Cours de base: Programmation linéaire Dr TARI Abdelkamel Maître de Conférences Habilité Chef du projet CRITT-Béjaia Directeur du Laboratoire LIMED Université de Béjaia Béjaia, 2015

Chapitre 1 Introduction à la Programmation Linéaire (PL) 2

Définition de la RO Operations Research (OR) is a discipline that deals with application of advanced analytical methods to help make better decisions. (Wikipédia). Advanced analytical methods include mathematical logic, graph theory, Network Analysis, Petri Net, Queuing Theory, simulation etc. Concevoir et implémenter des approches pour résoudre des problématiques liées à des domaines diverses (informatique, médecine, économie, finance, militaire etc.) jusqu’à satisfaction du (des) décideur (s). 3

Méthodologie d’approche 1- Analyse du système dans lequel le problème est posé (Approche CATWOE) 2- Identifier les facteurs (Contrôlables et non contrôlables) et les objectifs 3- Construire le modèle (Graphe, Réseaux de Pétri, Mathématiques, Simulation etc.) 4) Elaborer une approche de résolution (exacte ou approchée) 5- Concevoir et implémenter les algorithmes de l’approche de résolution 4

Approches de résolution (1/2) Méthodes exactes: – Programmation linéaire (Simplexe et ses variantes) – Programmation non linéaire avec ou sans contraintes (relaxation de Lagrange, Khun Tecker – Programmation en nombres entiers et bivalentes (Branch and Bound) – Arbre recouvrant (Algorithme Glouton: Kruskal) – Cheminement (Algorithme Glouton:Djikstra, Bellman, Ford) – Flôt (Ford et Fulkerson) – Etc. 5

Approches de résolution (2/2) Méthodes approchées – Heuristique (plus proche voisin, meilleur insertion etc.) – Meta heuristique (algorithme génétique, recherche taboo, recuit simulé etc.) Programmation dynamique Programmation mathématique 6

Introduction à la Programmation Linéaire (PL) Développée par G.B. DANTZIG (1947) dans ses travaux pour U.S Air Force lors de la seconde guerre mondiale. Développement rapide de PL grâce au développement de l’informatique (hard et soft). Plusieurs applications en pratique (les finances, les transports, la distribution, la sidérurgie etc.) 7

Quelques exemples de modélisation (1/2) Exemple 1: Problème de répartition de ressources Une usine fabrique trois types de pièces p 1, p 2 et p 3 à l’aide de deux machines M 1 et M 2 dans un ordre indifférent et pendant les temps suivants (en minutes) On suppose que la machine M 1 est disponible t 1 heures, la machine M 2 est t 2 heures. Le profit réalisé sur une pièce de p 1 est  1 et sur une pièce de p 2 est de  2 et enfin sur une pièce de p 3 est de  3. Combien doit on fabriquer de pièces en p 1, p 2 et p 3 pour avoir un profit maximum? 8 p1p1 p2p2 p3p3 M1M1 t 11 t 12 t 13 M2M2 t 21 t 22 t 23

Modélisation de l’Exemple 1 Objectif: Maximiser le profit total Contraintes (facteurs non contrôlables): Disponibilités des machines M 1 et M 2 Non négativité des variables de décision Facteurs contrôlables (variables de décision) Soient x j le nombre d’unités à fabriquer de la pièce j (j=1, 2, 3) Le modèle mathématique (PL) est: Max Z=  1 x 1 +  2 x 2 +  3 x 3 t 11 x 1 + t 12 x 2 + t 13 x 3  60 t 1 t 21 x 1 + t 22 x 2 + t 23 x 3  60 t 2 x 1, x 2, x 3  0 9

Quelques exemples de modélisation (2/2) Exemple 2: Problème de régime alimentaire Supposons que les régimes alimentaires acceptables pour certains animaux sont décrits par les quantités journalières minimales des divers éléments nécessaires à la nutrition (calories, vitamines, éléments minéraux etc.). Supposons que nous disposons de n aliments et m éléments nutritifs. La disponibilité de chaque aliment j est b j (j=1, …, n) unités de poids. Les besoins pour chaque élément nutritif i (i=1,…, m) est a i (mg). Soient a ij la quantité d’éléments nutritifs i contenue dans une unité de poids de l’aliment j et c j le coût unitaire de l’aliment j. Quelle est la composition minimale à inclure dans le régime alimentaire ? 10

Modélisation de l’Exemple 2 Objectif: Minimiser le coût total du régime alimentaire Contraintes: Besoins totaux du régime alimentaire en éléments nutritifs Disponibilité de chaque aliment Variables de décision: xj (j=1,…, n): Nombre d’unités de l’aliment j à inclure dans le régime alimentaire Le modèle mathématique est: 11

Définition d’un Programme Linéaire (PL) Définition 1: Un programme linéaire est un problème qui consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction objectif linéaire à plusieurs variables soumise à un ensemble de contraintes linéaires. En général, ce PL s’exprime comme suit: Opt Z= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ….+ c n x n a 11 x 1 + …..+ a 1n x n R 1 b 1 a 21 x 1 + …..+ a 2n x n R 2 b 2. a m1 x 1 + …..+ a mn x n R m b m R 1,…, R m sont des égalités ou inégalités c 1, …, c m et b 1, …, b m sont des réels 12

Différentes formes d’un PL (1/2) Définition 2: Forme standard Ou encore: Max Z = c x A x= b x  0 13

Différentes formes d’un PL (2/2) Définition 3: Forme canonique Ou encore: Max Z = c x A x  b x  0 Définition 4: Forme mixte Même fonction objectif que les deux précédentes formes sauf que certaines contraintes sont des « = » d’autres sont des inégalités «  » 14

Proposition (1/2) Tout programme linéaire PL peut se mettre sous la forme standard ou canonique. En effet, il suffit de faire les transformations suivantes: T1) Min Z= - Max (-Z) T2) Lorsque une contrainte est sous forme d’une inégalité. Deux cas se présentent: a i1 x 1 + …..+ a in x n  b i. On introduit une variable d’écart e i et on obtient: a i1 x 1 + …..+ a in x n + e i = b i a i1 x 1 + …..+ a in x n  b i. On introduit une variable d’écart e i et on obtient: a i1 x 1 + …..+ a in x n - e i = b i 15

Proposition (2/2) T3) Lorsqu’une contrainte est sous forme d’une égalité: a i1 x 1 + …..+ a in x n = b i On la transforme en deux inégalités a i1 x 1 + …..+ a in x n  b i et a i1 x 1 + …..+ a in x n  b i  -a i1 x 1 + …..- a in x n  -b i T4) Si un bi est négatif a i1 x 1 + …..+ a in x n = b i avec b i < 0 - a i1 x 1 …..- a in x n = - b i et - b i > 0 T5) Si une variable x j est quelconque On pose x j = x 1 j – x 2 j avec x 1 j  0 et x 2 j  0 16

Exemple Soit le PL suivant Min Z = 2 x 1 + x 2 – x 3 + x 4 3 x 1 – x 2  5 x x 4  8 2 x 1 – x 3  1 Ecrire la forme standard et la forme canonique de ce PL Forme standard: Min Z  Max (-Z). On introduit les variables d’écart e1, e2 et e3 aux trois contraintes respectives et on obtient Max Z’ = - 2 x 1 - x 2 + x 3 - x 4 3 x 1 – x 2 - e 1 = 5 x x 4 + e 2 = 8 2 x 1 – x 3 -e 3 = 1 17

Concepts et définitions (1/5) Définition 5: Espace de solution Soit le PL mis sous sa forme standard (S): Max Z = c x (i) A x= b (ii) A= A(mxn) x  0 (iii) r(A)= m Une solution du PL est un vecteur (x 1, …, x n )  R n (ii). Si de plus, elle vérifie (iii) elle est dite solution réalisable. Une base du système représente tout ensemble de m vecteurs linéairement indépendants. Les m variables associées aux vecteurs de base sont appelées variables de base, on les désigne par x B. Les autres variables sont dites hors base, nous les notons x HB. 18

Concepts et définitions (2/5) Notons par: I: l’ensemble des indices des variables de base J: l’ensemble des indices des variables hors base A B = (a j ) j  I, A HB =(a j ) j  J, c B =(c j ) j  I et c HB =(c j ) j  J Alors (S) peut être réécrit sous la forme suivante: Max Z = c B x B + c HB x HB A B x B + A HB x HB = b x B, x HB  0 Or x HB = 0 et r(A B ) = m on aura A B x B = b  x’ B = A -1 B b La solution (A -1 B b, 0) est appelée solution de base de (S). Elle est dite solution de base réalisable si x’ B  0. Une solution de base réalisable est dite optimale si elle maximise Z. 19

C oncepts et définitions (3/5) Définition 6: Un ensemble C de R n est dit convexe s’il vérifie:  x 1, x 2  C, 0   1 alors x 1 + (1- ) x 2  C Exemples: Proposition: L’ensemble des solutions réalisables de S est un ensemble convexe. 20 Ensembles convexes: Ensembles non convexes

Concepts et définitions (4/5) Définition 7: On appelle combinaison convexe des points (solutions) x 1, …, x n de R n toute combinaison linéaire de ces points, ie,  1 x 1 +  2 x 2 +…+  n x n avec  1 +…+  n =1 Définition 8: Un point x d’un ensemble convexe C est dit point extrême si x ne peut pas s’exprimer comme combinaison linéaire convexe des autres points de C. Définition 9: Un hyperplan de R n est l’ensemble suivant: H = {x  R n :  1 x 1 +  2 x 2 +…+  n x n =  } Un hyperplan est de dimension (n-1), dim (H)= (n-1) L’ensemble H + = {x  R n :  1 x 1 +  2 x 2 +…+  n x n  } est appelé demi-espace fermé. 21

Concepts et définitions (5/5) Définition 9: L’intersection d’un nombre fini de demi-espace est appelé polyèdre. S’il est non vide et borné, il est appelé polytope. Définition 10: Un simplexe de R n tout polytope convexe ayant (n+1) points extrêmes. Théorème: L’ensemble des solutions réalisables du problème S est un polyèdre convexe fermé. Théorème: L’ensemble des points extrêmes du polyèdre convexe S est l’ensemble des solutions de base réalisables. 22

Concepts et définitions Théorème: La fonction objectif du problème S atteint son maximum en un point extrême (une solution de base réalisable). Si la fonction objectif atteint son maximum en plusieurs points extrêmes elle possèdera cette valeur maximale en tout point combinaison linéaire de ces points extrêmes. Exemple: Soit le programme linéaire mis sous sa forme standard: Max Z= 6 x x 2 x 1 + x 2 + x 3 = 8 -2 x x 2 + x 4 = 6 x 1 – x 2 +x 5 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5  0 Déterminer toutes les solutions de base réalisable.. Quelle est la solution optimale? 23