La spécialité math en TS

Un esprit différent du tronc commun (et de l'ancienne spécialité) En tronc commun : Les contenus et les capacités attendues sont clairement identifiées. Le cours est généralement développé selon le mode : définitions, théorèmes, démonstrations, exemples et exercices En spécialité : Le but recherché est la résolution de problèmes concrets, les contenus (qui sont définis par le programme) sont plus ou moins approfondis selon les besoins posés par les problèmes choisis (dont une liste est donnée par le programme) « L'enseignement de spécialité prend appui sur la résolution de problèmes »

Exemple d'extrait du programme de tronc commun : Contenus précis Capacités à évaluer

Le programme de spécialité : Premier thème : Arithmétique On part de problématiques souvent concrètes

Second thème : Matrices et suites

Exemples de problèmes : I- En cryptographie Le code de César est la méthode de cryptographie la plus ancienne communément admise par l'histoire. Il consiste en une substitution mono- alphabétique, où la substitution est définie par un décalage de lettres. Par exemple, si on remplace A par D, on remplace B par E, C par F, D par G, etc... En fait si on associe à chaque lettre son rang entre 0 et 25, le codage revient à appliquer la fonction f(x)=x+3, sauf pour X, Y et Z dont les images dépassent 25. On introduit ainsi la notion de congruence : On dira que 27 est congru à 1 modulo 26

Codage affine : C'est le même principe que le code de César sauf qu'on utilise une fonction affine plus complexe du type f(x)=ax+b Par exemple si on utilise f(x)=2 x + 5 la lettre A de rang 0 est codée par F (de rang 5, car f(0)=5) Mais toutes les fonctions ne conviennent pas, par exemple si on cherche la lettre qui code N (de rang13) on trouve que c'est encore F ! Car et donc la lettre N serait elle aussi codée par F. Cela amènera a s'interroger sur les problèmes de divisibilités, de nombres premiers, de congruences.

Chiffre de Vigenère : Pour coder un message, on choisit une clé qui sera un mot de longueur arbitraire. On écrit ensuite cette clé sous le message à coder, en la répétant aussi souvent que nécessaire pour que sous chaque lettre du message à coder, on trouve une lettre de la clé. Pour coder, on regarde dans le tableau l'intersection de la ligne de la lettre à coder avec la colonne de la lettre de la clé. On trouve O. Puis on continue. On trouve : ORRWPSHDAIOEI EQ VBNARFDE.

Mais aussi : Codage RSA : Celui utilisé pour sécuriser les transactions bancaires Clés de vérifications : Comme les derniers chiffres des numéros de comptes bancaires, de numéro de sécurité sociale, des codes barres, des numéro d'ISBN... Et le codage de Hill qui utilise des matrices.

Exemples de Problèmes : II- Avec les matrices Les matrices sont des tableaux de nombres : Matrice qui peut, par exemple, servir afin de créer un indice des prix pour mesurer l'inflation

Numérisation d'images : Cette photographie d’Alan Turing disputant une course de 3 miles en 1946 a donc été « numérisée », c’est-à-dire transformée en une suite de 0 et de 1. Le rectangle est décomposé en un certain nombre de petits carrés, et à chacun de ces carrés a été attribué un nombre qui représente une nuance de gris. La finesse de la décomposition (le nombre de carrés) est la définition de l’image. Et pour une image avec des niveaux de gris, chaque pixel est codé par un nombre entre 0 et 1. On pense aussi aux codes barres 2D

Quelques éléments de théorie des graphes (liés aux matrices et aux probabilités) Le problème à l'origine de la théorie des graphes : Les ponts de Koenigsberg. Leonhard Euler se demandait s'il pouvait faire une promenade le ramenant à son point de départ en passant une et une seule fois sur chaque pont.

Les applications de la théorie des graphes Nombreuses dans les outils de la vie courante : ● Compressions de fichiers informatiques (mp3, zip, jpeg, mpeg...) ● Calculs d'itinéraires (routeurs, gps...) ● Evolutions de systèmes dynamiques : Modèle de diffucion d'Erenfest, systèmes proies-prédateurs Applications qui ne sont pas au programme de TS (parfois vues en MPS ou TES)

Et parmi les autres applications des matrices figurant dans le programme : Le principe du « PageRank » L'origine de Google est basé sur un algorithme inventé par Larry Page qui s'est révélé extrêmement performant pour mesurer la pertinence d'une page Web, selon les mots entrés dans le moteur de recherche Image wikipedia

L'aspect pratique de la spécialité ● 2 heures de spécialité par semaine ● Coefficient 2 au bac (la note de math passe du coefficient 7 au coefficient 9) ● Une seule épreuve : Lors de l'épreuve de math, sur 15pts les exercices sont les mêmes qu'en partie « obligatoire », et un exercice sur 5pts est différent, qui porte sur le programme de spécialité

Quelques raisons pour choisir cette spécialité : ● Un programme plus intéressant qu'en tronc commun, et qui n'est pas plus difficile. ● La possibilité de progresser au niveau des raisonnement en utilisant des raisonnements moins courant en tronc commun (par l'absurde, par disjonction des cas...) ● Des raisonnements et des contenus utiles pour ceux qui se destinent aux classes préparatoires ● La possibilité de distinguer son dossier dans cet optique (moins d'élèves en spécialité math, alors que ça semble la voie privilégiée pour aller en CPGE (ex « math-sup ») ● Un effectif limité qui permet un travail individualisé. En particulier pour les élèves de SI