Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre 2006 Mohamed HAYEK François LEHMANN Philippe ACKERER Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Equation de l’écoulement dans un milieu poreux non saturé (Equation de Richards) - Condition à la limite supérieure: - Condition à la limite inférieure:

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Relations entre h, K, et Le modèle de van Genuchten-Mualem model (1980):

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre But du travail Hypothèse: les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone. Problèmes à résoudre: 1.Trouver la distribution des zones dans le domaine. 2.Estimer les paramètres dans chaque zone (Résolution du problème inverse).

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Problème 2: Estimation des paramètres hydrodynamiques (Résolution du problème inverse)

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Résolution de l’équation de l’écoulement (le problème direct) Linéarisation: Picard, Newton-Raphson, Primary variable switching (Diersch and Perrochet, 1999) - Primary variable switching: Résidu du système: On linéarise par rapport à la variable X:

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Pression imposée Comparaison entre les différentes méthodes de linéarisation Pression imposée

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre plus rapide si N p n’est pas assez grand Formulation du problème inverse - La fonction objectif: - Minimisation: les algorithmes de minimisation les plus fréquents: Gauss-Newton et Quasi-Newton Gauss-NewtonQuasi-Newton Calcul exact du Hessien à partir des sensibilités Approcher le Hessien sans jamais le calculer

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Méthode de Gauss-Newton (Algorithme de Levenberg Marquardt) Gradient: Jacobien:

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Sensibilités: Un système linéaire par paramètre

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Problème inverse

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Problème 1: Déterminer la distribution des zones dans le domaine

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Indicateur de raffinement (Chavent and Bissel, 1998, Ben Ameur et al., 2002) Au premier ordre: discontinuité:

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre au minimum: Indicateur de Raffinement

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Indicateur correspondant au paramètre p k et à la localisation i Indicateur de raffinement multidimensionnel, Indicateur normalisé : Indicateur multidimensionnel Normalisation Norme

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Méthode de l’état adjoint: On considère le problème d’optimisation suivant: Afin de résoudre ce problème, on introduit le Lagrangien: Pour calculer les gradients locaux, on résout le système adjoint: Calcul des gradients local

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Système adjoint: Les gradients locaux sont calculés par:

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Algorithme de raffinement

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Exemples Numériques: Cas de 3 zones Zone 1 Zone 2 Zone cm 40 cm 59.5 cm z=0 11 cm 36 cm 76 cm Condition à la limite inférieureCondition à la limite supérieure 5 cm 0.5 cm5.5 cm 10.5 cm 15.5 cm C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 z

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Première itération 60.5 cm C 8 C 15 C 14 C 13 C 11 C 9 C 10 C 12

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Deuxième itération 20.5 cm C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 Zone 1 Zone 2

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre cm Zone 1 Zone cm Zone 1 Zone 2 Zone cm 60.5 cm Paramétrisation initiale Paramétrisation obtenue à la première itération Paramétrisation obtenue à la deuxième itération Cas de 3 zones

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Exemples numériques: Cas de 5 zones Après quatre itérations: 5 cm 0.5 cm5.5 cm 10.5 cm 15.5 cm C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 z

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Cas où les mesures sont entachées d’erreurs: Cas de 3 zones Zone 1 Zone 2 Zone cm 40 cm 59.5 cm z=0 11 cm 36 cm 76 cm La paramétrisation exacte a été retrouvée après deux itérations. Mêmes coupes sélectionnées à chaque itération que dans le cas sans erreur de mesure.

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Influence des positions des points de mesures Zone 1 Zone 2 Zone cm 40 cm 59.5 cm z=0 11 cm 100 cm 75 cm La paramétrisation exacte a été retrouvée après deux itérations. Plus de coupes sélectionnées à chaque itération.. Les paramètres sont parfaitement estimés à l’exception de et de la zone 2.

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé MOMAS-Thème E: Problèmes inverses et analyse d’incertitudes / 23 Octobre Conclusion Un algorithme de paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé a été présenté: Les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone. L’indicateur de raffinement correspondant à chaque zone a été utilisé afin de de définir l’indicateur multidimensionnel. Les résultats numériques sont encourageants et montrent la robustesse de l’algorithme.