Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Notion de symétrie 1 jusqu’au XIX° : notion descriptive ex: cristallograhie début XX°:- réflexions symétries/invariances par chgt. coord. «lois de la physique indépendantes du référentiel» Relativité - lien invariance/symétries/quantités conservées (Noether) translation ds le temps conservation Energie translation ds l’espace Impulsion rotation Moment cinétique - transfo. de Lorentz, symétries de jauge etc… les «symétries restreignent le champ du possible » des lois physiques Ex: floraison des particules dans l’interaction forte Les quantités conservées = « contraintes » sur la dynamique des syst. P. Bernier 1

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Notion de symétrie 2 d’où, nouvelle démarche: théories « construites », sur la base de quelques principes ( moindre action, causalité, localité.. Principes quantiques..),et respectant les invariances connues. ex: Eq. De Dirac, Théorie quantique des champs Ces théories deviennent « prédictives ». La théorie précède l’expérience. Ex: le positron, les bosons w et Z de l’interaction faible le pb. est de trouver parmi toutes les dynamiques possibles ( cad. Les lagrangiens et les champs associés) celles et ceux qui sont pertinents et « acceptables » physiquement, cad. ceux qui restent invariants sous les « symétries » de la « nature ». P Bernier 2

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Notion de groupe de symétrie( pour le physicien ) 1Qu’est-ce qu’un groupe, dans ce sens? C’est un ensemble de transformations(translations, rotations, transfo. de Lorentz, etc..) c’est une table de « multiplication » entre ces transformations 2 Ce qui nous intéresse: Ce sont les transformations induites sur les grandeurs physiques: les représentations Un exemple simple: groupe de symétrie du triangle équilatéral(discrète) A X 6 éléments: - identité - 2 rotations R1, R2 de 2Π/3 et 4Π/3 - 3 symétries S a, Sb, Sc Y On peut dresser la table de multiplication B C ci-après P Bernier3

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Notion de groupe de symétrie( pour le physicien ) A B C Mais il n’y a que 3 représentations(irréductibles): tous les éléments sont représentés par 1 rotations et identités sont représentées par 1, symétries par -1 Une représentation matricielle de dimension 2 ( matrices 2x2), la plus intéressante ! I R1 R 2 Sa Sb Sc I I R1 R2 S a Sb Sc R1 R2 I Sb Sc Sa R2 I R1 Sc Sa Sb Sa Sc Sb I R2 R1 Sb Sa Sc R1 I R2 Sc Sb Sa R2 R1 I P Bernier 4

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Notion de groupe de symétrie( pour le physicien ) T(I)= ( ) ; T(R1)= ( ) ; T(R2)= ( ) T(Sa)= ( ) ; T(Sb)= ( ) ; T(Sc)= ( ) Cette représentation est linéaire ; elle agit sur des vecteurs à 2 composantes du plan. Passons à un cas plus complexe, le groupe continu des rotations( 0,2∏), dans l’espace à 3 dimensions. 1 -1/2 -√3/2 √3/2 -1/2 -1/2 √3/2 -√3/2 -1/2 1 -√3/2 -1/2 -1/2 √3/2 √3/2 -1/2 -1/2 -√3/2 P Bernier 5

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes v θ x z x’ Rotation infinitésimale δθ Groupe des rotations et ses représentations SO(3) et SU(2) exemple1: rotation θ, autour de OZ: ei → e’j P Bernier6

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Groupe des rotations et sa représentation SO(3) J est un vecteur dont chaque composante Ji est une matrice Ces matrices sont liées par les relations de commutation : [Jx, Jy] = iJz ; [Jy,Jz] = iJx ; [ Jz, Jx ] = iJy Les 3 Ji, et les relations ci-dessus forment l’algèbre de Lie du Groupe des rotations SO(3) Les 3 Ji sont les générateurs infinitésimaux du groupe. Ils donnent une représentation de dimension 3 du groupe. Nota: il existe aussi une représentation de dim. 1 pour les scalaires Un vecteur est donc bien plus qu’un élément d’un espace vectoriel. C’est un objet qui engendre la représentationSO(3) P Bernier 7

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Groupe des rotations et sa représentation SU(2) A côté des représentations de dim. 1 et 3, y-en-a-t-il une de dim. 2? réponse : oui ! et elle a de curieuses propriétés Pour cela, on cherche des matrices 2x2,qui satisfont l’algèbre de Lie du groupe. Ce sont les ½ matrices de Pauli Les σi/2 sont les générateurs, le1/2 est nécessaire pour respecter l’algèbre. Les matrices de la représentation sont les: or P Bernier 8

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Groupe des rotations et sa représentation SU(2) Ce sont des matrices 2x2, à coefficients complexes, formant le groupe SU(2), alors que les matrices de SO(3) sont réelles. On appelle Spineurs les objets Z( à 2 composantes ) tels que Z’= U(θ) Z -Contrairement aux vecteurs, la condition de réalité d’un spineur n’est pas stable par rotation -d’après l’éq. ci-dessus U(θ,n) = U(θ+ 4∏), le spineur est invariant / rot. de 4∏ -Au total, la représentation SU(2) permet de rendre compte des propriétés - quantiques des particules de spin ½ -Question: Pourquoi la « nature » utilise t-elle cette propriété au niveau microscopique et non au niveau classique? La suite consiste à étendre la démarche aux autres symétries: translations, invariance de Lorentz, etc… P Bernier 9

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Groupe de Lorentz P Bernier10 Comme pour les rotations, on recherche les objets permettant de construire des invariants de lorentz, ceci dans l’espace de Minkowski (4 dimensions) Examinons d’abord la transformation de Lorentz en 2 D (1 espace, temps) Comme pour les rotations, on peut montrer que En appliquant,comme pour les rotations, un développement infinitésimal, on montre que en fonction des opérateurs J et K J= matrices des rotations déjà vues K de composantes 4x4 ci-dessous

Spin ½ et matrices de Pauli Aperçus sur les Symétries et la Théorie des groupes Groupe de Lorentz P Bernier 11 Dans le cas du spin ½,on montre que K=1/2 σ, la matrice de transformation est de la forme: basée sur les matrices de Pauli 2x2 formant le groupe SL(2C) Il en résulte une algèbre de Lie du groupe SO(3,1) avec les commutateurs

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