, 0 )(eq. 1’) 4 quantités, dont 3 dimensionnées (eq. 1’’’) 2 nbs (2 quantités physiques) sans dimension 4) Théorème de Vaschy-Buckingham T = f ’ ( m, g, l, 0 ) L T r = 1 m = 3-1 F 2 /F 1, F 3 /F 1
10 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM établir liste des n variables ( au sens de l’analyse dim.) écrire la matrice dimensionnelle déterminer son rang r (le nb de variables dimensionnellement indépendantes) choisir r « échelles caractéristiques » (L, V, v 2 en mécanique des fluides) adimensionner les n – r autres variables grâce aux échelles caractéristiques 5) Méthode : synthèse r variables deviennent des « échelles caractéristiques», des unités n – r variables deviennent des nombres sans dimension T = f ’ ( m, g, l, 0 ) L T l, g : échelles caractéristiques du problème : nombres sans dimension : mesure de T dans le système d’unités l, g
11 Ex: Traînée - sur une sphère en mouvement dans un fluide immobile - sur une sphère immobile dans un fluide en mouvement I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 5) Méthode par l’exemple
Approche physique, puis analyse dimensionnelle quand physique butte 12 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 5) Méthode par l’exemple Ex: Transfert thermique aux interfaces à la paroi d’une conduite autour d’un fil chaud
13 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 5) Méthode par l’exemple Approche physique : modèle de Prandtl - loin de la paroi : T uniforme (conséquence de la turbulence) - tout près de la paroi : couche limite thermique épaisseur T avec transfert par conduction Q (W) = k T/ T. A ≡ h. A T T = ? ou h = k / T. = ? analyse dimensionnelle Ex: Transfert thermique aux interfaces TT à la paroi d’une conduite autour d’un fil chaud TT
14 r variables deviennent des « échelles caractéristiques», des unités n – r variables deviennent des nombres sans dimension l, g : échelles caractéristiques du problème : nombres sans dimension : mesure de T dans le système d’unités l, g I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM établir liste des n variables ( au sens de l’analyse dim.) écrire la matrice dimensionnelle déterminer son rang r (le nb de variables dimensionnellement indépendantes) choisir r « échelles caractéristiques » (L, V, v 2 en mécanique des fluides) adimensionner les n – r autres variables grâce aux échelles caractéristiques 5) Méthode : synthèse T = f ’ ( m, g, l, 0 ) L T autour d’un fil chaud h = k / T. = ? TT
15
I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 16 4) Obtention des variables réduites Graphe Cx = f (Re) V D
I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 17 4) Obtention des variables réduites Graphe Nu = f (Re) 5) Méthode par l’exemple autour d’un fil chaud h = k / T. = ? TT
18 Le théorème « comprime » un énoncé, il remplace les variables initiales par un nombre plus faible de nombres adimensionnels : - il faut lui fournir la liste initiale des variables c ’est souvent un pb. difficile - il ne fournit pas f, la fonction recherchée f généralement obtenue par l’expérience f est une corrélation I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 6) Limites du théorème
19 Réduction du nombre d ’expériences F 0 = f (V 0, D 0, 0 0 )=>~ 10 4 expériences! Cx = f (Re) =>~ 10 expériences Traiter les problèmes sans équations - (non connues) ou non solubles - emploi de corrélations Ex: Résistance à l ’avancement d ’un navire Froude 1869/1870 Écoulement d ’un liquide en conduite Reynolds 1883 I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 7) intérêt du théorème
20 V D Cx = f (Re) - bille pour l ’expérience - grain de sable qui décante dans l ’eau - astéroïde qui entre dans l ’atmosphère ==> même corrélation Cx = f (Re) « Faites vos gaffes à petite échelle Tirez vos profits à grande échelle » Baekeland I - THEOREME VASCHY-BUCKINGHAM 7) intérêt du théorème
V 0 ( V 0 2 /2) D0D0 V 0 ( V 0 2 /2) D0D0 Conditions aux limites ≠ 21 Exemple: Navier - Stokes II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE (champ de P, de v…)
22
23 Exemple: Navier - Stokes II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE
24 f(x 1, x 2, …, x n, p 1, …, p m, …, k 1, …, k p ) = 0 f connue f (x 1 *, x 2 *, …, x n *, 1, 2 ) = 0 Intérêt: - diminuer le nombre de paramètres - les remplacer par des nombres adimensionnels * caractérisation universelle du pb. * quantifient phénomènes antagonistes * permettent choix de simplifications II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE
25 - permet maquettes (similitude) si mêmes Re, Fr, CI*, CL* aux deux échelles - justifie approximations ex : Re >> 1 visqueux << inertie écoulement laminaire II – ADIMENSIONNER UNE EQUATION APPROCHE LOCALE
26 Nombres adimensionnels classiques (méca flu)
27 Bilans Macroscopiques connaissance des variables : - moyennes (T dans le réacteur) - ou globales (poussée, portance) Analyse dimensionnelle * vient en complément à expérience et à bilans locaux. * a permis: - amélioration aérodynamique des voitures - développement de l’aviation, du nucléaire... Bilans locaux - connaissance complète des champs P(x,y,z,t), T(x,y,z,t), (x,y,z,t)... - résolution (très) lourde cas d ’école ou CFD Équations connues et solubles Expérience quand autres approches insuffisantes CONCLUSION
28 CONCLUSION “ I have often been impressed by the scanty * attention paid even by original workers in physics to the great principle of similitude. It happens not infrequently that results in the form of « laws » are put forward as novelties on the basis of elaborate experiments, which might have been predicted a priori after a few minutes ’ consideration.” Lord Rayleigh * scanty: peu abondante, insuffisante