TORSION SIMPLE Résistance des matériaux A la fin de ce cours, vous devez être capable de: définir la nature des efforts qui sollicitent une poutre à la torsion donner la nature et la répartition des contraintes dans une section droite calculer la contrainte en un point de la poutre écrire la condition de résistance d ’une poutre en torsion calculer l ’angle unitaire de torsion et la rotation de la section droite déterminer le diamètre minimal d ’un arbre cylindrique soumis à la torsion: avec la condition de résistance avec la condition de rigidité calculer le coefficient de concentration de contrainte en torsion pour des arbres avec des variations de sections déterminer le moment de torsion maximal admissible par un arbre cylindrique de diamètre donné:

1. Définition et hypothèses La section droite (S) d ’un solide E est sollicitée en torsion simple si dans R les éléments de réduction du torseur de cohésion s ’expriment par: y y x Mt z G x z Hypothèses sur le solide Le solide est un cylindre de révolution. La RDM ne permet l ’étude en torsion que des poutres droites à section circulaire. Le poids du solide est négligé devant les autres efforts appliqués.

a M0 M2 M1 Mt M M’2 G G1 G2 (GM0,GM)= a R : rayon en mm (S) (S1) x R 2. Etude expérimentale des déformations 2.1. Essai de torsion simple 2.1.1. Description de l ’essai Poutre encastrée en G1 a M0 M2 M1 Mt M R M’2 G G1 G2 x (GM0,GM)= a R : rayon en mm (S) (S1) x On trace avant l ’essai un segment M1M2 sur le cylindre. On applique à l ’extrémité droite de la poutre un moment de torsion Mt en G2. On fait croître Mt à partir de zéro et on mesure l ’angle a.

2.1.2.Résultats des observations: toute section plane et normale à l ’axe du cylindre reste plane et normale à l ’axe ; la distance entre deux sections droites données reste sensiblement constante; le déplacement d ’une section droite (S) est uniquement une rotation d ’angle a autour de son axe; cette rotation est proportionnelle à sa distance x à la section encastrée (S1); il existe entre a et x donc une relation du type: a = k.x Le segment M1M2 se déforme donc suivant une hélice M1M ’2.

Lorsque Mt en G2 croit, on enregistre a Lorsque Mt en G2 croit, on enregistre a. On obtient la courbe ci-dessous. La courbe obtenu est semblable à celle de l ’enregistrement de l’essai d ’extension. (ici courbe pour une éprouvette en acier doux) 2.1.3.Graphe Mt = f (a) Mt Graphe Mt = f (a) C Zone OA: zone élastique, l ’angle a est proportionnel à Mt. Si on annule Mt, la déformation disparaît. Zone AB: zone plastique, la déformation augmente rapidement et devient permanente. si le chargement cesse ,l’éprouvette ne reprend pas son état initial en O ; elle a subi une déformation permanente, par exemple de B elle revient en O’, soit une déformation permanente OO’ D B A MA O ’ O a Zone élastique Zone plastique

dfM = tM . dS z1 s(M,x) = tM z1 s(M,x) = z1 y1 df ds G df M dS 3. Etude des contraintes 3.1. Efforts de cohésion dans une section droite Les forces de cohésion df sont dans le plan de la section droite (S). Le vecteur contrainte est tangent à la section. La contrainte au point M est une contrainte tangentielle tM de cisaillement; la contrainte normale est nulle snM = 0. ( rappel: voir notion de contrainte ) z1 y1 Vecteur contrainte en un point M quelconque: s(M,x) = tM z1 df df M s(M,x) = avec : dS ds G dfM = tM . dS z1 Force de cohésion :

tM : Contrainte tangentielle de cisaillement en mégapascals Mpa 3.2. Loi de Hooke On obtient une relation du même type que la Loi de Hooke pour la traction (rappel: s = E.e en traction). tM = G . gM E 2(1+n) M1 Mo G = avec gM tM : Contrainte tangentielle de cisaillement en mégapascals Mpa G G1 gM : déviation angulaire en radians G : module d ’élasticité transversale en Mpa (mégapascals) E : module d ’élasticité longitudinal en MPa n: coefficient de Poisson Dx

tM = G . q.r gM = q.r a q = x tM M0 M1 a gM M G G1 (S) (S1) x 3.3. Répartition des contraintes dans une section droite (S) y1 q : angle unitaire de torsion M0 M1 a a q = gM x r M x gM = q.r G G1 tM On peut exprimer la contrainte tangentielle en fonction de l ’angle unitaire de torsion et du rayon de la section droite (S) (S1) Z1 x (GM0,GM)= a (M1M0,M1M) = gM r : rayon en mm tM = G . q.r

tM (r) = G.q.r q tmax tmax = G.q.R r C M r O O q en C tmax q C M 3.3.1.Vecteur cisaillement L ’intensité du vecteur est proportionnelle au rayon de la section. La contrainte est maximale en C. r q tmax tM (r) = G.q.r q C tmax = G.q.R M en C tmax r O q C M O R

3.3.2.visualisation de la répartition des contraintes tangentielles dans une section droite cylindrique q r C M O

Mt = G.q.Io q  qlimite 4. Déformation de torsion-rigidité Unités: Mt en N.mm G en Mpa q en rad/mm Io :moment polaire de la section droite en mm4 4.1.Equation de déformation élastique Mt = G.q.Io 4.2. Condition de rigidité Dans certaines applications, il est nécessaire de limiter les déformations de torsion de l ’arbre, en particulier pour les arbres de grande longueur. On impose alors une limite à l ’angle unitaire de torsion (de l ’ordre de 0.5° par mètre): q  qlimite Conversion: 0.5 °/ m  8.73 .10-5 rad / mm

tM = r t max    t max  = R tM en Mpa Mt tM = G.q.r Io Rg Mtmax cs 5. Conditions de résistance 5.1. Expression de txz en fonction de Mt En éliminant l ’angle unitaire de torsion q dans les expression suivantes, on obtient: Unités: tM en Mpa Mt en N.mm r en mm Io en mm4 Mt tM = G.q.r et Mt = G.q.Io tM = r Io 5.2. Condition de résistance Rg Mtmax t max    t max  = R avec cs Io tg est la limite élastique de glissement du matériau (notée également Rg ) cs: coefficient de sécurité

5.3. Concentration de contraintes Les variations de section dues aux épaulements, rainures de clavettes, perçages,etc., provoquent localement des concentrations de contraintes. La contrainte théorique doit donc être multipliée par le coefficient Ktt de concentration de contraintes en torsion. Ktt dépend essentiellement des dimensions et du type de variation de la section. On le détermine par l ’usage de tableaux et d ’abaques. Condition réelle de résistance à la torsion: Rg t r max  t r max = Ktt .t nom  avec cs avec t r max : contrainte réelle maximale tnom : contrainte tangentielle maximale dans la section de plus petit diamètre. Ktt : coefficient de concentration de contrainte en torsion Rg est la limite élastique de glissement du matériau (notée également Rg ) cs: coefficient de sécurité

( ) t r max = Ktt . tnom rc c Mt c Ktt = 1 + at rc c rc Mt 2c 5.3.2. Estimation de Ktt Coefficient de concentration de contraintes Ktt : rc c 0.5 Mt ( c ) Ktt = 1 + at rc c rc t r max = Ktt . tnom Mt 2c r min: rayon de la section minimum (mm2) rc : rayon de courbure (mm) c : dimension caractéristique (mm) at = 2 en torsion pure rc c Mt tnom = rmin (MPa) Io Mt c rc 2c Mt c rc Mt rc Mt 2c c

6.Dimensionnement d ’un arbre à la torsion Un arbre doit transmettre une puissance P (en W) avec une vitesse de rotation w (en rad/s). La contrainte admissible du matériau est Rpg= Rg / cs. L ’arbre est soumis à de la torsion; on néglige les effets de flexion. On veut déterminer le diamètre de l ’arbre. Dimensionnement avec le critère de résistance Ktt . Mt 16.Ktt.Mt Rg tmax =  Rpg  d3 avec Rpg= p.d3 p. Rpg ( ) cs 16 Dimensionnement avec le critère de rigidité Cette condition est utilisée pour les arbres longs. On impose alors une limite à l ’angle unitaire de torsion (de l ’ordre de 0.5° par mètre): Mt Mt 32.Mt   qlimite d4 q = = G.Io G.p. qlimite G.( p.d4 ) 32