Cours COMPOSANTES DES VECTEURS Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe.

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1 Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

2 Au dernier cours, nous avons vu ✓ La définition d’un vecteur géométrique. ✓ La somme de vecteurs et ses propriétés. ✓ La multiplication par un scalaire et ses propriétés. ✓ La définition d’un espace vectoriel. ✓ L’action des vecteurs sur les points.

3 Aujourd’hui, nous allons voir ✓ Les «atomes» d’un espace vectoriel. ✓ Une façon d’écrire les vecteurs qui simplifie les calculs.

4 Exemple: 2 3 Quels sont la longueur et l’angle du vecteur somme de ces deux vecteurs? a angle alterne-interne loi des cosinus loi des sinus

5 Hum... pas la joie! Bon... on n’imagine même pas faire ça dans l’espace! Le cours d’aujourd’hui sert à mettre en place les outils nécessaires pour rendre cette tâche beaucoup plus simple.

6 Définition: où leset les. Une combinaison linéaire d’éléments d’un espace vectoriel réel est n’importe quelle expression de la forme:

7 Définition: Un ensemble de vecteurs non nuls d’un espace vectoriel est dit linéairement indépendant si aucun d’entre eux n’est combinaison linéaire des autres. Sinon, on dit qu’ils sont linéairement dépendants.

8 Exemple: Est-ce que les trois vecteurs suivants sont linéairements indépendants ? Les trois vecteurs suivants sont linéairement dépendants car

9 Sur une droite Tous les vecteurs sont linéairement dépendants d’un vecteur ayant la même direction que la droite.

10 Dans le plan Au plus, deux vecteurs peuvent être linéairement indépendants.

11 Dans l’espace Au plus, trois vecteurs peuvent être linéairement indépendants.

12 Vérifier si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant n’est pas une mince affaire! Le théorème qui suit permet de faire cette vérification beaucoup plus simplement.

13 Théorème: Un ensemble de vecteurs, non nuls, est linéairement indépendant C.-à-d. ( ) La seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.

14 Preuve: Si sont linéairement indépendants, supposons qu’il existe une combinaison linéaire avec au moins un des, prenons Ce qui contredit l’hypothèse que les vecteurs étaient linéairement indépendants. Donc, ça c’est faux! On veut l’inverse de ça.

15 Preuve: Si sont linéairement indépendants, Ce qui contredit l’hypothèse que les vecteurs étaient linéairement indépendants. La seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.

16 Si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0, supposons que les vecteurs sont linéairement dépendants. On veut l’inverse de ça. Il existe donc un vecteur qui est combinaison linéaire des autres. Puisque, au moins un des Ce qui contredit l’hypothèse que la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0. Donc ça c’est faux! Preuve (suite):

17 Si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0, sont linéairement indépendants. Les vecteurs Preuve (suite): Il existe donc un vecteur qui est combinaison linéaire des autres. Puisque, au moins un des Ce qui contredit l’hypothèse que la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.

18 Exemple: Est-ce que les trois vecteurs suivants sont linéairement indépendants ? Les trois vecteurs suivants sont linéairement dépendants car Si on peut construire un chemin qui revient au point de départs, les vecteurs sont dépendants.

19 Faites les exercices suivants p.25 # 1, 3 et 4

20 Dans le plan, combien de vecteurs avons-nous besoin pour construire tous les autres ?

21 Définition: Une base d’un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs non nuls linéairement indépendants tel que tout vecteur peut s’écrire comme combinaison linéaire d’éléments de.

22 Remarque: La condition que ces vecteurs soient linéairement indépendants assure que le sous-ensemble est le plus petit possible. Une base d’un espace affine est une base de son espace vectoriel sous-jacent. Le but d’une base est de pouvoir décrire tous les vecteurs d’un espace vectoriel à l’aide d’un petit sous-ensemble de.

23 Définition: La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une de ses bases. On note la dimension de,. Définition: Une base ordonnée d’un espace vectoriel est une base de cet espace qu’on a mis dans un certain ordre.

24 Définition: d’un espace vectoriel et soit un vecteur de cet espace. On a Soit, une base ordonnée Et on écrit alors Les composantes de selon la base sont

25

26 Théorème: sont uniques. Soitet, une base ordonnée de. Les composantes de dans la base

27 Mais puisque est une base, ces vecteurs sont linéairement indépendants et donc, par le dernier théorème, on a que Supposons qu’on ait deux écritures pour, d’où Donc, les deux écritures étaient les mêmes. Preuve:

28 Corollaire: Proposition mathématique ou logique qui se déduit immédiatement d’une proposition qui vient d’être démontrée. Soit et, deux vecteurs écrits dans la même base. Alors pour

29 Opérations sur les composantes. une base de,Soit et Multiplication par un scalaire Donc

30 Somme de vecteurs Ça fonctionne plutôt bien! Donc

31 Multiplication par un scalaire Somme de vecteurs

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33 Faites les exercices suivants p.26 # 5, 6 et 7

34 Exemple: Vérifier si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants.

35 Définition: Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel est : libre si les vecteurs sont linéairement indépendants ; génératice si tous vecteurs de peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille ; une base si elle est libre et génératrice.

36 Faites les exercices suivants p.26 #10 et 14

37 Question : Est-ce qu’il est possible qu’un vecteur est la même écriture dans deux bases différentes ?

38 Aujourd’hui, nous avons vu ✓ Les ensembles de vecteurs linéairement indépendants. ✓ Une base d’un espace vectoriel. ✓ La dimension d’un espace vectoriel. ✓ Les composantes d’un vecteur par rapport à une base ordonnée.

39 Devoir: Exercices 1.2 #1 à 14