Simulation en Dynamique des Fluides M2 SDFT, Université Paris-Sud G. Kasperski, C.T. Pham,

Organisation de l’UE Méthodes des éléments finis (C.T. Pham, 15h, mercredi après-midi) Méthodes spectrales, résolution des équations de Navier-Stokes (G. Kasperski, 15h, mercredi après-midi, à la suite)

Ma partie… Généralités sur la simulation numérique Méthodes des résidus pondérés (1 ère version…) Cours de méthodes spectrales, bases théoriques, nombreuses applications Matlab, petit projet sous Matlab à réaliser. Stratégies pour la résolution des équations de Navier-Stokes.

Pourquoi des simulations numériques ? - Investigation du comportement de systèmes complexes (absence de solution analytique). - Mise en œuvre et test de modèles théoriques pour confrontation aux expériences. - Cas inaccessibles aux méthodes expérimentales non intrusives. - Accès à des données expérimentales difficilement mesurables. -Souplesse phase R&D d’un projet industriel, coût moindre que la réalisation de prototypes.

Écoulement réel. Modélisation physique : approximation de Boussinesq, conditions aux limites choisies … Modèle mathématique : équations de Navier-Stokes (ici incompressibles). Modèle numérique discret décrivant le problème comme de grands systèmes linéaires à résoudre successivement. Résolution des systèmes linéaires : Utilisation de Matlab. Solution numérique. Navier-Stokes 2D Convection thermique

Pourquoi s’en méfier ? Sources d’erreurs inhérentes aux schémas Seule la physique modélisée est observée. Coût en temps de calcul augmentant très rapidement avec la précision souhaitée : risque de sous-résolution à grand Re

Pourquoi des méthodes spectrales ? - un peu compliquées à appréhender - souvent un peu lourdes à mettre en œuvre - limitées à des géométries simples Alors qu’elles sont généralement

Computational predictability of time-dependent natural convection flows in enclosures (including a benchmark solution) Mark A. Christon, Philip M. Gresho and Steven B. Sutton, Int. J. Numer. Meth. Fluids 2002; 40:953– 980

I. Les méthodes des résidus pondérés - Discrétisation : représentation des solutions sous forme discrète, comme valeurs sur un maillage ou par décomposition sur une base de fonctions. Résidus pondérés : seconde approche… mais nous montrerons qu’elles ne sont pas forcément antinomiques (le maillage peut servir de support à la construction de la base de fonctions).

Problème différentiel sur un domaine Ω de frontière  : exemple : équation de la chaleur avec des conditions aux limites :   A noter :

On cherche à approcher la solution exacte u e d’une équation différentielle par une solution numérique U : Les  i sont appelées fonctions de forme, fonctions modales ou fonctions test. Elles doivent être linéairement indépendantes les unes des autres (définition unique de U). La qualité de l’approximation dépendra du choix de ces fonctions : si on souhaite représenter exactement une solution dans un espace de fonctions donné, les  i doivent en former une base. La solution est représentée en fonction du temps par les N+1 valeurs c i (t) (nous traiterons la discrétisation temporelle par la suite). Discrétisation Spatiale

Ces résidus sont non nuls a priori, car les équations ne sont exactement vérifiées que si U=u e. Ils mesurent l’erreur locale commise sur la satisfaction de l’équation différentielle. Le but de la méthode numérique va être de chercher à rendre ce résidu le plus petit possible. Cela se fera en déterminant les N+1 coefficients c i de la discrétisation pour un problème stationnaire. Résidus : ils qualifient l’erreur commise en appliquant l’équation différentielle à résoudre à une solution discrétisée. (N.B. il existe beaucoup de définitions d’erreurs différentes)

Soient deux fonctions f et g définies sur un domaine D, l’intégrale Espace fonctionnel : structure d’espace vectoriel. avec w une fonction strictement positive définit un produit scalaire des fonctions f et g. forme bilinéaire en f et g symétrique en f et g positive définie Nous l’utiliserons ici avec w=1. Aparté matheux :

On cherche à imposer l’annulation du résidu… d’un certain point de vue : en le rendant orthogonal à un ensemble de fonctions choisies (P,P). Le traitement des conditions aux limites peut faire l’objet de différentes techniques via le choix des couples de fonctions de pondération. N+1 inconnues pour la solution N+1 équations à écrire N+1 couples de fonctions (P j,P j ) à choisir.   - Résidus … Pondérés : qualifie la démarche utilisée pour annuler ce résidu.

Méthodes de collocation : les fonctions de pondération sont des fonctions Dirac définies à partir d’un jeu de points définis dans le domaine et sur le bord. Les équations deviennent simplement :  

Méthodes de sous-domaines On définit un ensemble de N+1 sous-domaines D j de  Domaine intérieur DjDj Implémentation spéciale des conditions aux limites : en général, -Collocation pour les conditions de Dirichlet -Intégration dans l’équation obtenue sur un sous-domaine de bord pour Neumann. L’équation différentielle est d’abord intégrée analytiquement. Le degré maximal de dérivation apparaissant dans le problème est diminué d’une unité : il s’agit d’une formulation faible du problème. Intérêt : les fonctions  j utilisées peuvent être de classe de continuité inférieure à celle nécessaire à la résolution de l’équation différentielle. Une base de fonctions linéaires par morceaux peut être utilisée pour approcher la solution d’un problème faisant intervenir des dérivées secondes (diffusion).

Méthode des moindres carrés On utilise la base  j de la décomposition modale. On cherche ainsi un minimum du carré de la norme L 2 du résidu. La méthode est en général complexe à mettre en œuvre et est relativement peu utilisée. Par passage à la limite, on définit la norme infinie de la fonction comme le maximum de la valeur absolue de f sur le domaine. On utilise la base  j de la décomposition modale. Aparté matheux :

Méthode de Galerkin On utilise encore la base  j de la décomposition modale. La méthode impose au résidu d’être orthogonal à l’espace de définition de la solution.

Méthode de Galerkin en formulation faible Si les fonctions  j sont dérivables, il est possible d’intégrer par partie (dans le cas 1D) ou d’utiliser une formule de Green (cas multidimensionnel) pour diminuer le degré de dérivation maximal intervenant dans le problème différentiel. On obtient alors une formulation faible du problème. Formule de Green : On obtient la formulation faible en utilisant la fonction de pondération à la place de u et le terme de plus haut degré de dérivation du résidu à la place de v.

Les grandes familles de méthodes numériques pour les EDP Collocation Sous-domaines Galerkin Moindres carrés formulation forte formulation forte formulation faible formulation forte ou faible (plutôt faible) - Idée des différences finies (mais pas de décomposition modale) -Collocation spectrale Chebyshev -Volumes finis -Volumes spectraux ….. - Eléments finis - Eléments spectraux Legendre - Chebyshev Galerkin - Chebyshev Tau - vue une fois dans une publication. On aura une précision spectrale ou une précision finie selon le choix de la base  j

II. Discrétisation temporelle Une fois la méthode des résidus pondérés appliquée au problème, restent à traiter les termes de dérivation temporelle. On ne traitera que les équations d’évolution où ce terme apparaît seul et au premier ordre (cas des équations de Navier-Stokes). Nous avons un problème du type où c représente le vecteur défini par les coefficients de la discrétisation. Contrairement au domaine spatial, le domaine temporel à traiter n’est pas défini à l’avance. Recherche de solution stationnaire, attente d’établissement d’instabilité, … Pour la discrétisation temporelle, on utilisera toujours une approximation locale de la dérivée temporelle, faisant intervenir le vecteur solution au temps du calcul et à quelques instants précédents.

23 On obtient alors la solution par approximation locale de la dérivée temporelle. La discrétisation équivaut à la dérivée temporelle moyennant une erreur temporelle d’ordre 1 (puissance à laquelle intervient le pas de temps dans l’erreur). De même, cette dérivée temporelle peut être écrite Il suffit d’exprimer le second membre f au même temps que la dérivée temporelle (ou approché au même temps avec le même ordre de précision) pour obtenir un schéma complet.

Adams Bashforth : Adams Moulton : Euler retardé d’ordre 2 : Quelques schémas classiques : Saute-moutons (leapfrog, ordre 2): Différence entre les schémas de différentes couleurs ?

Pour un schéma explicite, c n’intervient au temps n+1 que dans le terme de dérivée temporelle. Le système linéaire résultant est plus simple à résoudre : éventuellement diagonal. Par contre le schéma devient conditionnellement stable : cela induit des restrictions sur les pas de temps utilisables. Terme d’advection : limitation dite CFL de type Terme de diffusion : limitation de type Pour un schéma implicite, c intervient au temps n+1 dans le terme de dérivée temporelle ainsi que dans l’expression de f. Le système linéaire est plus complexe à résoudre. Par contre, il est beaucoup plus stable (souvent inconditionnellement stable). acceptable inacceptable

Traitement des termes non linéaires. En règle générale, les termes non-linéaires d’une équation d’évolution temporelle sont traités de façon explicite. Pour Navier-Stokes, ce sont des termes d’advection et il y aura un critère CFL à satisfaire sur le pas de temps. Ils sont donc simplement évalués aux instants précédents et n’entrent pas dans l’opérateur à résoudre numériquement. Des procédures de recherche de solution stationnaires de problèmes non linéaires existent mais ne seront pas traités dans ce cours (voir les méthodes de Newton-Raphson). Approximation : Erreur de l’approximation Schéma d’Euler retardé explicite : Schéma