SOMMAIRE I - Introduction : solides platoniciens II - Quelques définitions III - Polytopes réguliers convexes en 4D

I – Introduction : polyèdres réguliers en 3D (les solides platoniciens) ● Polyèdre régulier = solide dont les faces sont des polygones réguliers égaux et dont tous les sommets sont «identiques» i. e. solide dont : chaque face est un p-gone et chaque sommet est entouré de q faces ● Réciproquement, p et q définissent le polyèdre de façon unique. ● On le note {p q} : symbole de Schläfli

● Somme des angles autour d'un sommet < 2π ● p ≥ 3 ● q ≥ 3

Tetraèdre ({3 3}) 4 sommets 6 arêtes 4 faces Pyramide triangulaire Octaèdre ({3 4}) 6 sommets 12 arêtes 8 faces Bipyramide carrée Antiprisme triangulaire Icosaèdre ({3 5}) 12 sommets 30 arêtes 20 faces Antiprisme pentagonal surmonté de deux pyramides pentagonales

Cube ({4 3}) 8 sommets 12 arêtes 6 faces Prisme carré Dodécaèdre ({5 3}) 20 sommets 30 arêtes 12 faces

Dualité :sommetsfacesarêtes facessommets (donc opération involutive)polyèdre régulier {p q}{q p}

Stella octangula += += Le tetraèdre est un « demi-cube » !

II - Définitions ● Polytope = généralisation d'un polyèdre en n dimensions. On va le définir par récurrence : Dimension -1 : nullitope (ensemble vide) Dimension 0 : point Dimension n : contient un certain nombre (fini et non nul) de polytopes de dimensions inférieures, tels que chaque polytope de dimension n-2 est contenu dans exactement deux polytopes de dimension n-1.

● 3 restrictions : ● Deux éléments de dimension n-2 ne doivent pas être coïncidents ● Deux éléments de dimension n-1 ne doivent pas appartenir au même hyperplan ● Aucun sous-ensemble propre du polytope ne doit lui-même former un polytope.

● Symétrie = isométrie de l'espace qui laisse le polytope invariant : Polytope régulier ● Les symétries forment un groupe ● Polytope régulier : - Tous les éléments de dimension n-1 sont réguliers et égaux. - Le groupe des symétries est transitif sur les sommets (i. e. si A et B sont deux sommets, il existe une symétrie qui envoie A sur B)

● Propriété essentielle : inscriptible dans une sphère ● Projection d'un polytope sur la sphère :

? ? ?

Petit dodécaèdre étoilé, {5/2 5}

Cuboctaèdre

Section du « Grand prismosaure »

Pavage régulier du plan, {6 3}

Pavage régulier du plan hyperbolique, {3 7}

Octodécagone régulier non planaire

Composé régulier de cinq tetraèdres

● Polychore = polytope en 4D (nullitope, point, segment, polygone, polyèdre, polychore,...) ● C'est donc un objet en 4D délimité par des sommets, des arêtes, des faces (polygonales) et des cellules (polyédriques) ● Polychore régulier : cellules régulières et égales, sommets « identiques » -> donc arêtes et faces « identiques » i. e. ● r polyèdres {p q} autour de chaque arête -> noté {p q r}, avec p ≥ 3, q ≥ 3, r ≥ 3 ● Somme des angles autour de chaque arête < 2π III - Polychores réguliers (convexes)

● Dualité :sommets cellules arêtes faces faces arêtes cellules sommets Toujours involutivepolychore régulier {p q r} {r q p}

● On cherche les valeurs possibles de r pour chaque polyèdre régulier. Pour cela, on cherche l'angle entre deux de ses faces. ● Par exemple, pour un tetraèdre : et de même pour les autres polyèdres.

● Tetraèdre : α ≈ 70°32'→r = 3, 4 ou 5 ● Cube : α = 90°→r = 3 ● Octaèdre : α ≈ 109°28'→r = 3 ● Dodecaèdre : α ≈ 116°34'→r = 3 ● Icosaèdre : α ≈ 138°19'→impossible

{3 3 3} : Pentachore, ou hypertétraèdre + + = = Tétraèdre Triangle

+ = Pentachore 4+1 = 5 sommets 6+4 = 10 arêtes 4+6 = 10 faces triangulaires 1+4 = 5 cellules tétraédriques Auto-dual

{4 3 3} : Tesseracte, ou hypercube = + =+ Cube Carré

+ = Tesseracte 2x8= 16 sommets 2x12 + 8= 32 arêtes 2x6 + 12= 24 faces carrées 2x1 + 6= 8 cellules cubiques

= =

{3 3 4} : Hexadécachore, ou hyperoctaèdre + + = = Octaèdre Carré + +

+ = Hyperoctaèdre 6 +2x1= 8 sommets 12+2x6= 24 arêtes 8 +2x12= 32 faces triangulaires 2x8= 16 cellules tétraédriques Dual du tesseracte +

=

= = + Hyperoctaèdre L'hyperoctaèdre est donc un « demi-tesseracte » !!!

(3) (2) (1) (1), (2) et (3) sont des hyperoctaèdres {3 4 3} : Icositetrachore

(1)+(2) (1)+(2), (2)+(3) et (1)+(3) sont des tesseractes (1), (2) et (3) jouent des rôles symétriques (1)+(3) (2)+(3)

(1)+(2)+(3) : régulier ? += Dodécaèdre rhombique Arêtes ? Faces? Cellules ? Analogue en 3D :

Face d'un dodécaèdre rhombique : Cellule de notre polychore : Arêtes : arêtes du tesseracte +arêtes qui le relient à l'hyperoctaèdre NB : chaque arête relie (1) à (2), (1) à (3) ou (2) à (3)

Tétracosachore 3x8= 24 sommets 32+8x8= 96 arêtes 8x12= 96 faces triangulaires 24 cellules octaédriques Auto-dual

120 sommets 720 arêtes 1200 faces triangulaires 600 cellules tétraédriques {3 3 5} : Hexacosichore, ou hypericosaèdre 20 tetraèdres arrangés autour de chaque sommet, en forme d'icosaèdre:

600 sommets 1200 arêtes 720 faces pentagonales 120 cellules dodécaédriques Dual de l'hypericosaèdre {5 3 3} : Hecatonicosachore, ou hyperdodécaèdre

Bibliographie ● Lo Jacomo François, Visualiser la quatrième dimension ● Coxeter H. S. M., Regular polytopes ● Abbott, Edwin Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions ● Uniform Polytopes in Four Dimensions (George Olshevsky) : members.aol.com/Polycell/uniform.html ● Encyclopédie Wolfram Mathworld : mathworld.wolfram.com ● Wikipedia : en.wikipedia.org

Remerciements Merci à M. Yves DUVAL, l'organisateur du Séminaire Mathématique des Elèves de Louis-le-Grand, qui m'a poussé à préparer cet exposé et m'a permis de le mettre au point.