Ondelettes Philippe RAVIER Laboratoire PRISME Université d’Orléans 5A EEO option AA

L’analyse temps fréquence Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Compromis entre la résolution temporelle et fréquentielle Bonne résolution fréquentielle Mauvaise résolution temporelle Bonne résolution temporelle Mauvaise résolution fréquentielle Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Le principe de Heisenberg Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Principe : Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

La transformée en ondelette continue :

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Propriétés

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Transformée inverse

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Exemples d’ondelettes continues

Trop long ! Trop court ! Correspond à une démarche naturelle d’analyse Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Intérêt du traitement par ondelettes

Domaines de représentation Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications temps (s) fréquence (Hz) Temps-fréquence temps (s) Facteur d’échelle a Temps-échelle

Le scalogramme Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Quelques exemples 02 4 temps (s) fréquence (Hz) TFCT 02 4 temps (s) fréquence (Hz) TO

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemplesTFCT 04 8 temps (s) fréquence (Hz) 2 6 TO 04 8 temps (s) fréquence (Hz) 2 6

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Chirp linéaire

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Modulation sinusoïdale d’amplitude

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Modulation Sinusoïdale de fréquence

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications Quelques exemples Sinus lent + Sinus rapide après 2 s + Impulsion

Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications - Compromis entre redondance et perte d’information - Formule de reconstruction exacte Discrétisation du plan temps-échelle Comment calculer les coefficients ?

Concept : approximations et détails Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications V0V0 V1V1 V2V2

Principe Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

L’analyse multirésolution (MRA) : définition des V i et W i V -1 V1V1 V -2 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications V0V0

Structure des espaces d’approximation V i  Il existe une fonction de V 0 telle que la famille est appelée la fonction d’échelle En conséquence des propriétés antérieures, l’ensemble des fonctions suivantes forme une base orthonormale V m est une base orthonormée de V 0 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Propriétés de la fonction d’échelle  Equation de définition de la fonction d’échelle h Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Espaces de détail Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Structure des espaces de détail W i   est une base orthonormale pour W 0 est une base orthonormale pour W m Puisqueet   est une base orthonormale pour est l’ondelette mère Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Propriétés de l’ondelette mère Equation de définition de l’ondelette mère Orthogonalité entre les fonctions ondelette et échelle Les deux conditions ci-dessus impliquent Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Propriétés souhaitées des ondelettes dicrètes orthogonalité réalité symétrie support fini Ces propriétés ne peuvent coexister sauf pour l’ondelette de Haar Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Ondelettes de Daubechies Ordre 2 Ordre 3 Ordre 5 Ordre 9

Coefficients d’approximation Coefficients de détail Ondelettes et filtrage numérique Calculs récursifs ANALYSESYNTHESE Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Représentation des coefficients discrets Coût de calcul faible en 0(N)

Possibilité de reconstruire le signal à un niveau de décomposition donné Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Exemples dans le domaine biomédical : - estimation / suppression de bruit - détection de battements cardiaques Exemples en traitement d’image : - compression JPEG2000

Estimation du niveau de bruit Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Débruitage par seuillage de coefficients d’ondelettes Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Suppression d’artéfacts ou de la ligne de base Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Approches usuelles - Détection par préfiltrage / filtrage adapté / seuillage sensible aux variations de l’onde QRS - Détection par ondelettes : utilisent le résultat de décompositions dyadiques sur plusieurs échelles qui ne sont pas a priori les mieux adaptées Approche réalisée - Détection robuste de pics QRS par filtrage adapté local sur 4 coefficients en ondelette - Ondelette sélectionnée : ondelette de Klauder car bien adaptée à la forme QRS - Evaluation des performances au travers de la base de données arrythmiques du MIT/BIH Détection robuste de complexes QRS Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

fréquence temps domaine D motif élémentaire 0 Grille calculée pour couvrir l’incertitude t/f de l’ondelette Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Taux de bonne détection : 98.9 % sur l’enregistrement complet. Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Compression d’images Empreinte digitale du pouce gauche de la base de données du FBI : image d’origine À gauche, celle de droite est reconstruite après compression d’un rapport 26:1 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications premières applications avec les empreintes digitales

Compression d’images : le standard JPEG2000 Ondelettes continues Ondelettes discrètesApplications

Conclusion Travaux récents proposent beaucoup d’autres types de transformées inspirées ondelettes, par exemple : - Ondelettes adaptées (paquets d’ondelettes, ondelettes de Malvar…) - Ridgelet - Curvelet - Contourlet - Brushlet - Ondelettes spectrales - Ondelettes stéréographiques - Ondelettes sur la sphère - …