Modélisation des réseaux : files d'attente (ou effet des irrégularités) Eugen Dedu Cours M2 RIM Université de Franche-Comté, Montbéliard, France septembre 2009 [Grands remerciements à Julien Bourgeois]

2 Exemple de problème de file d'attente ● Un médecin malin donne des RdV « venez tel jour », et non pas « venez tel jour telle heure », est-ce une bonne idée ? ● Chaque consultation a 15' (4 c/h) en moyenne – (certaines consultations prennent beaucoup plus de temps que d'autres) ● Par précaution, il donne 3*8 = 24 rdv/jour (3 rdv/h, toutes les 20', en moyenne) ● Régulier vs irrégulier

3 Questions plus complexes ● Questions : – combien de patients sont en attente, en moyenne ? – combien attend chaque patient, en moyenne ? ● D'autres questions, non traitées dans ce cours : – quelle est la probabilité que N personnes arrivent en M minutes ? – quelle est la probabilité que personne n'arrive durant M minutes, et après cela que P personnes arrivent dans les S min suivantes ?

4 Autres exemples de dimensionnement ● Comment dimensionner : – les caisses des grands magasins – les toilettes des grands stades sportifs – un central téléphonique avec moins de lignes vers le réseau que de lignes vers ses abonnées

5 Contexte ● Ce cours est une introduction seulement, sans détails et preuves mathématiques ● En anglais : queueing theory, Petri nets ● Fait partie du domaine de probabilités/rech. op. ● Naissance : Erlang, 1917, cherche le nombre d'organes de chaque type à installer dans un central de téléphone automatique ● Les informaticiens l'utilisent pour l'évaluation des réseaux informatiques ● Bibliographie : tout livre sur FA ou RdP – Précis de recherche opérationnelle,

6 Processus Poisson ● Soit un processus caractérisé par : – absence d'événements doubles (ordonné) : les événements n'arrivent pas simultanément – indépendance des événements (sans mémoire) ● On étudie : – le nombre d'événements (pas leur valeur) par unité de temps – et le temps d'arrivée d'un nouvel événement ● De manière surprenante, ces propriétés donnent une distribution Poisson pour le nombre d'événements ! – distribution = nombre moyen d'apparitions (occurrences) d'un événement par unité de tp

7 Distribution Poisson ● λ k /k!e -λ ● gnuplot

8 Exemples pratiques ● Écrire 3 chiffres (0..9) sur une feuille ● Voir TEST et TEST2 ● gnuplot TEST2 ● fréquences/nboccurrences

9 Poisson ● Bien identifier ce que c'est événement (arrivée), expérience etc. ● À la fin de chaque expérience, on a un événement (résultat) ● λ = intensité (moyenne/taux) ● gaussienne – en continu, poisson – en discret – extrapolation de poisson => gaussienne

10 Distribution exponentielle ● Le temps du prochain événement (l'intervalle entre deux événements consécutifs, ou bien temps d'inter- arrivée) d'un processus Poisson suit une distribution exponentielle – si Poisson de λ, alors exponentielle de λ aussi ● Similitude : principe du 80/20 (Pareto) – sur Internet, 20 % des flux utilisent 80 % des ressources – dans un programme, 20 % du code est exécuté 80 % du temps

11 Distribution exponentielle ● λe -λx – aire=1 – f(0)=λ ● gnuplot

12 Distribution exponentielle, cumulatif

13 Intérêt de Poisson/exponentielle ● Beaucoup de phénomènes naturels sont des processus Poisson, ex. : – nombre de requêtes Web à un serveur – nombre de gouttes de pluie qui tombent sur une surface (grande) – nombre de poissons pêchés – nombre de voitures qui passent sur une route – nombre d'erreurs faites par un scribe lors d'une copi ● Arrivée poissonnienne et service exponentiel : – temps d'arrivée et de traitement des clients à un guichet – temps d'arrivée et de stationnement des voitures dans un parking

14 Remarques sur Poisson/exponentielle ● Remarques : stochastique, statistiques => on travaille avec des moyennes

15 Cas de non-applicabilité ● Chez le médecin, les clients ne viennent pas au hasard, mais d'après rendez-vous : – de 8h à 9h, 3 clients sont venus – de 9h à 10h, 3 clients sont venus – de 10h à 11h 4 clients sont venus ● Au RU, pendant la journée les étudiants ne viennent pas en Poisson, mais plutôt à midi – mais à midi seulement (11h30-13h30), ils devraient suivre Poisson – sauf qu'ils viennent quand les cours finissent, et ils finissent à 11h30, 12h ou 12h30 => pas de Poisson

16 Terminologie/définitions ● système ● client, événement ● station, serveur ● temps d'arrivée – temps d'inter-arrivée ● file d'attente = les clients en attente (donc pas en train d'être servis) ● temps de séjour (de réponse) = temps d'attente + temps de service

17 Divers ● La file peut ne pas être « physique/géographique », par ex. des machines qui attendent un mécanicien ● Dès qu'un serveur se libère, il est aussitôt utilisé (c'est normal) ● On s'intéresse à la moyenne des valeurs (temps attente par ex.), pas à l'écart type ou autre valeur...

18 Types de modélisation des réseaux ● Qualitative, vérification du comportement – ex. : terminaison (vivacité), interblocage (deadlock) – méthode : réseaux de Petri <-- pas dans ce cours ● Quantitative, évaluation des performances – ex. : débit, temps de réponse, nombre de clients, taux d'utilisation – méthode : files d'attente ● Ex. de modélisation des réseaux : – qualitatif : vérification d'un protocole réseau – quantitative : obtention des performances matérielles d'un appareil réseau

19 Résolution des files d'attente ● Résolution = recherche des propriétés, analyse ● Analytique <-- dans ce cours – transformation du modèle en équations mathématiques ● Par simulation <-- dans ce cours + TPs – implémentation (programmation) du modèle dans un simulateur à événements discrets

20 Plan ● Modélisation quantitative, files d'attente – FA à 1 ou plusieurs serveurs – taille infinie ou finie du serveur – systèmes ouvert et fermé – FA simples et en réseau ● Simulation des FA – ns3

21 Classification des FA ● Par le type du système – système ouvert ● nombre illimité de clients – système fermé <- non traité dans ce cours ● nombre limité de clients dans le système ● Par le nombre de FA – files d'attente simples ● 1 serveur, e.g. 1 guichet de Poste ● ou plusieurs en parallèle (qui partagent une seule FA), e.g. 4 guichets de Poste avec 1 FA – réseaux de files d'attente ● e.g. plusieurs routeurs, Internet

22 Classification des files simples, notation de Kendall ● A/B/C/K/N/D – processus des arrivées – distribution de service – nombre de serveurs – capacité de la file – (population de départ) – discipline de service ● Cas particulier : A/B/C -> K=inf, N=inf, D=FIFO

23 Notation de Kendall, valeurs ● Arrivées et service : M (markovienne/poissonnienne), D (constante), G (générale quelconque),... ● Nombre serveurs : en parallèle ● Capacité : perte si file pleine ● (Population : si petite, affecte le taux d'arrivée) ● Discipline : FIFO (PAPS, FCFS), LIFO (DAPS, LCFS), random, round-robin

24 File M/M/1 ● Arrivée : poissonnienne λ – nombre moyen d'arrivées par unité de temps ● Distribution de service : exponentielle µ – nombre moyen de clients pouvant être servis par unité de temps ● 1/µ = durée moyenne d'un service ● Serveur unique ● Capacité infinie ● Discipline : FIFO

25 Loi de Little + explications ● Nombre clients dans un système = taux d'arrivées * temps passé dans le système – n = λt (loi de Little) – système peut être juste la file aussi ● Ex, magasin : 10 clients/h, restent 0.5h ● Si 20 clients/h => quoi faire ? – accepter plus de clients/h – ou réduire temps passé à 0.25h ● tsys = tatt + tserv (car valable pour chaque clie) – => nsys/λ = natt/λ + 1/µ => nsys = natt + λ/µ

26 Quelques pièges ● Voir fichier PIEGES ● nsys = natt + nserv, avec nserv != 1 !!! – pris instantanément, nserv est parfois 1, parfois 0 ● Cadence de drainage (débit) de FA : λ, pas µ !!! – => tatt = natt / λ (et non natt/µ) = nsys / µ – si 3 clients en moyenne en attente (natt = 3), et chaque client est traité en 15' (µ = 4), alors tatt = 3/µ = 3/4 = 45' est faux ● en réalité, tatt = 3/λ (si λ = 3, alors tatt = 3/3 = 1h) ● cela vient du fait que c'est poisson, et le serveur est en attente quand il n'y a aucun client ● tatt pour C=2 << tatt pour C=1 / 2 (pas égal !!!) – ex. : si la file a un client, son tatt=0 par rapp. à 1/µ

27 File M/M/1, résolution ● φ = λ/µ ● Condition de stabilité : φ < 1 ● Débit : X = λ ● Taux d'utilisation du serveur : r = X/µ = φ ● Nombre moyen de clients dans le système : nsys = φ/(1-φ) = λ/(µ-λ) ● Temps moyen de séjour : tsys = tatt + tserv = nsys/µ + 1/µ = 1/(µ(1-φ)) = 1/(µ-λ) – = nsys/X aussi

28 Résolution du problème du médecin malin ● FA M/M/1 ● λ=3 (arrivées en moyenne : 3 rdv/h) ● µ=4 (capacité de traitement en moyenne : 4 patients/h) ● φ système stable ● Nombre moyen de patients dans le système = nsys = λ/(µ-λ) = 3/(4-3) = 3 – en attente : 3 - λ/µ = 3 - 3/4 = 2.25 – en moyenne, 2.25 en attente et 3 dans le cabinet ! ● 0.75 servis en moyenne !! ● Attente moyenne = nsys/µ = 3/4 = 45 minutes ● Si D/D/1, nb patients en att = 0, att moyenne= 0

29 File M/M/1/K ● Même chose que M/M/1 ● Sauf que la FA n'est pas infinie, mais bornée par K clients – si un client arrive et que la FA est pleine, le client est rejeté et disparaît – => débit plus petit que M/M/1

30 File M/M/1/K, résolution ● Débit : X = (1-φ k )/(1-φ k+1 )λ ● Taux d'utilisation : r = X/µ = (1-φ k )/(1-φ k+1 )φ ● Nombre moyen de clients dans le système : nsys = φ/(1-φ) * (1-(K+1)φ k +Kφ k+1 )/(1-φ k+1 ) ● Temps moyen de séjour d'un client admis dans la file : tsys = nsys/X ● Temps moyen de séjour d'un client arrivant dans le système : tsys2 = R(X/λ) – certains de ces clients seront rejetés (t=0), donc le temps moyen est plus petit

31 File M/M/C ● Identique à M/M/1 ● Sauf que le système a C serveurs indépendants ● Condition de stabilité : φ < C ● Débit : X = λ ● Temps moyen de séjour : tsys = φ C / (µ(C-1)!(C-φ) 2 ) * p(0) + 1/µ – où p(0) = probabilité d'attente nulle (tatt = 0) – p(0) = 1 / (φ C /(C!(1-φ/C)) + SUM n=0 C-1 φ n /n!) ● Nombre moyen de clients dans le système : nsys = tsys*λ = φ C+1 / ((C-1)!(C-φ) 2 ) * p(0) + φ

32 Problème ● Entreprise avec 1 guichet de SS ● Hypothèse : – arrivées : tableau avec nombre d'ouvriers arrivant durant chaque intervalle de 5 min – service : tableau avec nombre d'ouvriers ayant passé au guichet [0,1[, [1,2[, [2,3[,..., [11,12[, >12 minutes ● Conclusion : temps moyen d'attente, durée moyenne au guichet, occupation du guichetier – => optimisation ● Démonstration : voir TD...

33 Réseaux ouverts ● Réseau : plusieurs FA interconnectées dans le système ● Ouvert : nombre illimité de clients ● Routage : probabiliste, cyclique, file la plus courte

34 Réseau de Jackson ● Réseau de Jackson ouvert : une seule classe de clients, arrivée poissonnienne, 1 serveur/station, stockage illimité, FIFO, routage probabiliste

35 Réseau de Jackson, paramètres ● M le nombre de stations ● λ le taux des arrivées ● µ i les taux de service ● p 0i probabilité qu'un client arrivant entre dans FAi ● p ij probabilité d'aller de FAi à FAj ● p i0 probabilité de quitter le système depuis FAi

36 Réseau de Jackson ● Arrivée dispatchée à plusieurs FA – => chaque entrée j récupère une partie des entrées totales, donc : – probabilités p 0j, avec SOMMEp 0j = 1 – processus d'arrivée : p 0j λ ● Pour chacun des i, SOMME tout j p ij = 1

37 Réseau de Jackson ● Taux de visite de FAi : e i = p 0i + SOMMEe j p ji – e i = λ i / λ ● Stabilité : λ i < µ i pour tout i ● Théorème de Jackson : un réseau de Jackson ensemble de files M/M/1 – p(n) = PRODUITp i (n i ), où p i (n i ) = (1-φ i )φ i ^n i – où p(n) = probabilité stationnaire de n ● Une M/M/1 (une M/M/S aussi) d'entrée une Poisson λ génère en sortie une Poisson λ aussi

38 Réseau de Jackson, résolution ● Pour chacune des FA : – Débit moyen : X i = λ i = e i λ – Nombre de clients : nsys i = φ i / (1-φ i ) – Taux d'utilisation : r i = φ i – Temps moyen d'attente : tatt i = 1/(µ i -λ i ) ● Pour le système : – Débit moyen : X = λ – Nombre de clients : nsys = SOMMEnsys i – Temps moyen de séjour : tsys = nsys/X = nsys/λ = SOMMEnsys i /λ = SOMMEe i nsys i /λ i = SOMMEe i tsys i