1 Bilans microscopiques en mécanique des fluides Michel COURNIL

2 Equation de continuité d’un fluide: 0- Préambule j i Equation d’incompressibilité d’un fluide:

1- Introduction : loi de Newton et viscosité schéma introductif Fluide newtonien : profil linéaire de vitesse contrainte viscosité dynamique réalité du transfert de quantité de mouvement 3 x Y y Paroi mobile : v = v 0 Paroi fixe : v = 0 Fluide Non glissement

 contrainte visqueuse exercée par le fluide au niveau local  ij j i  ij : densité de flux de quantité de mouvement  définition générale d’un fluide newtonien  viscosité dynamique : M.L -1.T -1 unité S.I. : Poiseuille ou Pa.s eau liquide : Pa.s éther liquide : 0.24 x Pa.s glycérol : 1.07 Pa.s air : 2. x Pa.s tous les fluides ne sont pas newtoniens... 4

Rhéoépaississant Rhéofluidifiant Newtonien Plastique Bingham  tous les fluides ne sont pas newtoniens...

 Objectif général d’un bilan : identifier, formuler, et mettre en équation, les causes de variation d’une grandeur extensive : quantité de mouvement, énergie, masse,.... : F + conditions initiales et aux limites 6 2- Introduction : la notion de bilan local bilans globaux sur F  systèmes supposés homogènes (uniformes)  pas de coordonnée d’espace  conditions aux limites intégrées dans le bilan  forme mathématique : EDO sur F avec condition initiale bilans locaux sur f  tiennent compte de la non-uniformité des milieux  présence de coordonnées d’espace et de gradients  conditions aux limites explicites  forme mathématique : EDP  conditions initiales

Equation du mouvement d’un élément de fluide X2X2 X1X1 X3X3 dX 1 dX 3 Equation de la dynamique : forces appliquées = poids +  (contraintes exercées par le fluide x surface d’action) 7 3-Ecriture du bilan local de quantité de mouvement

X2X2 X1X1 X3X3 dX 1 dX 3 8 Dans la direction 1 par ex. :  ’ 21

9 autres formes  ’ =  + P  ij  cas du fluide idéal ou parfait :  = 0 Equation d’Euler Bilan local de quantité de mouvement

10  cas du fluide newtonien incompressible Equation de Navier-Stokes (incompressible) Écoulement stationnaire :

Ecoulement laminaire stationnaire entre deux plaques horizontales x y Seul v x existe et ne varie que selon y Profil parabolique ; débit/longueur 2 1 L 4-Quelques exemples d’écoulements stationnaires incompressibles CL : v x = 0 en y =  D/2

Film liquide Alimentation g  Profil de vitesse  L z x incompressibilité Seule composante non nulle v z (x) Ecoulement laminaire stationnaire d’un film ruisselant C.L. : v z = 0 en x =  et  xz = 0 en x = 0

Exemple d’utilisation de coordonnées autres que rectangulaires Le viscosimètre de Couette Calculer le couple nécessaire pour assurer la vitesse angulaire  ; en déduire la viscosité du fluide Newtonien situé entre les cylindres Les coordonnées cylindriques (r, , z) s’imposent (v r, v , v z ) Analyse qualitative : z n’intervient pas, seul v  non nul et v  fonction de r seulement Hypothèses par défaut : état stationnaire, fluide Newtonien, écoulement laminaire RR R  13

Equation de continuité Bilan de qté de mouvement : équation radiale +m+m Bilan de qté de mouvement : équation angulaire Bilan de qté de mouvement : équation axiale +m+m 14

Conditions aux limites : v  = 0 pour r =  R ; v  =  R pour r = R Moment du couple : Système : 15